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费尔马大定理

四色猜想

哥德巴赫猜想

1费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。

1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a+b=c是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3,4,5,7四种情形。1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。

历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。

历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰—志村五朗猜想 ” 之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。终于在1993年6月23日剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世界，普天同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。这个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。1994年9月19日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：解答原来就在废墟中！他热泪夺眶而出。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。离截止期10年，圆了历史的梦。他还获得沃尔夫奖(19963），美国国家科学家院奖（19966），费尔兹特别奖（19988）。

2四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（右图）

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。

肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。

不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。

肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。

11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。

高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。

他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。

这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。

3史上和质数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：

一、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和；

二、任何不小于9的奇数，都是三个奇质数之和。

这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。

同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中， 明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲乃至世界数学界。从那以后，许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。

我们从6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……这些具体的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢？于是人们逐步改变了探究问题的方式。

1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。

20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。

1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9＋9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9＋9”是怎么回事呢？所谓“9＋9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之和。” 从这个“9＋9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1＋1”了。

1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，我国数学家王元证明了“2＋3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1＋5”，同年又和王元合作证明了“1＋4”。1965年，苏联数学家证明了“1＋3”。

1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1＋2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的和。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。

由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。

皮埃尔·费尔马是法国的一个业余数学家。然而他在数论、解析几何、概率论等方面却有巨大的贡献，被人们誉为“业余数学家之王”。

提到费尔马，最有名的是至今悬而未决的费尔马大定理，现在已有人称已解出，正在通过审定。

费尔马于1601年8月20日出生于法国。他的父亲是一位皮革商人，他的母亲出身于法官家庭。在加龙河边，费尔马成长为一名律师，他精通多种语言，尤其对数学极为热爱。

费尔马后来当了图鲁斯议会的议员，做了社会活动家。费尔马待人谦逊温和，不愿意参与官场的勾心斗角。他为官清正廉明，生活交往多为有名的科学家、学者。

费尔马结识了很多学者，数学家和哲学家聚会他也常常参加。那时梅森、罗伯瓦、迈多治、笛卡尔等人常在梅森家里聚会，讨论哲学、数学问题，被人们称为“梅森学院”。

1666年，梅森学院这个民间聚会被国王与政府认可为一个机构，这就是法国科学院的前身。费尔马30岁以后，几乎把精力全都放在数学研究上，他的家境优越，家庭和睦幸福，交际圈又多为学者，这一切使得费尔玛在业余的范围内取得了专业的数学成就。

费尔马和笛卡尔一起，完善了平面解析几何，是他第一次把三元方程应用于空间解析几何学。费尔马同帕斯卡一起，讨论了赌本分配的问题，成为最早的概率论问题。

1637年，费尔马在阅读丢番图《算术》时研究了不定方程x2+y2=z2，在那页书的空白处作了批注：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的。关于此，我发现了一种绝妙的证明，可是这里空白太小写不下。”

费尔马没有想到，因为他的随意，留下了几百年来数学界一道难题，成为费尔马大定理。

把费尔马大定理推广到最一般情形，用方程表示即：不定方程xn+yn=zn，(n＞2)，且n是自然数，得出的结论是没有正整数解。比如说，x3+y3=z3，这个方程就没有正整数满足要求。x4+y4=z4，也不可能找着正整数x、y和z，使得等式成立。

费尔马的绝妙证法谁也无从得知，但费尔马提出的这个结论却吸引了一代又一代的数学家。所以，其实这是个猜想，却至今也没有人能够推翻它。

费尔马定理经巨奖悬赏，包括欧拉、勤让德、阿贝尔、狄里克莱、库莫尔等数学家都做过尝试，虽然取得了一定进展，但都没能最终证明。当然，数百年来也没有人能推翻这一定理。

欧拉严格证明了n=3，4时，费尔马猜想正确。柏林大学教授库莫尔采用新的方法，将费尔马的结论证明到n=100。最近，美国加州伯克莱分校的罗瑟利用计算机证明了n不超过4100万时，费尔马大定理都是成立的。

1908年，德国的哥廷根科学院按照德国数学家俄尔夫斯凯尔的遗嘱，把他的10万马克作为奖金。谁能完全证明费尔马大定理(或者否定它)，就可以获得10万马克。结果大批的业余人员也投入了这场证明中，但均无一人能准确解决。

俄尔夫斯凯尔限期100年，在1908—2007年之间，若有人证明此定理，便可获奖。人们现在甚至不关心费尔马定理能否被证明，因为它已经成了“一只生金蛋的母鸡”。在证明大定理的过程中，出现了很多漂亮的方法、精妙的思想，引发了很多领域的方法沟通，促进了很多理论的出现，如无限递降法就是一例。

数学家们甚至不希望人们尽快证明出定理，因为“杀鸡取卵”，得不偿失。

1993年6月23日，美国普林斯顿大学教授、英国数学家安德鲁·威尔斯在英国剑桥大学牛顿数学研究所作的题为《模型式、椭圆曲线和伽罗华表示法》的长篇报告的结尾处，宣布已经证明了费尔马大定理。紧接着，剑桥大学发表了声明，并介绍了费尔马大定理的历史。

历史上已有过许多人宣称证明了费尔马定理，但结果证明都是错误的。这次是20世纪末最后一次证明，现如今威尔斯正简化证明，而费尔马大定理的专著也出版有多种。

费尔马还提出了一个费尔马小定理。在1640年，费尔马提出：如果p是质数，并且a与p互质，那么数ap-a必定能被p所整除。这是初等数论中的重要定理。

费尔马还曾向意大利物理学家托里拆利提出过一个问题：在已知三角形内找一个点，使此点满足到三个顶点的距离之和为最小。

托里拆利用了好几种方法解决了这个问题，其中还有物理上的力学方法。在这个问题的解法中，意大利数学家维维安尼的求解严谨而优美，堪称代表。大约300年后，维维安尼的解法又由匈牙利数学家里兹重新发现。费尔马本人也有求解。这个问题具有实际意义，比如维修所与三个居民区的位置，如果维修所在理想点上，则可以省时省力。

人们称上面问题所求出的点为费尔马点。

费尔马进行数学研究，淡漠功名，而且观点散见于批注中。1665年1月12日，费尔马在图鲁司去世。他的儿子在数学家们的帮助下，将费尔马的各种散论和观点整理汇编，出版了《数学论集》两卷。费尔马生前不愿著书立说，此书的第一版成为珍品。

1891—1922年，《费尔马全集》出版了。人们永远纪念这位业余数学家的天才成就。