数学家的故事100zi

1785年，8岁的高斯在德国农村的一所小学里念一年级。

学校的老师是城里来的。他有一个偏见，总觉得农村的孩子不如城市的孩子聪明伶俐。不过，他对孩子们的学习，还是严格要求的。他最讨厌在课堂上不专心听讲、爱做小动作的学生，常常用鞭子敲打他们。孩子们到爱听他的课，因为他经常讲一些非常有趣的东西。

有一天，他出了一道算术题。他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100等于多少？谁算不出来，就不准回家吃饭。” 说完，他就坐在椅子上，用目光巡视着趴在桌上演算的学生。

不到一分钟的工夫，小高斯站了起来，手里举着小石板，说：“老师，我算出来了”

没等小高斯说完，老师就不耐烦的说：“不对！重新再算！”

小高斯很快的检查了一遍，高声说：“老师，没错！”说着走下座位，把小石板伸到老师面前。

老师低头一看，只见上面端端正正的写着“5050”，不禁大吃一惊。他简直不敢相信，这样复杂的数学题，一个8岁的孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数。要知道，他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。就问小高斯：“你是怎么算的？”小高斯回答说：“我不是按照1、2、3的次序一个一个往上加的。老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的：1加100时101，2加99时101，3加98也是101一前一后的数相加，一共有50个101，101乘50，得到5050。”

小高斯的回答使老师感到吃惊。因为他还是第一次知道这种算法。他惊喜的看着小高斯，好像刚刚才认识这个穿着破烂不堪的，砌转工人的儿子。

不久，老师专门买了一本数学书送给小高斯，鼓励他继续努力，还把小高斯推荐给教育当局，使他得到免费教育的待遇。后来，小高斯成了世界著名的数学家。 人们为了纪念他，把他的这种计算方法称为“高斯定理”。

华裔算杰张圣蓉

张圣蓉1948年生于陕西省西安市，出生不久便随父母到台湾居住。她从小聪慧，喜爱读书，对数学情有独钟。张圣蓉中学毕业后考入著名的台湾大学数学系，1970年获学士学位。她不满足于此，又以优异成绩考入美国加利福尼亚大学，攻读数学博士学位。

“函数”是数学中最基本、最重要的概念。一位著名数学家说过“函数概念是近现代数学思想之花”。它的产生、发展实质上反映了近现代数学迅速发展的历程，同时也与函数论、解析数学的发展相辅相成。张圣蓉选择了现代数学的重要前沿分支之一“函数论”作为攻读对象。她的导师是一位著名的函数论世界大师，她要同函数论专家一道去摘取函数论皇冠上的明珠。

1974年，张圣蓉获伯克利加利福尼亚大学博士学位，从此在美国从事函数论的研究工作。她对函数论中复平面上的解析函数、多复变函数以及有界函数的解析函数的逼近等高深领域都有涉猎，1976年，28岁的张圣蓉通过对道格拉斯函数的研究撰写了世人没有发现的这类函数特征的论文，这为第二年著名数学家马歇尔解决著名的道格拉斯猜测铺平了道路。张圣蓉一鸣惊人，1977年又撰写出另一篇令函数论专家惊叹的论文，证明了马歇尔攻克道格拉斯猜测中的一个未发现的难题。在清一色的男数学家主导的函数论领域，她确立了自己的地位。

