1+x^2=2^y的正整数解怎么求?

方程1+x^2=2^y是一个关于变量x和y的二元指数方程。要求这个方程的正整数解，我们可以使用数学方法来解决。

观察方程1+x^2=2^y，我们可以发现x只能是奇数，因为奇数的平方加1是偶数。而偶数的平方加1不可能等于2的幂。

接下来，我们可以利用数学推导和观察来找到方程的正整数解的个数。首先，考虑到y是指数，我们可以从小到大逐个尝试可能的y值。当确定一个y值后，我们可以通过解方程1+x^2=2^y来求解对应的x值。

以下是求解方程的步骤：

选择一个合适的y值，例如从1开始逐个尝试。

解方程1+x^2=2^y，求解x的可能取值。这可以通过计算x^2=2^y-1来得到。

判断x是否为正整数，如果是，则记录一个正整数解组合(x, y)。

继续增加y值，重复步骤2和3，直到不再有满足条件的正整数解。

通过这个方法，我们可以找到方程1+x^2=2^y的正整数解，并计算出解的个数。

解式过程如下：

1、提取原式：19-120%x=7

2、计算过程：

      19-12x=7

      12x=19-7

      12x=12

      x=12÷12

      x=10

3、计算结果：x=10

502解方程

教学目标

1 知识目标：(1)熟悉利用灯市的性质解一元一次方程的基本过程。

(2)通过具体的例子，归纳移项法则

(3)掌握解一元一次方程的基本方法，能熟练求解一元一次方程（数字系数），能判别解的合理性。

2 能力目标：经历观察、归纳、总结、反思的过程，感受方程与代数式的不同，感受知识间的联系，提高解决问题的能力。

3 情感目标：使学生通过选用合理步骤解一元一次方程，了解“未知”可以转化为“已知”， 发展学生在生活中运用方程的意识及训练学生的方程思维能力。

教材分析

1 地位与作用:解一元一次方程是解其他方程的基础，有重要实际应用的意义。解方程的运算及方程思想的实际应用, 关键在于正确地了解方程、方程的解的意义和运用等式的两个性质．

2 重点与难点:重点是移项法则 难点是等式的基本性质

教学准备有关方程的资料（方程小史）

课时安排 3课时

第1课时 解方程

教学过程

1 情景导入：介绍有关方程的资料：方程小史

古埃及是数学的发源地致意，早在公元前1650年，古埃及人就在纸草书（纸草是生长在尼罗河流域的一种水草，古埃及人将它的茎叶压成薄片用来写字）上写下了含有未知数的问题。12世纪前后，我们数学家用“开元术”来解题，即先要“立天元为某某”，相当于“设x 为某某”。14世纪初，我们数学家朱世杰创立了“四元术”（四元指天、地、人、物，相当于四个未知数，如x ，y ，z ，w ）。这是中国古代数学的一个飞跃。

2 提出问题：解方程：5x －2=8

3 自主探索、合作交流：

先由学生独立思考求解，再小组合作交流，师生共同评价分析。

方法1：

解：方程两边都加上2，得5x －2+2=8+2

也就是 5x =8+2

合并同类项，得5x =10

所以，x =2

4 理性归纳、得出结论

（让学生通过观察、归纳，独立发现移项法则。）

比较方程5x=8+2与原方程5x －2=8，可以发现，这个变形相当于

5x －2=8 即把原方程中的－2移项。

教学建议：关于移项法则，不应只强调记忆，更应强调理解。学生开始时也许仍习惯于利用逆运算而不利用移项法则来求解方程，对此教师不宜强求，可借助例题、练习题使相互逐步体会到移项的优越性）

方法2；

解：移项，得 5x=8+2

合并同类项，得5x=10

方程两边都除以5，得x=2

5 运用反思、拓展创新

[例1] 解下列方程：(1) 2x+6=1 (2) 3x+3=2x+7

教学建议：先鼓励学生自己尝试求解方程, 教师要注意发现学生可能出现的错误, 然后组织学生进行讨论交流

[例2] 解方程:1x -1=-2 4

教学建议：①先放手让学生去做, 学生可能采取多种方法, 教学时, 不要拘泥于教科书中的解法, 只要学生的解法合理, 就应给予鼓励

②在移项时, 学生常会犯一些错误, 如移项忘记变号等 这时, 教士不要急于求成, 而要引导学生反思自己的解题过程 必要时, 可让学生利用等式的性质和移项法则两种方法解例1、例2中的方程, 并将两者加以对照, 进而使学生加深对移项法则的理解, 并自觉地改正错误

