高中数学，椭圆以及函数求导

(1)

M(0, 2), b = 2

e² = c²/a² = (a² - b²)/a² = 1 - b²/a² = 1 - 4/a² = 2/3, a² = 12

椭圆方程: x²/12 + y²/4 = 1

(2)

直线: y = k(x - 2)

代入椭圆方程并整理: (3k² + 1)x² - 12k²x + 12(k² - 1) = 0

x₁ + x₂ = 12k²/(3k² + 1)

x₁x₂ = 12(k² - 1)/(3k² + 1)

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)

t = 向量OA•向量OB = x₁x₂ + y₁y₂ = x₁x₂ + k(x₁ - 2)k(x₂ - 2)

= (k² + 1)x₁x₂ - 2k²(x₁ + x₂) +4k²

= (k² + 1)12(k² - 1)/(3k² + 1) - 2k²12k²/(3k² + 1) +4k²

= 4(k² - 3)/(3k² + 1)

要使为AOB锐角，只须t > 0, k² - 3 > 0, k > √3 或k < -√3

(1)

a = 0, f(x) = 2x - lnx

f'(x) = 2 - 1/x = 0, x = 1/2

0 < x < 1/2: f'(x) < 0

x > 1/2: f'(x) > 0

极小值f(1/2) = 2(1/2) - ln(1/2) = 1 + ln2

(2)

由(1)可知，显然a = 0不满足要求

f'(x) = ax + 2 - 1/x = (ax² + 2x - 1)/x = 0

ax² + 2x - 1 = 0

x = [-1 ±√(a+ 1)]/a

下面分情况况讨论

(i) a > 0

ax² + 2x - 1为开口向上的抛物线，要使f(x)在[1/3, 2]上为增函数，只需[-1 -√(a+ 1)]/a ≥ 2或[-1 +√(a+ 1)]/a ≤ 1/3

[-1 -√(a+ 1)]/a ≥ 2可变为-√(a+ 1) ≥ 2a + 1 >0，显然不可能

[-1 +√(a+ 1)]/a ≤ 1/3, √(a+ 1) ≤ a/3 + 1

平方并整理: a(a - 3) ≥ 0

a ≥ 3 (舍去a ≤ 0)

(ii) a < 0

ax² + 2x - 1为开口向下的抛物线，要使f(x)在[1/3, 2]上为增函数，只需[-1 +√(a+ 1)]/a ≥ 2且[-1 -√(a+ 1)]/a ≤ 1/3

与(i)类似，从[-1 +√(a+ 1)]/a ≥ 2可得a ≤ -3/4

从[-1 -√(a+ 1)]/a ≤ 1/3可得a ≤ 0

二者结合: a ≤ -3/4

(i)(ii)结合: a ≤ -3/4或a ≥ 3

主题全是暑假日记

今天我去了海鲜市场，一个摊主的表现让我十分厌恶。　　　　我和爷爷、奶奶，去一个摊位买虾，奶奶问：“多少钱一斤？”摊主说：“14元一斤。”我们买了两斤半虾，高高兴兴地走了，因为那虾又大又新鲜。我们路过工商所，呀！我们用公平秤一称，才两斤一两七！当时，我愤怒地说：“爷爷，我们找他去！”可等我们到了他的摊位，早已人去摊空，原来那摊主怕被查处，脚底抹油——溜了！　　　　回家路上，我想：一个摊主这么不讲诚信，以后谁还买他的东西？我又想：一个人干什么事都该讲信用，否则便是自欺欺人，绝对会失败。

我去上海学钢琴了，这次和我们一起去上海的还有双胞胎姐姐一家。我第一次碰到双胞胎，双胞胎姐姐长得可真像啊。一路上我们说说笑笑，一会儿词语接龙、一会儿猜脑筋急转弯、一会儿唱歌表演、一会儿大家吃吃零食，高兴极了，我们一点也不觉得累。到了上海，吃过午饭，因为我要上课，所以我和爸爸先在宾馆休息。他们就去锦江乐园游玩了。回家的路上，我们还去了我爸爸的战友家里吃晚饭，那里是葡萄基地，我们摘了满满两箱葡萄。回到家已经是晚上十一点了。今天过得真开心啊！

今天早上我正在做作业，忽然听见了怦怦怦……的声音。

　　我跑到窗前一看，原来他们是在放烟花。

　　我自言自语地说道：“那有白天放烟花的。”

