什么是欧几里得几何？

是几何学的分支，由古希腊数学家欧几里得先生创设。

欧式几何是从《几何原本》所叙述的无需证明而直接给出的五大公理和五大公设出发，以三段论演绎推理大前提-小前提-结论的方法所建立的一套相对完整，逻辑比较严密的几何理论体系。

但由于第五条公设平行公设无法在系统内得证，导致在推翻平行公设的情况下出现不同的几何体系，也即非欧几何。

平行公设：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。

因为它是几何的基础。而且第五公设虽然不能被证明，但它在我们的正常认知中却是无可争议的正确。

举个简单的例子，在双曲几何学（罗氏几何学）中三角形的内角和小于180°，而椭圆几何学（黎曼几何学）中三角形内角和大于180°。且不说难以想象，如果没有一点欧式几何的基础，恐怕都不知道三角形内角和等于180度的事实，那么也难以理解非欧几何学种种定理的意义。

介绍

欧氏几何源于公元前3世纪。古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。

其中公理五又称之为平行公设（Parallel Postulate），叙述比较复杂，并不像其他公理那么显然。这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。

        建立在公理和推理演绎基础之上的欧式几何属于中学数学的范畴。在小学阶段，有欧式几何之“形”，却无欧氏几何只“实”。

        之所以这样讲，原因主要有二。其一，小学几何并不是建立在不证自明的公理的基础上的，它的基础是儿童的经验——基于视觉、触觉和听觉，在游戏、操作和成人的教导活动中不断形成的东西。

        其二，小学几何也不是建立在严格的演绎推理的基础上的，而是建立在操作，特别是测量活动的基础上的，这些测量活动就包括长度测量、角度测量、面积测量、体积测量。所以说，小学几何其实属于前欧氏几何的范畴。从儿童内在认知结构的建构过程来讲，小学几何是中学几何的具体内容，而中学几何是小学几何在更高层级上的形式化的表达。

        一年级时，通过大量的操作活动进一步熟悉了各种几何模型，不过，从整体上讲，他们对于几何图形的认知仍然处于浪漫的，整体感知的层面，动作经验内化之后所形成的几何图形观念也都处于背景图示中，属于背景观念。此阶段的儿童一般还不会产生探索这些局部性质的愿望。但是，在教室有目的、有计划的启发引导下，儿童具备了探索集合图形局部性质的可能性。

      让此阶段儿童去记住有一个顶点、有两条直直的边的图形叫做角是没有什么意义的，只有通过大量的游戏化的动作操作活动，儿童的角观念才能得以逐步科学地生长。

      几何图形观念作为背景观念而存在，来源于:一，外在的文化符号系统，确切地讲，就是源于父母的教导和儿童自身的模仿学习。父母会指着圆形卡片对儿童说“圆”，指着三角形卡片对儿童说“三角形”……然后，儿童对自己的视觉和听觉加以协调，几何图形的名字就此诞生。随后，儿童会在各种情境中进行语言模仿，乐此不疲。

        二，儿童会在诸如剪切、拼接、拉拽、滚动、搭建城堡、绘画等各种游戏活动中，将多种经验加以协调内化，形成对几何图形的整体性感知。

        三，在一年级的数学课程中，几何图形第一次以科学概念的形态进入儿童的学习生活。

        角不是作为单独的一个平面图形出现的，而往往是作为某个平面图形的局部特征出现的。比如:墙角，柜子角，书桌的角等等，而且他们不能区分角与圆角，比如:为了安全因素，许多书桌的角都被做成圆角的形状，这并不是数学中的角，而是一个地地道道的生活概念。

        造字的本义是汉字的生命，它们最初并没有同图形之间建立对应关系；欧氏几何图形是外来物，翻译者之所以在文字和图形之间建立如此的对应，恰恰说明:甲骨文的形本来就带有图形的特征，它们作为文字符号在历史中流传的时候，其最初的形的特征可能慢慢丢失了，优秀的译者一方面拓展了后期汉字的意义，另一方面也重新唤醒了某些汉字的原初本义。

