行列式，是不是全部都是方阵的？有没有m×n的？还有，对于矩阵，可以写成det形式，可是矩阵有m×n

你看行列式的定义：在数学中，行列式是一个函数，其定义域为n×n的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 |A|

所以行列式一定全部都是方阵的，不会有m×n的形式存在

而det就是用来表示一个方阵的行列式（Determinant），

显然det就是行列式（Determinant）英文的缩写

对于m×n矩阵，这时就不能写成det形式，非得弄成方阵才可以det，求出它的行列式

爪型行列式的解法是：

将依次第二列开始乘一个系数后加到第一列上,使得第一列除了首元素外都是零,

然后再第一列展开就可以得到结果了

具体来讲，

第2~n列，分别乘以-ai，加到第1列，

然后化成上三角，对角线元素相乘，得到

1-a₁²-a₂²-a₃²--an²

行列式符号是用来表示行列式的正负号的符号，通常用 $\det$ 表示。行列式是一个 $n\times n$ 矩阵的一个标量值，它可以表示为:

det⁡(�)=∑�∈��sgn⁡(�)∏�=1���,�(�),det(A)=σ∈Sn∑sgn(σ)i=1∏nai,σ(i),

其中 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵，$\sigma$ 是 $S_n$ 中的一个置换，$S_n$ 表示 $n$ 个元素的置换群，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是置换 $\sigma$ 的符号，$\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$ 是按照置换 $\sigma$ 选取 $A$ 中的元素后求积得到的结果。

行列式符号的值为 $+1$ 或 $-1$，具体取决于置换的奇偶性，即置换可以表示为奇数个交换的乘积或偶数个交换的乘积。如果置换为奇置换，则符号为 $-1$，否则为 $+1$。这个符号的含义在于反映了行列式的“方向性”，即行列式表示的是矩阵所确定的线性变换对空间的“面积”或“体积”的放大或缩小，这个放大或缩小的方向由符号所确定。

伴随矩阵：adjugate (matrix)

adjoint这个术语有歧义，现在已经很少使用了

正交矩阵：orthogonal matrix

行列式：determinant

代数余子式：cofactor

不需要加上algebraic

行列式（Determinant）是数学中的一个函数，将一个 n × n {\displaystyle n\times n} n\times n 的矩阵 A {\displaystyle A} A 映射到一个纯量，记作 det ( A ) {\displaystyle \det(A)} \det(A) 或 | A | {\displaystyle |A|} |A| 

可按照代数余子式的解法，三阶行列式可以改写成三个系数分别乘三个二阶行列式。如果希望最后变成两个二阶行列式，要么其中一个系数为0，要么其中一个二阶行列式为0。

其中一个系数为0，即存在某行某列元素为0，进一步说就是存在某行某列能通过消元之后为0，所以，只要消元出至少含一个0的三阶矩阵就可以了。

其中一个二阶行列式为0，就是存在交叉项乘积相减为0，ad=bc，a/b=c/d。其实这个和上一个条件本质是一样的，就是可以通过系数变化得出能消元的两项，就是该三阶矩阵能消元出来一个0。

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式的性质：

1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

3、行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。

4、 若n阶行列式|αij|中某行(或列)，行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列)，一个是b1，b2，…，bn，另一个是с1，с2，…，сn，其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

5、把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

4 1 2 4

1 2 0 2

10 5 2 0

0 1 1 7=r1-4r2,r3-10r2

0 -7 2 -4

1 2 0 2

0 -15 2 -20

0 1 1 7=r1与r2互换，r4与r2互换

1 2 0 2

0 1 1 7

0 -15 2 -20

0 -7 2 -4=r3+15r2，r4+7r2

1 2 0 2

0 1 1 7

0 0 17 85

0 0 9 45=r3-2r4

1 2 0 2

0 1 1 7

0 0 -1 -5

0 0 9 45=r4+9r3

1 2 0 2

0 1 1 7

0 0 -1 -5

0 0 0 0=0