拉玛奴江

1962年12月22日印度发行弓一张纪念邮票。这张邮票是为纪念印度的

「国宝」锡里尼哇沙‧拉玛奴江（Srinivasa Ramanujan）诞生七十五周年而

发行的。

拉玛奴江是一个生於南印度没落的贫穷婆罗门家庭，没有受过大学育，

靠自学及艰苦钻研数学，后来成为一个闻名国际的数学家。

在数学家中，以贫穷家庭出身，而且能在没有研究数学的环境裏，孤独

的工作，发现了一些深入的结果的人是不太多。他到了二十七岁时才获得真

正数学家的教导，他的才华像彗星突然出现长空，耀眼令人侧目。可惜的是

肺病却蚕食了他的生命，他在三十三岁时悄然逝去。

他是淡米尔人，生於1887年12月22日，父亲是一间布店裏的小职员。小

时候他大部份的时间是在祖母家裏度过。从小他就喜欢思考问题，曾问老师

在天空闪耀的星座的距离，以及地球赤道的长度。在十二岁时始对数学发生

兴趣，曾问高班同学：「什麼是数学的最高真理？」当时同学告诉他「毕达

高拉斯定理」（即中国人称「商高定理」）是可以作为代表，引起了他对几

何的兴趣。

有一天一个老师讲：「三十个果子给三十个人平分，每一个人得到一个

。同样的十四个果子给十四个人平分，每一个人得一个果子。」从这裏老师

下了结论：任何数给自己除得到是一。拉玛奴江觉得不对，马上站起来问：

「是否每一个人也得到一个？」这时数字的奇妙性质引起了他的注意，也差

不多在这个时候他对等差，等比级数的性质自己作了研究。

在十三岁时，高班的同学借给他一本Loney 的〈三角学〉一书（以,前，

有一些学校采用此书为高中课，中译本书名为〈龙氏三角学〉），他很快把

整夬书的习题解完。第二年他得到了正弦和余弦函数的无穷级数展开式，后

来他才知这是著名的Euler 公式，他心中有点失望，於是把自己结果的草稿，

偷偷地放到裏的屋梁上。

他十五岁时，朋友借给了他二厚册英国人卡尔（Carr）写「纯数的应用

数学基本结果大要」一书。这书是写得相当枯燥无味的，罗列了在代数、微

积分、三角学和解析几何的六千个定理和公式。这本书对他来说是本好书，

他自己证明了其中的一些定理，而以后他研究的基础全是这书给出的。

在1930年他进入了家乡的政府学院，由於贫穷和入学试成绩优越，他获

得奖学金，可是在学院裏他太专心於自己善羑的数学，而忽略了其他科目，

结果年考不及格而失去了奖学金。在1906年他转到另外一间学院读二年级并

参加1907年的「文科第一考试」，。是又失败了。

在1907年到1910年之间，他住在外面，找不到任何工作，有时替朋友补

习以换取一些吃的东西。在这段期间，他自己研究魔方阵、连环分数、超几

何级数、椭圆积分及一些数论问题，他把自己得到的结果写在二本记事簿裏

，生活不安定不能使到他对数学的爱好减少，一个善良的邻居老太太，看他

生活困难，几次在中餐时邀他在家裏吃些东西。

根据印度的习俗，他家人在1909年为他安排了婚事，妻子是一个九岁的

女孩。在1910年他是二十三岁了，有了家而且因是长子，必须帮助家一些费

用，他不得不极力寻找工作，后来朋友推荐他去找印度官员拉奥。

拉奥本身是一个有钱的印度官员，也是印度数学会的创办人之一，认为

拉玛奴江不适合做其他工作，很难介绍工作给柋，因此宁愿每个月给他一些

钱，够他生活不必去工作，而他自己可以作研究。他很赏识拉玛奴江的数学

才能。

接玛奴江只好接受这些钱，又继续他的究工作。每天傍晚时分才在马德

拉斯(Madras)的海边散步和朋友聊天作为休息。有一天一个老朋友遇到他,就

对他说：「人们称赞你有数学的天才！」拉玛奴江听了笑道：「天才？！请

你看看我的肘吧！」他的肘的皮肤显得又黑又厚。他解释他日夜在石板上计

算，用破布来擦掉石板上的字太花时间了，他每几分钟就用肘直接擦石板的

字。朋友问他既然要作这麼多计算为甚麼不用纸来写。拉玛奴江说他连吃饭

都成问题，那裏有钱去买大量的纸来用，原来接玛奴江觉得依靠别人生活心

里是很惭愧，已经有一个月不去拿钱了。

很幸运拉玛奴江获得了奖学金，在1913年5月开始，他每个月获得七十

五卢比。不久他的朋友协助他用英文写了一封信给英国剑桥大学的著名数学

家哈地球(GHHardy)教授，在这信裏列下了他以前研究得到的一百二十个定

理和公式。

哈地教授看到他的一些结果，有些是重新发现一百年前大数学家的结果

，有一些是错误，有一些是非常深入困难，经过许多波折，拉玛奴江总算来

到了英国。哈地认为要教他现代数学，如果照常规从头学起，很可能会对拉

玛奴江的才能有损害。而他又不能停留在对现代数学无知的状态。因此哈地

用自己独特的方法帮助他学习，终於拉玛奴江掌握了较健全的现代分析理论

的知识。比他教给拉玛奴江的还多。

从1914到1918年拉玛奴江和教授写了许多重要的数学论文。由於他是个

虔诚的婆罗门教徒，绝对奉行素食主义，在英国生活那段时间，他自己煮自

己的食物，而常常因研究而忘记吃饭，他的身体越来越衰弱，后来常感到身

上有无名的疼痛。

后来才发现他患上了无法医治的肺病。在英国医院住了一个时期。哈地

教授讲他在病中的一个故事：

有一天哈地乘了一辆出租汽车去看他，这车牌号码是1729。哈地对拉玛

奴江讲出了这个数字，看来没有甚麼意义。可是拉玛奴江想一下马上回答：

「这是最小的整数能用二种方法来表示二个整数的立方的和。」

(1729=13+123=93+103)