        把甲骨文当作故事讲给儿童听，让儿童体会到，每一个图形的名字其实都是活泼泼的，有生命的。

      角观念第一次从混沌一片的几何图形观念中脱离出来，成为儿童精确聚焦的第一个局部图形特征。

        墙角处就有三个直角，而原来只是一个笼统的称谓——墙角。

        请把图形分一分类，并说明你的分类标准。

      1按边是不是直的分为两大类，圆形没有直直的边，长方形、正方形、三角形为一类，它们都有直直的边

        2按角分，圆形没有角所以单独分一类，正方形和长方形一类，它们都有4个角，三角形一类，它有3个角。

        3按有没有尖尖的角分类:圆形一类因为没有角；三角形、正方形、长方形一类，因为它们都有角。

          第二板块:方、圆、角的甲骨文

      （好多同学都按角这个标准进行分类，那到底什么是角？有的同学摸着自己手中的平面图形，认为三角形的顶点尖尖的就是角，围绕这个开始讨论并演示何为平面图形的角，学生整体感知平面图形的角。）

羊角，这幅图最开始专指牛、羊头上尖尖的角。角可以用来攻击敌人的，必须得尖锐，所以角最重要特征是尖。古代人要创造符号表示牛角、羊角只画出那个尖儿就可以了，不用把整个尖都画出来，但是只有只有尖也看不出是牛角，慢慢地，这幅图和几何图形的角建立了联系。

      在日常生活中，角其实处处存在，如墙角，桌角，别躲在角落里……但是这些角都是作为一个更大物体的一部分存在的。在儿童的意识中，它还从来没有单独存在过，现在将其从整体中抠出来，成为一个独立的几何图形，虽然文字符号早就有了，但是图形符号呢？也就是说，如何在黑板果白纸上将其画出来呢？将其画出来后，对于形形色色的角，又如何整理分类——也就是进行更加细化的命名工作呢？这些问题都是传统几何教学的重点。

      从观念建构和认知结构发生发展的角度讲，它不应该成为唯一的焦点——唯有科学地协助儿童进入一种游戏化的动作操作活动中，才能有效突破这些所谓的重难点。

      请找找几何图形中的角:

    这些角的特点:有尖儿，有两条直直的线

      圆的本字是员，员的下面是一个祭祀用的大鼎，上面是大鼎的圆口，所以员的造字本义就是:鼎口流畅的弧圈。

      上面的圆形表示圆口，下面是祭祀（祭天）用的鼎，圆圈其实就是一个指事符，用它来强调鼎的那个口是圆形的。后来在漫长的历史演变过程中，就可以用这个字来表示圆这类的几何图形。

      方圆方圆，说到了圆就得有方。

        方的原意就是带枷锁的犯人，怎么就知就和方方正正的几何图形对应起来了呢？古代的犯人可不是像现在的犯人一样关在监狱就可以了，而是要被发配到最偏远最荒凉的国土边界。我国古代的天文学家认为天圆地方，也就是说他们认为天就是圆的，地就是方的，，所以犯人流放到方形的土地边儿上。慢慢地方就和这个几何图形对应了起来。

        第三板块:寻找生活中的角

        学生很快说出了很多生活中的角，最后对生活中的个别角与角的科学概念进行简单的对比（桌角的角是圆的，它不是角；量角器中的角也不是角，它虽然是尖尖的，但是它的两条边中有一条是弯的，角的两条边应该是直直的）。

      画出教室里的角。

        数学中最简洁的方式表示角就像远古人创造符号表示羊头上的角一样，不用把整张桌子、整本书画出来，只要画出两条直直的边，还有尖儿就可以了。

      第二板块:角的分类和命名

      大家画的课程表上的∠、空调上的∠、电视的角，虽然它们生活中名字各不相同，但画出来的几何图形是一样的，都是角。它们不仅有自己的大名:角，还有专属它们的小名:直角

        That's  right！Right就是对，正确的意思，当然，它还表示好的。老外也觉得这种角是生活中最常见的角，好的角，对的角，直直的角，所以就命名为right    angle，我们中文直译过来就是直角了。              是不是所有的角都是直角呢？你能在教室里找出不同直角的角吗？（在教室中寻找不同的角，并画出来。）

      把学生找到的角分类。

      怎样判断是否是直角:

      用三角尺上的直角与这个图形比一比，看看是不是完全重合。（生动手操作，明确1、2均为直角，剩下的角是钝角和锐角），用三角尺中的直角比一比

      一类比直角小叫锐角，一类比直角大角钝角。

    acute的意思是尖的、锐的，就像牛角、羊角的感觉一样。Acute  angle直译过来就成了锐角。

        obtuse就是迟钝的、钝的、不剧烈的，obtuse    angle直译过来就成了钝角。

      第三板块:画角，明确角的组成

      （请学生在写绘本上画出直角，锐角，钝角，并写出分类标准。）

      我们把角分成直角、钝角、锐角。直角特别直，锐角比直角小，钝角比直角大。

      用语言描述画出来的角:不仅要画出两条直直的线，这两条线还必须相交于一点。（对比不相交的情况）

        实际上，从一点出发，有两条直直的线的图形，就叫作角，这一点就是角的顶点，两条直直的线叫做角的边。

          它不是角，因为角应该是尖尖的，一个顶点两条直直的边，可是它捏的却是圆圆的角。

        这个也不是角，角的两条边应该是直直的线。

        这一个是角，它比直角小，所以是锐角。（生指出上图中的边和角）

      能在圆饼上切出角吗？（在圆饼上切的两刀必须相交，才能成为一个角。）（学生在不断实践操作过程中，体会到只要在已经固定了的边上找一顶点，让到过这一顶点:旋转，任意切第二刀就可以了。每切出一个角，追问学生切出的是什么角以及角的组成。）

          第二板块:石英钟演示角

        我们可以画出不同的角，可以用橡皮泥捏出来不同的角，教室里哪个物件也可以表示出不同的角呢？（钟表:顶点是表心，两条边是时针和分针。）

        用时针和分针组成不同类型的角（每组成一种角，请学生说出组成了什么角以及角的组成部分）。

      只用一根时针不能表示一个角，因为角必须有两条边（但动态角可以:从一点出发到一条直直的线绕着顶点旋转所构成的图形。）。

        一根指针我们也可以通过旋转得到角。首先，我们把指针的起始位置定在12点整的位置，开始绕着表心慢慢旋转，转转，转，停，现在到一点整的位置停住了，那指针扫过的区域就是一个角。角的顶点在表心，两条边分别是起始位置12点和终止位置1点。此时构成的角是锐角。旋转到3点的位置是直角，再转就变成了钝角。转到6点成了一条线是平角，到12点的位置是周角，它的起始位置重合了。

        这样再倾斜一下也可以剪出来一个锐角。（生指出顶点和两条边）

      两个人剪出来的锐角好像都在同一个顶点上。这和昨天用铅笔旋转角一样，起始边是竖着的那条边，只要让剪刀沿着那个点转一下再剪就可以了。

      再倾斜一点点就可以剪出来一个直角（后边每一次剪出来不同的角，都请学生说出来角一样组成部分。）

    再继续倾斜，可以剪出来钝角

      （接下来，让学生体会再换一个顶点剪出各种角，并说出每个角的顶点在哪里，两条边在哪里）

        挑战二:用两个三角板画角，并能依据三角板的直角判断所画出的角是锐角还是钝角。

        用两个不一样的三角板拼出来一个角，并画出来。

        生用手指出顶点和两条边，并把组成的角画在写绘本上。

        组成的角是钝角。因为这个角在拼的时候是一个直角和一个锐角组成的，它肯定比直角大。

        说说如何用三角板的直角判断一个角

        首先拿着三角尺的直角边与这个角的一条边重合，直角的顶点与这个角的顶点也冲个，想象着这条边绕着顶点开始逆时针旋转，转到三角尺直角的另一条直角边时，竟然还没有到这个角的另一条边，就需要接着转，肯定比直角大，所以是钝角。

        还可以组合成哪些不同的角？

        画出拼出来的这个角，指出顶点和两条边，并判断是什么角

      首先把拼的这个角画下来，然后用三角板的直角和它比较。三角板的直角边和顶点与拼的这个角的一条边和顶点完全重合，然后想象着这条边绕着顶点开始旋转，还没有转到直角的另一条直角边时，就已经到了拼角的另一条边，所以这个角一定比直角小，因此是锐角，

        判断一个角不能单靠肉眼，要用三角尺总的直角和它比。如果这个角很明显比直角大很多，或者小很多时，我们可以直接判断是钝角或锐角。但是如果不是很明显时，就必须用三角尺的直角对它进行检测。

        挑战三:在两条相交直线中，辨析三种角的关系。

        每人手中拿两根木棍，能制出锐角吗（有很多）？指出顶点和两条边（后边的每一个问题都要讨论每一个角的顶点和两条边。）

      1两根木棍不交叉时，组成一个直角

      2交叉时可以组成4个直角

      3交叉成丁字时组成2个直角

      两根木棍可以组成钝角吗？

      1不交叉时组成1个

      2交叉时组成2个

      如果必须全部是钝角的话，就只有一种情况，不能交叉；如果交叉了的话，有钝角就肯定有锐角。成丁字造型的也可以；没有既有直角又有锐角的情况；也没有既有直角又有钝角的情况；只要检查时，有一个是直角，其他角也一定是直角。