解线性方程组{2x1-5x2+2x3-3x4=0,x1+2x2-x3+3x4=0,-2x1+14x2-6x3+12x4=0}一般解

2 -5 2 -3 0 -9 4 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 -1 3 1 2 -1 3 1 2 -1 3 1 2 -1 3 1 0 -1/9 1

-1 7 -3 6 0 9 -4 9 0 9 -4 9 0 1 -4/9 1 0 1 -4/9 1

选x3、x4为多于未知数，那么线性方程组的解为：

x1 = x3/9 - x4 (1)

x2 = 4x3/9 - x4 (2)

其中：x3、x4取值任意。

既然包含特解的概念，那一定是非齐次方程组了。把系数矩阵A和值矩阵B写在一起，作为增广矩阵(A,B)，将增广矩阵化成行最简形，如果r(A)=r(A,B)，则方程组有解，右边的B就变成了特解。

然后根据A的秩r(A)，判断有几个基础解系n-r(A)，根据行最简形可以直接写出对应的基础解系。如果满秩则特解就是唯一解。

如果r(A)＜r(A,B)，则方程组无解，也就没有特解了。

解: 增广矩阵 =

1 3 5 -4 0 1

1 3 2 -2 1 -1

1 -2 1 -1 -1 3

1 -4 1 1 -1 3

1 2 1 -1 1 -1

ri-r1, i=2,3,4,5

1 3 5 -4 0 1

0 0 -3 2 1 -2

0 -5 -4 3 -1 2

0 -7 -4 5 -1 2

0 -1 -4 3 1 -2

r1+3r5,r3-5r5,r4-7r5,r5(-1)

1 0 7 5 3 -5

0 0 -3 2 1 -2

0 0 16 -12 -6 12

0 0 24 -16 -8 16

0 1 4 -3 -1 2

r1-3r2,r3+6r2,r4+8r2,r5+r2 (这样可避免分数运算)

1 0 -2 -1 0 1

0 0 -3 2 1 -2

0 0 -2 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1 1 -1 0 0

r3(-1/2),r1+2r3,r2+3r3,r5-r3

1 0 0 -1 0 1

0 0 0 2 1 -2

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1 0 -1 0 0

所以方程组的全部解为: (1,0,0,0,-2)^T+c(1,1,0,1,-2)^T

线性代数中，已知基础解系求齐次线性方程组解题技巧

先设AX=0，B由ab组成，AB=0，所以A的转置乘以B的转置等于零，解出来就可以求出。对其进行初等变换~（（1，0，-1，-6）T，（0，1，2，3）T），解得x=（1，-2，1，0）T+（6，-3，0，1）T，所以原来的线性方程组为x1-2x2+x3=0，6x1-3x2+x4=0。

证明：量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

性质分析

1、行列式与它的转置行列式相等。

2、代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法。

3、了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组。

令自由元中一个版为 1 ，其余为 0 ，求得 n – r 个解向量，即为一个基础解系。齐次线性方程组AX= 0：若X1，X2… ，Xn-r为基础解系，则权X=k1 X1＋ k2 X2 +…+kn-rXn-r，即为AX= 0的全部解（或称方程组的通解）。

1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

4、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

求基础解系，是针对相应齐次线性方程组来说的。

即AX=0，求出基础解系。

然后求出一个特解，可以令方程组中某些未知数为特殊值1，0等，得到一个解。

然后特解+基础解系的任意线性组合，即可得到通解。

扩展资料：

对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示

基础解系是针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。

对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如（1，2，3）和（2，4，6）及（3，6，9）以及（4，8，12）等均符合方程的解，则系数K为1，2，3，4等，因此（1，2，3）就为方程组的基础解系。

——非齐次线性方程组