[练一练] 109页 随堂练习

6 小结回顾: 学生谈本节课的收获与体会。师强调：移项法则

7 布置作业: 必做题:习题53 1 , 2

选做题: 习题53 3

教后札记

第2课时 解方程

教学过程

1 情景导入：师:同学们, 一天, 小明去喜乐佳买饮料, 出现了下面一幕场景 小明拿着20元钱到喜乐佳, 买了1听果奶和4听可乐, 到了收款处

小明:阿姨, 给20元

服务员:找你3元

小明:阿姨,1听果奶多少钱

服务员:1听可乐比1听果奶贵05元，你自己回去算算吧。

小明带着疑惑回到家，找姐姐帮忙。姐姐想了想，很快给小明这样一个答案：设1听果奶x 元，那么可列出方程；4(x +05)+x =20－3,

让小明自己想出最后答案 小明把这个题拿到了课堂上

2 提出问题

师:我们一起开动脑筋帮帮小明 好吗

生:好(积极踊跃参加)

师:好, 那大家先想想小明姐姐列的这个方程对吗

生:对(互相讨论交流)

师:你还能列出不同的方程吗 试一试, 并写出方程

生:积极思考, 互相交流自己的答案

(师鼓励学生运用自己的方法列方程, 并解释其中的道理)

师:怎样解所列出的方程

3 自主探索、合作交流

生互相讨论交流, 师生互相评价, 最后得成共识:

4 理性归纳、得出结论

解:去括号, 得:4x +2+x =17

移项, 得:4x +x =17－2

合并同类项, 得5x =15

方程两边同除以5, 得x =3

师:你现在知道1听果奶多少钱吗

生:知道了,1听果奶3元钱

师：比较这个方程与前面所解的方程在形式上有什么不同？

生：有了括号

师：你能总结一下解这类方程的步骤吗？

生互相讨论交流，积极发言，最后共识：

去括号、移项、合并同类项、系数化1。

5 运用反思、拓展创新

[例2] 解方程－2(x －1)= 4

教学建议：提倡由学生独立探索解法，并互相交流。

解法一：去括号，得：－2x +2= 4

移项，得 －2x =4－2

合并同类项，得 －2x =2

方程两边同除以－2，得 x = －1

（先去括号求解）

解法二：方程两边同除以－2，得 x －1= －2

移项，得 x =－2+1

即 x =－1

（看作关于(x －1) 的一元一次方程）

[议一议]观察上述两种解方程的方法, 说出它们的区别, 与同伴交流

同伴之间展开讨论, 通过比较两种解法, 初步渗透将(x－1) 作为一个整体的思想

[练一练] 110页 随堂练习

学生独立完成, 师生共同评价

6 小结回顾:

学生谈本节课的体会, 师生共同体会解含有括号的一元一次方程的步骤:去括号、移项、合并同类项、未知数系数化1

7 布置作业:

必做题:习题54 1 , 2 , 3

选做题:解方程

教后札记

11x =-x +3 42

第3课时 解方程

教学过程

1 情景导入、提出问题： 在上一节课已经学习了通过去括号、移项、合并同类项、系数化成1等步骤来解一元一次方程，今天来看这种一元一次方程该如何来解。出示115例5：解方程：11x =-x +3 42

2 自主探索、合作交流

小组合作，探讨解法，交流体会，学生代表板书解法。评价

3 理性归纳、得出结论

解：（略）

4 运用反思、拓展创新

[例6] 讨论P 111例6的解法，讨论可能出现的问题，一名学生板书解答过程。评价，补充，修正。

[例7] 师生共做P 112例7。并探究以下的几个问题：

（1）含分母的一元一次方程一般的解题步骤？

（2）在解方程的过程中应注意哪些问题？

（3）一元一次方程的解法是否唯一？

（4）怎样检验？

（5）解方程是否一定要按照“五个步骤”来进行？

（6）怎样把一些数学问题归纳成解一元一次方程来解决？

先让学生自己总结, 然后互相交流, 得出结论:一元一次方程的步骤:

解一元一次方程, 一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤, 把一个一元一次方程”转化”成x = a 的形式

设计意图：例6与例7主要研究在解方程时如何去分母，并从中体会转化的思想。 教学建议:

(1) 去分母本身就是一个由“新”变“旧”的过程

(2) 去分母时要引导学生规范步骤, 准确运算

(3) 对于求解较复杂的方程, 要注意培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否

正确(不要求写出检验步骤) 的良好习惯

(4) 解方程的方法, 步骤可以灵活多样, 但基本四落都是把”复杂”转化为”简单”,把”新”转化

为”旧”