拉玛奴江被称为数学的预言家，他死后已经有五十四年了，可是他的一

些预测的结果，还是目前数学家正想法证明的。

他在1920年4月26日死於麻特拉斯，马德拉斯大学后来建立了一个高等

数学研究所，就用他的名字来命名。而在1974年还准备在研究所门前为他

矗立一个大理半身像。

如果他英灵有知，或许他会说：「不必替我立像，应该求求那些正在饿

死的小孩，他们有许多会是未来的拉玛奴江！」

高斯

高斯－被誉为「数学王子」的德国大数学家，物理学家和天文

学家。

德国大数学家高斯 ( Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ) 是德国最伟

大，最杰出的科学家，如果单纯以他的数学成就来说，很少在一门

数学的分支里没有用到他的一些研究成果。

贫寒家庭出身

高斯的祖父是农民，父亲除了从事园艺的工作外，也当过各色

各样的杂工，如护堤员、建筑工等等。父亲由於贫穷，本身没有受

过什麼教育。

母亲在三十四岁时才结婚，三十五岁生下了高斯。她是一名石

匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，他手巧心灵是当地出名的织绸能

手，高斯的这位舅舅，对小高斯很照顾，有机会就教育他，把他所

知道的一些知识传授给他。而父亲可以说是一名”大老粗”，认为

只有力气能挣钱，学问对穷人是没有用的。

高斯在晚年喜欢对自己的小孙儿讲述自己小时候的故事，他说

他在还不会讲话的时候，就已经学会计算了。

他还不到三岁的时候，有一天他观看父亲在计算受他管辖的工

人们的周薪。父亲在喃喃的计数，最后长叹的一声表示总算把钱算

出来。

父亲念出钱数，准备写下时，身边传来微小的声音：「爸爸！

算错了，钱应该是这样。」

父亲惊异地再算一次，果然小高斯讲的数是正确的，奇特的地

方是没有人教过高斯怎麼样计算，而小高斯平日靠观察，在大人不

知不觉时，他自己学会了计算。

另外一个著名的故事亦可以说明高斯很小时就有很快的计算能

力。当他还在小学读书时，有一天，算术老师要求全班同学算出以

下的算式：

1 + 2 + 3 + 4 + + 98 + 99 + 100 =

在老师把问题讲完不久，高斯就在他的小石板上端端正正地写下答

案5050，而其他孩子算到头昏脑胀，还是算不出来。最后只有高斯

的答案是正确无误。

原来 1 +100= 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

50 + 51 = 101

前后两项两两相加，就成了50对和都是 101的配对了

即 101 × 50 = 5050。

按：今用公式

表示 1 + 2 + + n

高斯的家里很穷，在冬天晚上吃完饭后，父亲就要高斯上

床睡觉，这样可以节省燃料和灯油。高斯很喜欢读书，他往往

带了一捆芜菁上他的顶楼去，他把芜菁当中挖空，塞进用粗棉

卷成的灯芯，用一些油脂当烛油，於是就在这发出微弱光亮的

灯下，专心地看书。等到疲劳和寒冷压倒他时，他才钻进被窝

睡觉。

高斯的算术老师本来是对学生态度不好，他常认为自己在

穷乡僻壤教书是怀才不遇，现在发现了「神童」，他是很高兴

。但是很快他就感到惭愧，觉得自己懂的数学不多，不能对高

斯有什麼帮助。

他去城里自掏腰包买了一本数学书送给高斯，高斯很高兴

和比他大差不多十岁的老师的助手一起学习这本书。这个小孩

和那个少年建立起深厚的感情，他们花许多时间讨论这里面的

东西。

高斯在十一岁的时候就发现了二项式定理 ( x + y )n的一般

情形,这里 n可以是正负整数或正负分数。当他还是一个小学生

时就对无穷的问题注意了。

有一天高斯在走回家时，一面走一面全神贯注地看书，不

知不觉走进了布伦斯维克 ( Braunschweig ) 宫的庭园，这时布伦

斯维克公爵夫人看到这个小孩那麼喜欢读书，於是就和他交谈

，她发现他完全明白所读的书的深奥内容。

公爵夫人回去报告给公爵知道，公爵也听说过在他所管辖

的领地有一个聪明小孩的故事，於是就派人把高斯叫去宫殿。

费迪南公爵 ( Duke Ferdinand ) 很喜欢这个害羞的孩子，也

赏识他的才能，於是决定给他经济援助，让他有机会受高深教

育，费迪南公爵对高斯的照顾是有利的，不然高斯的父亲是反

对孩子读太多书，他总认为工作赚钱比去做什麼数学研究是更

有用些，那高斯又怎麼会成材呢？

高斯的学校生涯

