我想要初中代数公式

平方差：（A+B）（A-B）=A^2-B^2；完全平方：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2

x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q); 圆锥体积是等底等高 圆柱体的1/3

二次根式：√A√B=√（AB）；A√C±B√C=(A±B)√C

（A+N）/（B+N）=C；则N=（A-BC）/（C-1）

正圆球体积：4/3派R立方（或1/6派D立方）；表面积：4派R平方

海伦_秦九韶，三角形面积公式：设三边长为A、B、C，面积为S；周长的一半P为（A+B+C）/2

S=√[P（P-A）（P-B）（P-C）] 降次：（MX+N）^2=p，则MX+N=±√P

一元二次方程公式：AX^2+BX+C=0；则X={√[（B^2-4AC)/2A]}-B 另有因式分解法

根与系数：例X^2+6X-16=0，解得X1=2，X2=-8；X1+X2=-6（一次项系数的相反数），X1X2=-16（常数项）

黄金分割：把一条线段分为两段，使较长的那段与全长的比值和较短的那段与较长的那段比值，两者相等

（√5-1）/2≈0618 五角星第一笔线段有三个比值为黄金分割

两元一次方程：1、代入转换 2、如有系数相同或相反，则加减

对于X的每一个确定值，Y都有唯一确定的值与其对应 那么X就是自变量，Y是X的函数

如果当X=A时，Y=B 那么B就叫做当自变量的值为A时的函数值

Y=KX形式，为正比例函数[K为常数（比例系数）]；Y=KX+B与Y=KX为平移关系

（B为单位长度，>0向上平移，<0向下平移）

当K>0时，直线Y=KX+B由左至右上升，随X增大而增大；<0时，下降、随X增大而减少

解析图象坐标：（3，5）、（-4，-9） 设Y=KX+B

3K+B=5；-4K+B=-9 解得K=2，B=-1 所以解析式为Y=2X-1

A有200吨，B有300吨 A送C、D的收费分别为20、25元/吨

B送C、D的收费分别为15、24元/吨 C需240吨，D需260吨 怎样运送收费最少？

设总费用为Y元；A送C，为X吨 则：

A送D，200-X；B送C，240-X；B送D，60+X 注：B→D，260-（200-X）=60+X 单位：吨

Y=20X+25（200-X）+15（240-X）+24（60+X）；Y=4X+10040（0不大于X，不大于200）

解得A送C为0吨，送D为200吨；B送C为240吨，送D为60吨；总费用最少值为10040元

Y=K/X为反比例函数，图象为双曲线；当K>0时，分别位于第一、第三象限，Y随X的增大而减小

当K<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，Y值随X值的增大而增大

反比例函数图象经过A（2，6） 问1：分布在哪些象限？Y随X的增大如何变化？

问2：点B（3，4）、C（-2又1/2，-4又4/5）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？

答1：设Y=K/X，把A（2，6）代入得，6=K/2，K=12表达式为Y=12/X

因为K>0，所以这个函数图象在第一、第三象限，Y随X的增大而减少

答2：将B、C、D的坐标代入Y=12/X，可知B、C的坐标满足函数关系式，D不满足（略）

一梯子靠在垂直墙上，弦3米，股25米 如果梯子沿墙滑下05米，则勾也增加05米？

答：3^2-2^2=5； 3^2-25^2=275； √5-√275≈2236-1658≈0578 勾大约增加了0578米

加权平均数，有表示数据重要程度的意思 很多情况下不应以算术平均数……

一家公司打算招聘一名英文翻译员，对甲、乙两名应试者进行了测试，成绩分数如下：

甲：听85、说83、读78、写75； 乙：听73、说80、读85、写82

问1：招一名口语能力比较强的，听说读写成绩分别按3：3：2：2 应该录取谁？

问2：招一名笔译能力比较强的，听说读写成绩分别按2：2：3：3 应该录取谁？

问1思路：甲（853+833+782+752）/（3+3+2+2）；乙类同 最后比较甲乙各加权平均数的大小

问2思路：类同问1 甲（852+832+783+753）/（2+2+3+3）

如数据的个数为偶，则中间两个数据的平均数叫这个数据的中位数；为奇，则直取中间

在一组数据中，出现最多的数据就是这一组数据的众数

一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差 常用方差衡量一组数据的波动大小

一组数据方差计算：（每个数据 － 平均数）的平方，所有数据的方差之和除以组数N

[（X1-X均）^2+（X2-X均）^2+（X3-X均）^2……]/N；另外还可以之差之和除以组数N

把一个图形沿某一中心轴划分为两边，如果这两边全等，那么这个图形就为轴对称图形

一个图形绕着某一点旋转180度，与另一边图形重合，那么就是关于这两个图形的点对称（也叫中心对称）

连接圆上任意两点的线段，叫做“弦”；经过圆心的弦叫做“直径” 圆上（圆周）的两点可以确立一个“弧线”

