如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．（I）求证：AB⊥平面ADE；（II

（I）证明：∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，∴AE⊥CD，

正方形ABCD中AD⊥CD，

∵AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，

∵CD∥AB，∴AB⊥平面ADE．

（II）解：（理）在线段BE上存在点M，此时M为BE中点．

取AE中点H，连接MH，则MH是△EBA的中位线，MH∥AB，MH=

1

2

AB，

由（I）证得AB⊥平面ADE，

∴MH⊥平面ADE，AH为AM在平面ADE内的射影，

∴∠HAM为直线AM与平面EAD所成角的平面角．

设正方形ABCD边长AD=AB=2，则等腰直角三角形EAD的腰AE=

2

，在直角△HAM中，AH=

1

2

AE=

2

2

，MH=

1

2

AB=1，斜边AM=

( 1 2 )2+ ( 2 2 )2

=

6

2

，

∴sin∠HAM=

MH

AM

=

1

6 2

=

6

3

．

（文）由（I）证

据图可知：长为16，宽为10，设高为x，可得：

44-216=2x↔x=6，所以高度为6

表面积S=2（1610+106+166）

=2316=632c㎡

体积V=16106=960cm³

1、正方形：用一个平面从正方体任意侧面保持垂直切下得正方形

2、长方形：用一平面从正方体任意面的斜角垂直切下去得长方体

3、三角形：用一平面从正方体任意三个不在同一平面的顶点或者侧面斜切下去得三角形

4、五边形：用一平面从正方体的任意四条不在同一平面的侧边线的中点和一顶点切下得五边形

5、六边形：用一平面从正方体任意不在同一面的六条侧边中心切下得六边形

（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，

∴AA1⊥平面ABC．

（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．

∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．

建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），

∴

BC1

＝(4，−3，4)，

BA1

＝(0，−3，4)，

BB1

＝(0，0，4)．

设平面A1BC1的法向量为

n1

＝(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量为

n2

=（x2，y2，z2）．

则

n1

•

BC1

＝4x1−3y1+4z1＝0

n1

•

BA1

＝−3y1+4z1＝0

，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴

n1

＝(0，4，3)．

n2

•

BC1

＝4x2−3y2+4z2＝0

n2

•

BB1

＝4z2＝0

，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴

n2

＝(3，4，0)．

cos＜

n1

，

n2

＞=

n1

•

n2

|

n1

| |

n2

|

=

16

25

•

25

=

16

25

．

∴二面角A1-BC1-B1的余弦值为

16

25

．

（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D(t，

3

4

(4−t)，t)，

∴

AD

=(t，

3

4

(4−t)，t)，

A1B

=（0，3，-4），

∵

AD

⊥

A1B

，∴

AD

•

A1B

＝0，

∴0+

9

4

(4−t)−4t＝0，解得t=

36

25

．

∴

BD

BC1

＝

DE

CC1

＝

9

25

．

解答：（1）证明：如图，分别取AD，CD的中点P，Q，连接FP，EQ，PQ

因为△ABG、△ADF、△CDE都是边长为2的正三角形

所以FP⊥AD，EQ⊥CD，且FP＝EQ＝

3

又因为平面ADF，平面CDE都与平面ABCD垂直

所以FP⊥平面ABCD，EQ⊥平面ABCD

所以FP∥EQ，且FP=EQ

所以四边形EQPF是平行四边形

所以EF∥PQ．

因为PQ是△ACD的中位线，所以PQ∥AC

所以EF∥AC；

（2）解：多面体ABCDEFG的体积可由棱柱ABG-DCE与四棱锥F-ADEG的体积相加得到，

所以VABCDEFG＝VABGDCE+VFADEG＝2

3

+

2 3

3

＝

8 3

3

．

我来试试吧两种方法都给,希望LZ能加点分 谢谢

解：一般法

连接DB,过A做AE//DB交CB延长线于E，取AE中点F，连接NF,MN

∵M,N分别是PD,PB的中点

∴MN//=1/2BD

∵AF=1/2AE//=1/2BD

∴MN//=AF

∴□MNFA是平行四边形

∴AM//=FN，线AM与CN所成的角等于线FN与CN所成的角,记为θ

∵PA=边长=a,FN=AM=√2/2a

取AB中点G，CN=√(AG²+CG²)=√6/2a

取BE中点H，连接FH,CF=√(CH²+AF²)=√10/2a

∴cosθ=(FN²+CN²-CF²)/(2FNCN)=-√3/6

故AM与CN所成的角的余弦值是-√3/6

解析法

建立直角坐标系 A-PBD

P(00a) D(0a0) B(a00) C(aa0)

从而 M(01/2a,1/2a) N(1/2a,01/2a)

故 AM=(01/2a,1/2a) CN=(-1/2a,-a1/2a)

设AM与CN所成的角是θ

cosθ=[AM·CN]/(|AM||CN|)=-1/4 /√(1/2 3/2)=-√3/6

故AM与CN所成的角的余弦值是-√3/6