在费迪南公爵的善意帮助下，十五岁的高斯进入一间著名

的学院（程度相当於高中和大学之间）。在那里他学习了古代

和现代语言，同时也开始对高等数学作研究。

他专心阅读牛顿、欧拉、拉格朗日这些欧洲著名数学家的

作品。他对牛顿的工作特别钦佩，并很快地掌握了牛顿的微积

分理论。

1795年10月他离开家乡的学院到哥庭根 ( Gottingen )去念大

学。哥庭根大学在德国很有名，它的丰富数学藏书吸引了高斯

。许多外国学生也到那里学习语言、神学、法律或医学。这是

一个学术风气很浓厚的城市。

高斯这时候不知道要读什麼系，语言系呢还是数学系？如

果以实用观点来看，学数学以后找生活是不大容易的。

可是在他十八岁的前夕，现在数学上的一个新发现使他决

定终生研究数学。这发现在数学史上是很重要的。

我们知道当 n ≥ 3 时，正 n 边形是指那些每一边都相等，

内角也一样的 n 边多边形。

希腊的数学家早知道用圆规和没有刻度的直尺画出正三、

四、五、十五边形。但是在这之后的二千多年以来没有人知道

怎麼用直尺和圆规构造正十一边、十三边、十四边、十七边多

边形。

还不到十八岁的高斯发现了：一个正 n 边形可以用直尺和

圆规画出当且仅当 n 是底下两种形式之一：

k= 0,1,2,

十七世纪时法国数学家费马 ( Fermat ) 以为公式

在 k = 0, 1, 2, 3, 给出素数。（事实上，目前只确定 F0,F1,F2,F4

是质数，F5不是）。

高斯用代数方法解决了二千多年来的几何难题，而且找到

正十七边形的直尺与圆规的作法。他是那麼的兴奋，因此决定

一生研究数学。据说，他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上

一个正十七边形，以纪念他少年时最重要的数学发现。

1799年高斯呈上他的博士论文，这论文证明了代数一个重

要的定理：任何一元代数方程都有根。这结果数学上称为”代

数基本定理”。

事实上在高斯之间有许多数学家认为已给出了这个结果的

证明，可是没有一个证是严密的，高斯是第一个数学家给出严

密无误的证明，高斯认为这个定理是很重要的，在他一生中给

了一共四个不同的证明。高斯没有钱印刷他的学位论文，还好

费迪南公爵给他钱印刷。

二十岁时高斯在他的日记上写，他有许多数学想法出现在

脑海中，由於时间不定，因此只能记录一小部份。幸亏他把研

究的成果写成一本叫＜算学研究＞，并且在二十四岁时出版，

这书是用拉丁文写，原来有八章，由於钱不够，只好印七章，

这书可以说是数论第一本有系统的著作，高斯第一次介绍”同

余”这个概念。

巴比仑

灿烂的古巴比仑文化

发源於现在土耳其境内的底格里斯河（Tigris）和幼发拉底

河 （Euphrates） ，向东南方流入波斯湾。河流经过现在的叙利

亚和伊拉克。

现在我们生活的「星期制度」是源於古代巴比仑。巴比仑

人把一年分为十二个月，七天组成一个星期，一个星期的最后

一天减少工作，用来举行宗教礼拜，称为安息日－这就是我们

现在的礼拜日。

我们现在一天二十四小时，一小时有六十分，一分有六十

秒这种时间分法就是巴比仑人创立的。在数学上把圆分三百六

十度，一度有六十分这类六十进位制的角度衡量也是巴比仑人

的贡献。

古代巴比仑人的书写工具是很奇特的，他们利用到处可见

的粘泥，制成一块块长方薄饼，这就是他们的纸。然后用一端

磨尖的金属棒当笔写成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥

板书。

希腊的旅行家曾记载巴比仑人为农业的需要而兴建的运河

，工程的宏大令人惊叹。而城市建筑的豪美，商业贸易的频繁

，有许多人从事法律、宗教、科学、艺术、建筑、教育及机械

工程的研究，这是当时其他国家少有的。

可是巴比仑盛极一时，以后就衰亡了，许多城市埋葬在黄

土沙里，巴比仑成为传说神话般的国土，人们在地面上找不到

这国家的痕迹，曾是闻名各地的「空中花园」埋在几十米的黄

土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

到了十九世纪四十年代，法国和英国考古学家发掘了古城

及获得很多文物，世人才能重新目睹这个地面上失踪的古国，

了解其文化兴盛的情况。特别是英国人拉雅（ Loyard）在尼尼

微（Nineveh）挖掘到皇家图书馆，两间房藏有二万六千多件泥