弧上任意两点分别与圆心作线段，与圆心所形成的夹角为圆心角

弧上任意一点分别与弧上任意两点作线段，与圆周所形成的夹角为圆周角

在同圆或等圆中：

1、圆周角的度数等于它所对的弧线度数的一半；圆心角度数等于它所对的弧线度数

由此可知，圆周角的度数等于同弧或等弧的圆心角度数的一半

2、同弧或等弧中的所有圆周角彼此相等；所有圆心角也彼此相等

3、半圆（或直径）所对圆周角是直角；反过来，它所对的弦是直径

4、圆内接四边形的对角互补；任意一个外角都等于它的内对角。

直线与圆的位置关系：1、直线在圆外，没有公共点，称这条直线和圆相离

2、直线过弧上的两点，它们有两个公共点，这条直线叫做圆的割线（称直线和圆相交）？相割？

3、直线过弧上的一点，它们只有一个公共点（切点），这条直线叫做圆的切线（称直线和圆相切）

4、在圆外的一点作切线，这点到切点的距离叫做这点到圆的切线长

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

例△ABC内画内接圆：分别画∠B和∠C的平分线使它们相交；相交的这一点为三角形的内心，也是圆的圆心

圆与圆的位置关系：1、如果两个圆没有公共点，那么它们为“相离”

（1）一个圆在另一个圆内，但没有公共点，那么它们为“内含”

（2）一个圆不在另一个圆内，并且没有公共点，那么它们为“外离”

2、（1）一个圆在另一个圆内，有一个公共点，那么它们为“内切”

（2）一个圆不在另一个圆内，但有一个公共点，那么它们为“外切”

3、两个圆有两个公共点，那么它们为“相交”

圆内接正多边形的中心为圆心（共心）、共半径；正多边形每一边所对的圆心角是它的中心角；

中心到正多边形一边的距离叫做它的边心距

例：有一个亭子，它的地基是半径4M的正六边形，求地基的周长和面积

答1：可知，它的中心角是360°/6=60°，外接圆内可画为正△

因此它的每条边长等于它的半径：边数每边长=周长=64=24（M）；

答2：周长边心距/2=该六边形地基的面积 勾股求出边心距：

√[4^2-(4/2)^2]=√12=√3√4=2√3； 242√3/2≈416（M^2）

弧长计算：圆心角度数圆周率半径/180，也就是 L=N派R/180

扇形面积：S=N派R的平方/360；或S=LR/2 圆锥表面顶点到底面圆周的线段叫母线L

圆锥体表面积：派R平方+派RL；其中母线L=√（H^2+r^2）

概率初步：可能发生也可能不发生的事件，称为“随机事件”一定会发生的是“必然事件”

事件A发生的频率M/N会稳定在某个常数p附近，这个常数p就叫做事件A的概率 P（A）=p

P（A）=p，它的值为不小于0，不大于1 注：小“p”