　　“可能是钱太多了，不知道该往什么地方花了”妈妈一边洗碗一边说。

　　顿时我收想：“是呀！白天放什么烟花，反正大家也没看见漂亮，只是听见怦怦怦……的声音，还不如把这笔钱用来捐赠希望小学，帮助困难群众，或者晚上放也好让大家一起欣赏欣赏吗？”

幸福的小乌龟

今天晚上回家的时候，我看见一个漂亮的玻璃盒子，里面有一个玻璃海豚顶着一个球，小巧玲珑的台阶，一共6层，一直爬上去，就有一间阁楼，我最喜欢一根兰色的柱子，上面有一个天蓝色的珍珠，可美了。清水流了很久，小乌龟也游了很久。

爸爸说：“那个龟盒太脏了，不要了，你以后要勤给它换水，知道吗？”“知道了。”我说。

小乌龟，你真幸福，如果想游泳，就跳进水中洗澡，如果不想，还可以晒太阳，我觉的小乌龟很幸福。我最喜欢你游泳的样子了，你深吸几口水，然后伸出你的小爪子，抓住我的手，我就拖着它，它的后腿像两只船浆，不停的摆动，我的小乌龟最可爱了，我喜欢我的小乌龟。

前两天还是酷日炎炎，这几天下了几场大雨，凉爽了很多空气也变得很湿润。

记得前两天，我们都好像在烤炉里似的。又加上停电，真是好热啊！爸爸没时间，妈妈就带我去了游泳馆，这可是避暑的好地方，有好多小朋友在爸爸妈妈的带领下，来游泳馆游泳那。我还没学会游泳，妈妈就给我买了游泳的水袖，妈妈带上游泳圈。我们就想快活的鸭子，在游泳池里快活地打着水仗。人在水里好像在太空一样，因为有水的浮力，我们都漂浮在水面上，我的最大心愿，就是自己会游泳。我看QQ猪学游泳，我也好羡慕，妈妈说明年再让我学，我可高兴了。

今天我去了海边。　　我们坐上了8路公交车，来到了海水浴场，到了海边，我急匆匆地把鞋脱了下来，急忙赤脚奔向海水里，海水凉凉的，我向更深的海水里走去，到了有十几厘米深的海水里，突然来了一个大浪“哗”的一下，我就被冲了回来。我觉得海水太凉，便在沙滩上玩了起来。我想拿沙子垒一个“摩尔庄园”，就在垒“摩尔拉雅山”时，突然挖到了一只螃蟹，可能是因为我把它给吵醒了，它立马给了我一钳子，我的第一反应就是把它给甩掉。但我的手被夹得又红又肿，那滋味可真是不好受。我还是继续搭我的“摩尔庄园”，就快完工的时候，突然来了一个大浪，把我的“摩尔庄园”摧毁了。我正扫兴时，听到奶奶叫我回家，我才依依不舍地离开了大海。

今天早上，外公骑着电瓶车把我接到了快阁苑的家，到家后外婆给我做早饭吃。吃完早饭，我看了一会电视就和外婆到市场边的制衣店做睡衣，做完衣服我还陪外婆到药店买了一些药，就回家了。回到家后我就做暑假作业了。

下午，睡了一会儿午觉，外婆带我去下围棋。这是外婆第一次带我去，她问也没问我在什么地方，就直接带着我坐上了21路公交车，到了凰仪桥就下车了。我一看，惊叫起来：“这不是下围棋的地方呀！外婆，我们下错车了。”“怎么不早说呢，我还以为是这里呢。”原来外婆把我以前我认过字的地方当成下围棋的了。“怎么办呢？这儿离下棋的地方还有很远呢，我们还是回家吧”外婆说。我只好跟着外婆失望地回家了。

中午的时候到趟姥爷家，姥爷上午去赶集了。

姥爷家离集市不近，可以说很远，可是姥爷仍然骑自行车去。姥爷说，就当成玩吧。

其实，我们以玩的心态对待每一件事时，或许就没有什么困难了。太多的时候是我们自己吓倒了自己。

我和表弟路过荷花池的时候，我突然生出了吃莲子的欲望。于是我就下了水。心想这玩艺一定很好吃。黑泥没过了我的膝盖我也不在乎，为了吃，值啊。

当我吃到了莲子之后才发现，并不是我当初所想的那样，太难吃了。

对于一件我们想要却没有得到的东西，我们把它想象得分外的好，可得到之后才明白事实上不是这样的。

表弟告诉我不是直接吃，要把皮剥了，还要去了里面的芽。我按他的说法一试，果然很好吃。

有太多时候以为别人骗了自己，其实是自己不够了解。

今天是我在暑假里最有收获的一天，我学会了打乒乓球，我请刘玉坤教练教我打乒乓球一开始我的球技很差，但自从我专心练球后，球技便有了明显的提高，还让我明白了一份耕耘，一份收获的道理。