板书，包含历史、文学、外交、商业、科学、医药的记录。巴

比仑人知道五百种药，懂得医治像耳痛及眼炎，而生物学家记

载几百种植物的名字及其性质。化学家懂得一些矿物的性质，

除了药用外，而且还利用提炼金属，制陶器及制玻璃的水平很

高。

有这样高文化水平的民族，他们的数学也该是不错吧？这

里就谈谈他们这方面的贡献。

巴比仑人的记数法

巴比仑人用两种进位法：一种是十进位，另外一种是六十

进位。

十进位是我们现在普通日常生活中所用的方法，打算盘的

「逢十进一」就是基於这种原理。

巴比仑人没有算盘，但他们发明了这样的「计算工具」协

助计算（图一）。在地上挖三个长条小槽，或者特制有三个小

糟的泥块，用一些金属小球代表数字。

比方说：巴比仑城南的农民交来了 429 袋的麦作为国王的

税金，而城东的农民交来了 253 袋的麦。因此国王的仓库增加

了 429 + 253 = 682 袋粮食。我们用笔算一下子就得到答案，可

是巴比仑人却是先在泥板上的小槽上分别放上：4 个， 2 个，

9 个的金属球，这代表了 429。然后在置放 4 个金属球的小槽

上添加 2 个小球，中间槽上添加 5 个小球，最后的小槽上添加

3 个小球。

现在最后一列的小槽上有 12 个小球，巴比仑人就取掉十

个，在中间那个槽里添上 1 个小球－这也就是「逢十进一」。

最后泥板上的数字 682 就是加的结果。这不是很好玩吗？

（图二）我们可以利用这方法以实物教儿童认识一些大数的加

法。

六十进位制目前是较少用到，除了在时间上我们说：一小

时 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他场合我们都是用十进位制。

可是你知道吗？就是古代的巴比仑人定下一年有三百六十

五天， 十二个月，一个月有二十九天或三十天，每七天为一个

星期，一个圆有三百六十度，一小时有六十分，一分有六十秒

等等，我们现代还是继续采用。

考古学家在一块长三又八分之一吋，宽二吋，厚四分之三

吋的泥板书上发现了巴比仑人的记数法。

这泥板的中间从上到下有像（图四）的符号：读者可以看

出这是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

这泥板书受到盐和灰尘的侵蚀，但可以看到泥板书的右边

前五行是形如：

很明显的这应该代表 10,20,30,40,50。

可是接下来的却是这样的符号：

如果我们前面知道的符号是写成：

1 1,10 1,20 (缺三个) 2 2,10

这是什麼意思呢？考古学家猜测那几个符号照上面10,20,30,

40,50的次序应该是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

是否那个 1 的符号也可以代表 60 呢？如果是的话那麼 1,10

就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那个

将代表 2 × 60 = 120了。很明显 2,10是代表 120 + 10 = 130。

这样的猜测是合理的，由於巴比仑人没有符号表示零，而

他们采用的是 60 进位制，因此同样一个符号可以代表 1 或 60。

没有零符号在记数上是很容易产生误会，比方说：可以

看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

到了两千年前巴比仑人才采用表示零。

因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

从此巴比仑人小於 60 的数字的记数可以看出他们懂得「位值原理」。

巴比仑人怎样进行除法运算？

从一些泥板书里可以看出底下的对应。

2 30 16 3,45 45 1 ,20

3 20 18 3,20 48 1 ,15

4 15 20 3 50 1 ,12

5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40

6 10 25 2,24

8 7,30 27 2,13,20

9 6,40 30 2

10 6 32 1,52,30

12 5 36 1,40

15 4 40 1,30

如果你在现在的伊拉克的土地上发掘这样的泥板书，你能了解这是什麼

意思吗？四十多年前考古学家发现这事实上就是巴比仑人的「倒数表」。我

现在把以上的表改写：

