行列式的定理

第一章 行列式

1．把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。（也简称排列）。

2．n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示。

Pn=n!

3．当某两个元素的先后次序与先规定好的标准次序不同时，就说有1个逆序，所有逆序的总数叫这个排列的逆序数。逆序数为奇的排列叫做奇排列，逆序数为偶的排列叫做偶排列。

4．n阶行列式定义 个数，排成n行n列的数表做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（-1）的t次方，t为行按从小到大一次排列后，列标的逆序数。

5．n阶行列式记作det（aij）,计算n阶行列式，首先必须做出所有可能的不同行，不同列的n个元素的乘积，把这些乘积的第一个下标（行标）按自然顺序排列，然后再看列标排列的奇偶性。

5．定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

推论 奇排列变成标准排列对换次数为奇数，偶排列变成标准排列对换次数为偶数。

6．定理2 n阶行列式也可以按列定义，两者是相等的。见书9页。

7．性质1 行列式与其转置行列式相等。（转置 行列互换）

8．性质2 互换行列式两行（列），行列式相等。

推论 果行列式有两行（列）完全相同，此行列式等于零。

9．性质3 行列式的某一行（列）中的元素都同时乘以同一数k，等于用数k乘次行列式。

推论 列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。

10性质4 行列式如果有两行（列）元素成比例，此行列式等于零。

推论 列式有一行（列）全为零，此行列式等于零。

11性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列式等于将这一列（行）分开到两个行列式之中的对应位置，其余元素的位置不变组成的两个行列式之和。

性质5表明：当某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（列）可以分解为两个行列式。若n阶行列式每个元素都表示为两数之和，则它可分解成2的n次方个行列式。

12性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

结论 任何n阶行列式总能利用运算ri+krj化为上三角行列式，或下三角行列式。

书7页 例5 例6 书14页 例10 例11

13在n阶行列式中，把（i,j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i,j）元aij的余子式，记做Mij；记

Aij= Mij

Aij叫做（i,j）元aij的代数余子式。

14引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即

D=aij Aij

15定理3 行列式等于它的任一行（列）的个元素与其对应的代数余子式乘积之和。

推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之和等于零。

书17-19 例12

16克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，那么，方程组有惟一解。

X1=D1/D X2=D2/D Xn=Dn/D

17定理4 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则其一定有惟一解。

定理4’ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

18定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐没有非零解。

定理5’ 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。

解答步骤如下：

拓展说明：

一、行列式定义

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

二、性质：

行列式与它的转置行列式相等；

2 互换行列式的两行（列），行列式变号；

2  行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；

3行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零；

4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和；

5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

行列式的一个自然的源起是n维平行体的体积。行列式的定义和n维平行体的体积有着本质上的关联。 在一个二维平面上，两个向量X =(a, c)和X' =(b, d)的行列式是：

比如说，两个向量X =(2, 1)和X' =(3, 4)的行列式是：

·经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是向量X和X'形成的平行四边形的有向面积，并有如下性质：

·行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关），这时平行四边形退化成一条直线。

·如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将X逆时针“转到”X'处时，扫过的地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。如右图中，X和X'所构成的平行四边形的面积就是正的。

·行列式是一个双线性映射。也就是说， ，

并且 。

其几何意义是：以同一个向量v作为一条边的两个平行四边形的面积之和，等于它们各自另一边的向量u和u'加起来后的向量：u + u'和v所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。 在三维的有向空间中，三个三维向量的行列式是：

比如说，三个向量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是：

当系数是实数时，行列式表示X、X′和X″三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质：

·行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。

·三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则来约定。比如右图中(u,v,w)所形成的平行六面体的体积是正的，而(u,w,v)所形成的平行六面体的体积是负的。这个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中向量的坐标都是在取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积。

·这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指当生成两个平行六面体的每组三个向量中如果有两个是重合的，比如分别是：(u,v,w)和(u',v,w)，那么它们的体积之总和等于将u和u'加起来后的向量u + u'和v,w所形成的平行六面体的体积，如右图所示。 设E是一个一般的n维的有向欧几里得空间。一个线性变换把一个向量线性地变为另一个向量。比如说，在三维空间中，向量(x,y,z)被映射到向量(x',y',z')：

其中a、b、c是系数。如右图，正方体（可以看作原来的一组基形成的）经线性变换后可以变成一个普通的平行六面体，或变成一个平行四边形（没有体积）。这两种情况表示了两种不同的线性变换，行列式可以将其很好地分辨出来（为零或不为零）。

更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。如果设左边的正方体体积是一，那么中间的平行六面体的（有向）体积就是线性变换的行列式的值，右边的平行四边形体积为零，因为线性变换的行列式为零。这里我们混淆了线性变换的行列式和向量组的行列式，但两者是一样的，因为我们在对一组基作变换。

负单位矩阵的行列式值1。

矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A|=|A|n-1，其中A是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A-1|=|A|-1。

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。