一般地，如果在一次试验中，有N种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，

事件A包含其中的M种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=M/N

例：同时掷两个质地均匀的色子，计算下列事件的概率：（1）两个色子的点数相同；

（2）两个色子点数的和是9； （3）至少有一个色子的点数为2

分析：（1）两个色子掷出来共有66=36种结果 所以点数相同的概率为6/36=1/6

（2）两个色子点数之和有3+6、4+5、5+4、6+3四种结果，所以概率为4/36=1/9

（3）一二、二二……六种结果；二一、二三、二四……五种结果；所以概率为11/36

布丰投针：在平面上画有一组间距为D的平行线，将一根长度为L（L<D）的针任意投掷

在这个平面上，求此针与平行线中任意一条相交的概率 P=2L/派D

多边形的对角线D与边数N的关系：D=N（N-3）/2

某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量

如果每年都比上一年的产量增加X倍，那么两年后这种产品的

产量Y将随计划所定的X的值而确定，写出Y与X之间的关系表达式 即Y=20（1+X）^2

形如 Y=AX^2+BX+C（其中A、B、C为常数，A≠0），叫做二次函数

其中，X是自变量，A、C、C分别是二次项系数、一次项系数和常数项

二次函数Y=AX^2+BX+C的图象叫做抛物线Y=AX^2+bx+c

Y轴是抛物线Y=X^2的对称轴，交点（0，0）叫做抛物线Y=X^2的顶点（最低点）

每条抛物线都有对称轴，交点叫做抛物线的顶点（最高点或最低点）

抛物线Y=AX^2的对称轴是Y轴，顶点是原点，当A>0时，抛物线的开口向上，

顶点是抛物线的最低点 A越大，抛物线开口越小；当A<0时，抛物线的开口向下，

顶点是抛物线的最高点，A越大，抛物线的开口越大

把抛物线Y=X^2向上平移1个单位就得到Y=X^2+1；向下平移一个单位得到Y=X^2-1

把抛物线Y=-1/2X^2向左平移1个单位就得到Y=-1/2（X+1）^2；向右则X-1

把抛物线Y=-1/2X^2向下、向左各平移1个单位，就得到Y=-1/2（X+1）^2-1

例1：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，

使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1M处达到最高，

高度为3M，水柱落地处离池中心3M，水管应多长？

解：点（1，3）是该抛物线的顶点，即Y=A（X-1）^2+3；注：0不大于X不大于3

由这段抛物线经过（3，0）可得0=A（3-1）^2+3，解得A=-3/4；

因此，Y=-3/4（X-1）^2+3；当X=0时，Y=225，也就是水管应长225M

例2：用总长60M的篱笆围城矩形场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化；

当L是多少时，场地的面积S最大？

分析：先写出S与L的关系式，再求出使S最大的L值

周长是60M，一边长是L，则另一边长是：60/2-L

即S=L（30-L）或S=30L-L^2

因为抛物线Y=AX^2+BX+C的顶点是最低（高）点，所以X=-B/（2A）时，

这个函数值有最小（大）值（4AB-B^2）/4A

因此，当L=-B/（2A）=-30/[2（-1）]=15时，S有最大值（4AC-B^2）/4A

=（-30^2）/[4（-1）]=225 也就是说，当L是15M时，该场地的面积S最大（S=225）

线性代数公式是：(AB)^T=(B^T)(A^T),(AB)^(-1)=[B^(-1)][A^(-1)]。

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：a·b=a^Tb，这里的a^T指示矩阵a的转置。

重要定理

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

1、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

2、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

3、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

4、矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

5、解线性方程组的克拉默法则。

6、判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

1、行列式

1 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；

2 代数余子式的性质：

①、 和 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；

3 代数余子式和余子式的关系：

4 设 行列式 ：

将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；

将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；

将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；

将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；

5 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；

③、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；

④、 和 ：副对角元素的乘积 ；

⑤、拉普拉斯展开式： 、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；

7 证明 的方法：

①、 ；

②、反证法；

③、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；

④、利用秩，证明 ；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1 是 阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组 有非零解；

， 总有唯一解；

与 等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是 的一组基；

是 中某两组基的过渡矩阵；

2 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；

3

4 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：

若 ，则：

Ⅰ、 ；

Ⅱ、 ；

②、 ；（主对角分块）

③、 ；（副对角分块）

④、 ；（拉普拉斯）

⑤、 ；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；

等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵 、 ，若 ；

2 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、 若 ，则 可逆，且 ；

②、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；

③、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；

4 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素；

③、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；

④、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；

⑤、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；

5 矩阵秩的基本性质：

①、 ；

②、 ；

③、若 ，则 ；

④、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、 ；（※）

⑥、 ；（※）

⑦、 ；（※）

⑧、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（※）

Ⅰ、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、

⑨、若 、 均为 阶方阵，则 ；

6 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如 的矩阵：利用二项展开式；

二项展开式： ；

注：Ⅰ、 展开后有 项；

Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质： ；

③、利用特征值和相似对角化：

7 伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩： ；

②、伴随矩阵的特征值： ；

③、 、

8 关于 矩阵秩的描述：

①、 ， 中有 阶子式不为0， 阶子式全部为0；（两句话）

②、 ， 中有 阶子式全部为0；

③、 ， 中有 阶子式不为0；

9 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：

①、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；

②、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；

10 线性方程组 的求解：

①、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

11 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：

①、 ；

②、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数）

③、 （全部按列分块，其中 ）；

④、 （线性表出）

⑤、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；

个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2 ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）

3 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例14)

4 ；( 例15)

5 维向量线性相关的几何意义：

①、 线性相关 ；

②、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；

③、 线性相关 共面；

6 线性相关与无关的两套定理：

若 线性相关，则 必线性相关；

若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：

若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 (二版 定理7)；

向量组 能由向量组 线性表示，则 ；（ 定理3）

向量组 能由向量组 线性表示

有解；

（ 定理2）

向量组 能由向量组 等价 （ 定理2推论）

8 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；

①、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解

②、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；

③、矩阵等价： （ 、 可逆）；

9 对于矩阵 与 ：

①、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；

②、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵 的行秩等于列秩；

10 若 ，则：

①、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵；

②、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置）

11 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、 只有零解 只有零解；

②、 有非零解 一定存在非零解；

12 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ 题19结论）

（ ）

其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性： ；充分性：反证法）

注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；

13 ①、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关；（ ）

②、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关；

14 线性相关

存在一组不全为0的数 ，使得 成立；（定义）

有非零解，即 有非零解；

，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；

16 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；（ 题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1 正交矩阵 或 （定义），性质：

①、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ；

②、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；

③、若 、 正交阵，则 也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2 施密特正交化：

；

;

3 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4 ①、 与 等价 经过初等变换得到 ；

， 、 可逆；

， 、 同型；

②、 与 合同 ，其中可逆；

与 有相同的正、负惯性指数；

③、 与 相似 ；

5 相似一定合同、合同未必相似；

若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6 为对称阵，则 为二次型矩阵；

7 元二次型 为正定：

的正惯性指数为 ；

与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ；

的所有特征值均为正数；

的各阶顺序主子式均大于0；

；(必要条件)