你可以看出这就是把整数 n 的倒数1／n用六十进的分数来表示。比方说 27

对应 2,13,20意思就是：

你会注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，

这是什麼原因呢？

原来是这样：巴比仑人只列下以六十进位制的分数表示式是有限长的那些整

数，而这些整数只能是 2a3b5c（这里a,b,c是大於或等於零的整数）的样子。

对於 7 来说，它的倒数如果是以六十进位数表示将得到循环分数，即 8,34,17,

8,34,17,直到无穷。对於 11 也是如此，我们得到 5,27,16,21,49 然后重覆以上的样

式以至无穷。

为什麼要构造这样的「倒数表」呢？

我们在小学学计算：先学加，然后学减。先学乘，然后学除。如果现在要算

a ÷ b ，我们可以把这问题转化成为 a × ()，这样只要知道 b 的倒数，我们就「

化除为乘」，计算有时是会快捷一些。

古代的巴比仑人也懂得这个道理，因此在实际生活上，如在灌溉、计算工资

、利息、税项、天文等问题上遇到除的问题，就尽可能将它转变为乘的问题来解

决，这时候「倒数表」就很有用了。

祖冲之

法国巴黎的「发现宫」科学博物馆中友祖冲之的大名与他所发现

的圆周率值并列。他曾经算出月球绕地球一周为时2721223日，与现代

公认的2721222日，在那个时代能有那麼伟大的成就，实在让人佩服，

难怪西方科学家把月球上许多「火山口」中的一个命名为「祖冲之」。

而即使在社会主义共产国家「老大哥」苏俄，在莫斯科国立大学礼堂

廊壁上，用彩色大理石镶嵌的世界各国著名的科学家肖像中，也有中国

的祖冲之和李时珍，祖氏有那麼杰出的表现，我们不能不对他稍有认识。

笛卡儿

我们现在所用的直角坐标系，通常叫做笛卡儿直角坐标系。是从笛卡儿 （Descartes R,1596331~1650211）引进了直角坐标系以后，人们才得以用代数的方法研究几何问题，才建立并完善了解析几何学，才建立了微积分。

法国数学家拉格朗日（Lagrange JL,1736125~1813410）曾经说过："只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后，就以快速的步伐走向完善。"

我国数学家华罗庚（19101112~1985612）说过："数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。形数结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！"

这些伟人的话，实际上都是对笛卡儿的贡献的评价。

笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理，也不同于一段一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺,它使整个数学发生了崭新的变化，它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一。

笛卡儿是十七世纪法国杰出的哲学家，是近代生物学的奠基人，是当时第一流的物理学家，并不是专业的数学家。

笛卡儿的父亲是一位律师。当他八岁的时候，他父亲把他送入了一所教会学校，他十六岁离开该校，后进入普瓦界大学学习，二十岁毕业后去巴黎当律师。他于1617年进入军队。在军队服役的九年中，他一直利用业余时间研究数学。后来他回到巴黎，为望远镜的威力所激动，闭门钻研光学仪器的理论与构造，同时研究哲学问题。他于1682年移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，完成了他的许多重要著作，如《思想的指导法则》、《世界体系》、《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（包括三个著名的附录：《几何》、《折光》和《陨星》），还有《哲学原理》和《音乐概要》等。其中《几何》这一附录，是笛卡儿写过的唯一本数学书，其中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想。笛卡儿于1649年被邀请去瑞典作女皇的教师。斯德哥尔摩的严冬对笛卡儿虚弱的身体产生了极坏的影响，笛卡儿于1650年2月患了肺炎，得病十天便与世长辞了。他逝世于1650年2月11日，差一个月零三周没活到54岁。

