傅立叶意义

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f

ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即 当A0，An

ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变数n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。 二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为 可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有 上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a

b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即 即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变数n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即 引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便

法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

右边的级数为函数f(x)的傅里叶级数，相关的系数为傅里叶系数。注意上方标绿的地方，此处用到的是单约号而不是等号！意思是，对于x的某个值，傅里叶级数可能收敛，但收敛值与f(x)的值不一定相等。这一点是傅里叶级数与幂级数的一个重要区别。求一个函数的傅里叶级数，自然要求出傅里叶级数中的系数。

傅里叶级数多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。[1]

公式

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

（j为虚数单位）（1）

其中，

可以按下式计算：

（2）

注意到

；是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=\pm 1时具有基波频率

，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

基础原理讲述：

FFT（快速傅里叶变换）：

FFT算法是DFT算法的改良版，而DFT是FFT的离散化。理解FFT，就从傅里叶变换到DFT再到FFT的思路进行推导。笔者也会按照这样的思路进行讲解推导。

傅里叶变换：

傅里叶变换是傅里叶级数的推广，所以在谈傅里叶变换之间，先说一下傅里叶级数。在大学期间学习无穷级数有相关基础的同学可以跳着看。

傅里叶级数：

傅里叶级数是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式，更严肃来说的话：对于满足狄利克雷定理的周期函数，其傅里叶级数是由一组简单的振荡函数加权和表示的，表示周期函数为正弦波和余弦波之和。和或谐波（谐波频率是原周期信号频率整数倍的波），可以用谐波分析开确定每一个谐波的相位和幅度。傅里叶级数中就可能有无限谐波数。对于函数的傅里叶级数的部分但不是所有的谐波求和会产生该函数的近似值，例如：傅里叶级数前几个谐波用于方波就会产生方波的近似值。

方波（表示为蓝点）近似为其第六部分和（表示为紫点），由方波傅里叶级数的前六项（表示为箭头）求和形成。每个箭头从其左侧所有箭头的垂直总和开始（即先前的部分总和）

方波的傅立叶级数的前四个部分和。随着更多谐波的添加，部分和会收敛到（变得越来越像）

当白色的光经过三菱镜的时候，就会分解成七色光。这就是一种傅里叶变换，将白色光分解成其中颜色的光，逆变换是七色光合成白色光。

光是具有波粒二象性，所以我们可以认为光是波，那么，他的函数就是 , 其中 表示频率, 每一种颜色的光都是一个正弦波函数，所以白色光的函数表示就是:

我们看到的是7色光，而实际上是无穷多光，所以标准的表达式:

我们能够同时听到各种各样的声音，但是，我们的大脑弄将噪音剔除，而听清楚人的说话声音。这个过程与七色光是类似的。每一个声音都是一个波，那么，大脑将声音分解出来，将自己不想听的声波过滤掉，就是滤波，那么，就能够从混合的声音中听清楚想要的声音了。

前面所说的例子，都涉及到一个操作，就是变换，这种变换就傅里叶变换，将一个函数分解成若干个函数的线性组合。

先从傅里叶级数入手。对于任意一个周期函数 其周期为 , 其可以分解成如下:

为什么是上面的公式？从几个方面来解释, 1 周期 2 函数分解 3 函数的基

因为 的周期是 , 所以，我们选择的函数，需要也是周期是 , 在上面的式子中, 的最小周期是 ， 因为其最小周期是 ，所以 也是其周期。

例如

通过上面的解释，我们知道 和 都是满足周期是 的。

任何一个函数都能够分解成一个奇函数和一个偶函数的和。

因为

所以 是奇函数; 同理可以证明 是偶函数。

在介绍函数的基，先看看向量基，这是我们熟悉的事情。对于直角坐标系任意点

都可以通过两个基本向量来表示, 分别是 和 , 也就是:

三维的也同样,

在向量空间，我们将 , 称作基向量，而任何一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示出来。

那么，函数能否有类似的这样一组基来表示成函数基的线性组合呢？如果能够表示成基的线性组合，那么函数的分解这个问题也就解决了？

看看向量基具备的特性，然后，我们在仿照来寻找函数基

向量满足正交性。也就是

顺便说一下, 其实代表了两个向量的相似度，正交基是垂直的所以相似度为0

根据向量的正交性，可以推断出函数的正交性是满足

现在来考察 , 为了简单起见，令 , 考察 区间, 这样就是看 与

所以与向量的正交性定义是一致的，所以认为 与 是正交的。

同样的方式，可以证明以下是正交的:

所以， 是正交的，这也就是我们看到的傅里叶表达式，可以通过 这三个正交基来线性组合表达的方式。

有了函数正交基的概念，求解系数就变得非常容易，因为相互正交的积分为0, 自己与自己正交为 。先求解

为了简单，我们假设 , 对 两边同时乘以正交基 并积分。如下:

所以有

同理也可以推导出

对于 来说，乘以 后做积分即可。

可以看出每一个系数实际就是 乘以 其相应正交基的积分。

上面是假设 ，那么，去掉这个限制，用 来表示，就是如下:

求 的傅里叶级数，当

依据公式，求得:

, ,

所以

令 , 有

所以有:

这么神奇的级数和。

欧拉公式:

通过欧拉公式，变换得到:

带入到傅里叶级数中有:

通过上面的等式，也可以得出:

现在复数域上傅里叶变换的表达式就是:

在这种变化下，正交基是 与 。也就是:

当 时,

当 时,

所以也是符合符合正交基的定义的。有了正交基，计算 就方便了，两边乘以 积分即可。所以有:

前面的计算是假设 , 更通用的公式是:

傅里叶级数将函数从时域转换到频域。我们将傅里叶级数稍稍变化一下写法，以向量的形式写出来。就是:

我们将系数向量单独看，也就是说任何一个函数 , 如果，我们知道了系数向量也就知道了 , 因为函数基的向量都是一样的，每一个函数基又是周期函数，所以频率就代表了这个函数基，这样周期函数组成的函数基空间，就是频域。可以用下面的式子来表达:

是 的 傅里叶级数变换; 是 的逆变换。如果讲 以 为坐标系绘制成图像，就是频谱。

目前为止，我们使用了两种变换，分别是实数域变换和复数域变换，变幻出了不同的系数。那么，这些系数有什么含义？

在正弦函数基变化下，我们知道对于 其中, 是振幅，也就是代表了正弦波的能量。所以不论在哪种分解下，都是能量在不同的维度上的分解。

对于复数域上:

其中 表示 的共轭。

所以这些系数也可以看做是能量。上面的推导，也叫: 帕塞瓦。

前面的傅里叶级数是基于周期是 的周期函数变换而来。那么对于非周期函数如何解决呢？ 可以将其转化成 的函数来看待。为了方便，我们假设周期

令

将以上带入 有:

令:

有:

这与傅里叶级数的形式是一样的（一个是积分一个是求和）, 是函数基。 的傅里叶变换就是 , 是 的傅里叶逆变换， 。 就是频率曲线。

绘制出来是频谱，那么 就是曲线。

这幅图很好的说明了这个过程:

, 那么 的傅里叶变换 是什么呢？直接计算:

所以 。这个性质在解微分方程的时候，非常方便。

帕塞瓦定理:

卷积的傅里叶变换。 卷积操作的傅里叶变换推导:

所以 和 的卷积的傅里叶变换就是， 独自傅里叶变换的乘积。

在实际的情况中，我们很难获得连续的值，那么，就通过等间距采样来获得信号数据。那么，离散的采样回来的数据，如何进行傅里叶变换？这就是 离散傅里叶变换 DFT。

假设采样了 个等间距的点, 获得数据是 ，令 , 离散傅里叶变换的表达式如下:

令 , 就有:

上面的的式子可以写成矩阵的形式:

这就是离散傅里叶变换。那么，离散傅里叶变换的逆变换如何计算呢？ 就是对变换矩阵 求逆矩阵即可。

到此已经将傅里叶级数，傅里叶变换，离散傅里叶变化 以及 傅里叶变换的卷积相关性质介绍完毕。

连续傅里叶变换

一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数 表示成复指数函数的积分形式：

上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数 的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数 表示为时间域的函数 的积分形式。一般可称函数 为原函数，而称函数 为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。

当 为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。

傅里叶级数

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连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，它的傅里叶级数（Fourier series）表示被定义为：

其中 为函数的周期， 为傅里叶展开系数，它们等于

对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

其中 和 是实频率分量的振幅。

离散时间傅里叶变换

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离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform, DTFT）针对的是定义域为Z的数列。设 为某一数列，则其DTFT被定义为

相应的逆变换为

DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。

离散傅里叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，序列 的离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）为

其逆变换为

直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为 ，而快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）可以将复杂度改进为 。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。

傅里叶变换家族

下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性，反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。 变换 时间域 频率域 连续傅里叶变换 连续， 非周期性 连续， 非周期性 傅里叶级数 连续， 周期性 离散， 非周期性 离散时间傅里叶变换 离散， 非周期性 连续， 周期性 离散傅里叶变换 离散， 周期性 离散， 周期性