[练一练] 112页 随堂练习

5 小结回顾

学生自己谈学习体会，师引导学生从下面几个总结本节内容。

（1）归纳学习方程的实际意义。

（2）用方程的思想来解决实际问题时，一般需要经过什么样的步骤？

方程在生活中有哪些用处？举例。

（3）你能根据一个方程把它转化为生活中的实际问题吗？举例。

6 布置作业

1 必做题：习题55 中选做4个不同类型的题目。

2 选做题：

（1）解方程ax =bx （a 与b 是常数，x 是未知数）

（2）当k 为何值时，k +4k -2k +3+与的差是k －5 523

3 思考题：

已知a ＋b ＋2(1－a －b )=3(1－b －a ) －4(b －1＋a ) ． 求：代数式36(a ＋b )2－12(a ＋b ) ＋1的值．

教后札记

一、教材分析

http://wwwpepcomcn/czsx/jszx/jxyj_1/czsxjxyjjscg/hjjxsj/201310/t20131028_1168796htm

方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。

二、目标分析

1．知识与技能：

理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；

2．过程与方法：

通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法；

3．情感态度价值观：

学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。

教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

教学难点：发现并理解配方的方法。

三、教学问题诊断

学生的知识基础：学生会解一元一次方程，了解平方根的概念、平方根的性质以及完全平方公式，并刚刚学习了一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程；

学生的技能基础：学生在之前的学习中已经学习过“转化” “整体”等数学思想方法，具备了学习本课时内容的较好基础；

学生活动经验基础：以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验和能力。

本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验，理解起来会有一定的困难，同时完全平方公式的理解对学生来说也是一个难点，所以在教学过程中要注意难点的突破。

四、教学过程设计

根据本节课的教学目标，我将教学过程设计为以下五个环节：

环节一：创设情境，引出新知；

环节二：对比研究，探索新知；

环节三：回归生活，应用新知；

环节四：随堂练习，巩固新知；

环节五：小结梳理，分层作业。

环节一：创设情境，引出新知

在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。

环节二：对比研究，探索新知

本节课力求在学生已有知识和经验的基础之上，让学生通过观察、比较、转化、探究，自主发现解决问题的方法和规律，理解并掌握配方法。因此，我以问题为引导，由浅入深，层层递进地设置了4个问题：

问题1：我们会解什么样的一元二次方程？举例说明

用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的方程的特点是：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即，运用直接开平方法可以解。这是后面配方转化的目标，也是对比研究的基础。

问题2：你会用直接开平方法解下列方程吗？

设置四道方程：，启发学生逆向思考问题的思维方式，将方程转化成的形式，从而求得方程的解。

通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将形式转化为的形式，而怎样转化就成为探索的方向，如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心。

问题3：探索一元二次方程的求解过程和方法

首先复习因式分解中的完全平方公式

接下来做一做：

通过做一做引发学生思考，在二次项系数为1的完全平方公式左边，常数项与一次项系数具有怎样的关系。以启发学生进行探究的形式展开，以小组合作探究的方式总结，目的是使学生能够体会并理解完全平方公式的特点，从而达到对配方法的完全理解，实现教学重点的理解和教学难点的突破。四个公式中一次项系数分别是正偶数、负偶数、正奇数、负分数，体现了从简单到复杂的思维过程，同时也为下一步解一元二次方程打下基础。学生总结出规律后，教师要验证规律的正确性，然后通过完全平方公式给出证明，体现从特殊到一般的思维过程以及数学的严谨性。

通过对例1的讲解，使学生明确对二次项系数是1的一元二次方程，配方时要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方，同时规范配方法解方程时的一般步骤。

此时，教师归纳：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

问题4：配方的目的是什么？配方时应注意什么？

在完成这一系列探究活动后，教师提出问题引导学生回顾探究过程，进行阶段性小结。明确配方的目的是通过配成完全平方形式来解方程。对二次项系数是1的一元二次方程，配方时要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方。

环节三：回归生活，应用新知

在此基础上，解决创设情境中提出的实际问题，既体现了一元二次方程在现实生活中的应用，同时也让学生理解一元二次方程的解并不一定是实际问题的解，在做题过程中要注意选择符合实际的解。

环节四：随堂练习，巩固新知

针对学生在解题过程中容易出现的几个问题，我设置了练习1。

练习1：认真观察下面方程的解法是否正确