笛卡儿虽然从小就喜欢数学，但他真正自信自己有数学才能并开始认真用心研究数学却是因为一次偶然的机缘。

那是1618年11月，笛卡儿在军队服役，驻扎在荷兰的一个小小的城填布莱达。一天，他在街上散步，看见一群人聚集在一张贴布告的招贴牌附近，情绪兴奋地议论纷纷。他好奇地走到跟前。但由于他听不懂荷兰话，也看不懂布告上的荷兰字，他就用法语向旁边的人打听。有一位能听懂法语的过路人不以为然的看了看这个年青的士兵，告诉他，这里贴的是一张解数学题的有奖竞赛。要想让他给翻译一下布告上所有的内容，需要有一个条件，就是士兵要给他送来这张布告上所有问题的答案。这位荷兰人自称，他是物理学、医学和数学教师别克曼。出乎意料的是，第二天，笛卡儿真地带着全部问题的答案见他来了；尤其是使别克曼吃惊地是，这位青年的法国士兵的全部答案竟然一点儿差错都没有。于是，二人成了好朋友，笛卡儿成了别克曼家的常客。

笛卡儿在别克曼指导下开始认真研究数学，别克曼还教笛卡儿学习荷兰语。这种情况一直延续了两年多，为笛卡儿以后创立解析几何打下了良好的基础。而且，据说别克曼教笛卡儿学会的荷兰话还救过笛卡儿一命：

有一次笛卡儿和他的仆人一起乘一艘不大的商船驶往法国，船费不很贵。没想到这是一艘海盗船，船长和他的副手以为笛卡儿主仆二人是法国人，不懂荷兰语，就用荷兰语商量杀害他们俩抢掠他们钱财的事。笛卡儿听懂了船长和他副手的话，悄悄做准备，终于制服了船长，才安全回到了法国。

在法国生活了若干年之后，他为了把自己对事物的见解用书面形式陈述出来，他又离开了带有宗教偏见和世俗的专制政体的法国，回到了可爱而好客的荷兰，甚至于和海盗的冲突也抹然不了他对荷兰的美好回忆。正是在荷兰，笛卡儿完成了他的《几何》。此著作不长，但堪称几何著作中的珍宝。

笛卡儿在斯德哥尔摩逝世十六年后，他的骨灰被转送回巴黎。开始时安放在巴维尔教堂，1667年被移放到法国伟人们的墓地--神圣的巴黎的保卫者们和名人的公墓。法国许多杰出的学者都在那里找到了自己最后的归宿。

数学之父—泰勒斯(Thales)

泰勒斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家。他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，泰勒斯便专心从事科学研究和旅行。他勤奋好学，同时又不迷信古人，勇于探索，勇于创造，积极思考问题。他的家乡离埃及不太远，所以他常去埃及旅行。在那里，泰勒斯认识了古埃及人在几千年间积累的丰富数学知识。他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已。

泰勒斯的方法既巧妙又简单：选一个天气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字塔的高度也恰好与塔影长度相等。也有人说，泰勒斯是利用棍影与塔影长度的比等于棍高与塔高的比算出金字塔高度的。如果是这样的话，就要用到三角形对应边成比例这个数学定理。泰勒斯自夸，说是他把这种方法教给了古埃及人但事实可能正好相反，应该是埃及人早就知道了类似的方法，但他们只满足于知道怎样去计算，却没有思考为什么这样算就能得到正确的答案。

在泰勒斯以前，人们在认识大自然时，只满足于对各类事物提出怎么样的解释，而泰勒斯的伟大之处，在于他不仅能作出怎么样的解释，而且还加上了为什么的科学问号。古代东方人民积累的数学知识，主要是一些由经验中总结出来的计算公式。泰勒斯认为，这样得到的计算公式，用在某个问题里可能是正确的，用在另一个问题里就不一定正确了，只有从理论上证明它们是普遍正确的以后，才能广泛地运用它们去解决实际问题。在人类文化发展的初期，泰勒斯自觉地提出这样的观点，是难能可贵的。它赋予数学以特殊的科学意义，是数学发展史上一个巨大的飞跃。所以泰勒斯素有数学之父的尊称，原因就在这里。

泰勒斯最先证明了如下的定理:

1圆被任一直径二等分。

2等腰三角形的两底角相等。

3两条直线相交，对顶角相等。

4半圆的内接三角形，一定是直角三角形。

5如果两个三角形有一条边以及这条边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等。

这个定理也是塞乐斯最先发现并最先证明的，后人常称之为塞乐斯定理。相传泰勒斯证明这个定理后非常高兴，宰了一头公牛供奉神灵。后来，他还用这个定理算出了海上的船与陆地的距离。