记得刚练时，我没有耐心，每隔十分钟就要休息一次，教练告诉我球要多练，于是我就下了点功夫练球，但刚练几天，指头上就磨出了水泡，疼得我嗷嗷直叫。我一直说：“不练了，不练了！”这时候，教练走过来告诉我做什么事情都要付出代价的。他把手伸出来让我看，我一看惊呆了，教练的手已经全部变形了，他又让我看了看他的球拍，球拍上，他的无名指已经在上面深深的按下了一个“洞”。

看了教练的手和球拍，让我明白了，只要工夫下得深，铁杵磨成绣花针，从此，我便努力学球，这不，球技又进步了许多，这就是我暑假里最有收获的一件事。

今天我们游完泳回来的路上，到了电厂小区健身那儿的时候，王哲熙提出在那儿玩会，我也想玩我们就一起在那玩了一会。我们先玩了一下三人漫步机，我们既玩了单腿又玩了双腿，接着我们去做仰卧起坐，王哲熙先做他做了1下，我做了3下，我们还玩了一会跑步机，最后我们玩了椭圆机，刚开始我不敢上去，熙熙妈妈告诉我先一只脚蹬上去扶好，另一只脚再蹬上，可以顺时针蹬也可以逆时针蹬，玩了一会儿我们就回家了。

1 [1] 椭圆定义：c=√3 a=2 焦点在y轴上 C的方程 y^2/4+x^2=1

椭圆4x^2+y^2=4

直线y=kx+1 联立解得 (4+k^2)x^2+2kx-3=0

x1x2=-3/(4+k^2) x1+x2=-2k/(4+k^2)

y1y2=(kx+1)(kx+1)=k^2x1x2+k(x1+x2)+1

[2] A(x1,y1) B(x2,y2)

向量OA⊥向量OB x1x2+y1y2=0

即(k^2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=-3(k^2+1)/(k^2+4)-2k^2/(k^2+4)+1=0

解得k=±1/2

2 已知F1，F2为椭圆X^/100+Y^/b^=1(0＜b＜10）的左、右焦点，p是椭圆上一点。

（1）求PF1的绝对值乘以PF2的绝对值的最大值

（2）若角F1PF2=60°且△F1PF2的面积为64√3/3，求b的值

[1]

|PF1|+|PF2|=2a=20

20=|PF1|+|PF2|>=2√[|PF1||PF2|]

[|PF1||PF2|]<=100 最大值=100

[2] |PF1|+|PF2|=20 |F1F2|=2c 角F1PF2=60°

余弦定理 |F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|cos60°

4c^2=(|PF1|+|PF2|)^2-3|PF1||PF2|=400-3|PF1||PF2|

S△F1PF2=1/2|PF1||PF2|sin60°=64√3/3

|PF1||PF2|=256/3

4c^2=400-3|PF1||PF2|=400-256=144 c^2=36 b^2=100-36=64 b=8

3设F1，F2分别为椭圆E：x^/a^+y^/b^=1(a＞b＞0）的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线L与E相交于A，B两点，。

（1）求E的离心率

y=x+c b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0

(a^2+b^2)x^2+2a^2cx+a^2(c^2-b^2)=0

且AF2的绝对值，AB的绝对值，BF2的绝对值成等差数列 2|AB|=|AF2|+|BF2|

|AB|+|AF2|+|BF2|=4a |AB|=4a/3

弦长公式|AB|=√2√[(x1+x2)^2-4x1x2]=4a/3

b^2/(a^2+b^2) =1/3 a^2=2t b^2=c^2=t c^2/a^2=1/2 e=√2/2

（2）设点p（0，-1）满足PA的绝对值=PB的绝对值，求E的方程

P在线段AB的垂直平分线上

x1+x2=-2a^2c/(a^2+b^2) (x1+x2)/2=-a^2c/(a^2+b^2) ( y1+y2)/2=-a^2c/(a^2+b^2)-c

AB的中点M(-a^2c/(a^2+b^2),-a^2c/(a^2+b^2)-c)

kPM=-1 c=1 a=√2

E的方程 x^2/2+y^2=1