泰勒斯对古希腊的哲学和天文学，也作出过开拓性的贡献。历史学家肯定地说，泰勒斯应当算是第一位天文学家，他经常仰卧观察天上星座，探窥宇宙奥秘，他的女仆常戏称，泰勒斯想知道遥远的天空，却忽略了眼前的美色。数学史家Herodotus层考据得知Hals战后之时白天突然变成夜晚（其实是日蚀），而在此战之前泰勒斯曾对Delians预言此事。 泰勒斯的墓碑上列有这样一段题辞：「这位天文学家之王的坟墓多少小了一点，但他在星辰领域中的光荣是颇为伟大的。」

祖冲之

祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人。他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家。

祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算。秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"。后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一。直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长。刘徽计算到圆内接96边形，求得π=314，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确。祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在31415926与31415927之间。并得出了π分数形式的近似值，取为约率 ，取为密率，其中取六位小数是3141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查。若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"。

祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元。

祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异。"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"。

欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有19岁，而欧拉已48岁。拉格朗日与欧拉通信讨论"等周问题"，欧拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名。

欧拉19岁大学毕业时，在瑞士没有找到合适的工作。1727年春，在巴塞尔他试图担任空缺的教研室主任职务，但没有成功。这时候，俄国的圣彼得堡科院刚建立不久，正在全国各地招聘科学家，广泛地搜罗人才。已经应聘在彼得堡工作的丹尔·伯努利深知欧拉的才能，因此，他竭力聘请欧拉去俄罗斯。在这种情况下，欧拉离开了自己的祖国。由于丹尼尔的推荐，1727年，欧拉应邀到圣彼得堡做丹尼尔的助手。在圣彼得堡科学院，他顺利地获得了高等数学副教授的职位。1731年，又被委任领导理论物理和实验物理教研室的工作。1733年，年仅26岁的欧拉接替回瑞士的丹尼尔，成为数学教授及彼得堡科学院数学部的***。

在这期间，欧拉勤奋地工作，发表了大量优秀的数学论文，以及其它方面的论文、著作。

古典力学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是其主要建筑师。1736年，欧拉出版了《力学，或解析地叙述运动的理论》，在这里他最早明确地提出质点或粒子的概念，最早研究质点沿任意一曲线运动时的速度，并在有关速度与加速度问题上应用矢量的概念。

同时，他创立了分析力学、刚体力学，研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料力学。并且他把振动理论应用到音乐的理论中去，1739年，出版了一部音乐理论的著作。1738年，法国科学院设立了回答热本质问题征文的奖金，欧拉的《论火》一文获奖。在这篇文章中，欧拉把热本质看成是分子的振动。

欧拉研究问题最鲜明的特点是：他把数学研究之手深入到自然与社会的深层。他不仅是位杰出的数学家，而且也是位理论联系实际的巨匠，应用数学大师。他喜欢搞特定的具体问题，而不象现代某些数学家那样，热衰于搞一般理论。

正因为欧拉所研究的问题都是与当时的生产实际、社会需要和军事需要等紧密相连，所以欧拉的创造才能才得到了充分发挥，取得了惊人的成就。欧拉在搞科学研究的同时，还把数学应用到实际之中，为俄国政府解决了很多科学难题，为社会作出了重要的贡献。如菲诺运河的改造方案，宫延排水设施的设计审定，为学校编写教材，帮助政府测绘地图；在度量衡委员会工作时，参加研究了各种衡器的准确度。另外，他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作。他不但为科学院做大量工作，而且挤出时间在大学里讲课，作公开演讲，编写科普文章，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析。1735年，欧拉着手解决一个天文学难题——计算慧星的轨迹（这个问题需经几个著名的数学家几个月的努力才能完成）。由于欧拉使用了自己发明的新方法，只用了三天的时间。但三天持续不断的劳累也使欧拉积劳成疾，疾病使年仅28岁的欧拉右眼失明。这样的灾难并没有使欧拉屈服，他仍然醉心于科学事业，忘我地工作。但由于俄国的统治集团长期的权力之争，日益影响到了欧拉的工作，使欧拉很苦闷。事也凑巧，普鲁士国王腓特烈大帝（Frederick the Great，1740-1786在位）得知欧拉的处境后，便邀请欧拉去柏林。尽管欧拉十分热爱自己的第二故乡（在这里他普工作生活了14年），但为了科学事业，他还是在1741年暂时离开了圣彼得堡科学院，到柏林科学院任职，任数学物理所所长。1759年成为柏林科学院的***。在柏林工作期间，他并没有忘记俄罗斯，他通过书信来指导他在俄罗斯的学生，并把自己的科学著作寄到俄罗斯，对俄罗斯科学事业的发展起了很大作用。