代数与几何的发展 数学家

在20世纪数学史上，代数几何学（Algebraic Geometry）始终处于一个核心的地位，这从数学界的主要大奖之一，Feilds奖的获得者情况即可看出，从1936年颁发首届Fields奖算起，到2002年在中国举行的国际数学家大会上颁发的第24届Fields奖为止，总共有45位40岁以下的青年数学家获奖，其中大约有1/3的人，其获奖的工作或多或少与代数几何有一定的联系，这说明代数几何的研究是相当活跃的，一直是Dieudonne意义上的主流数学。为什么代数几何的研究会常盛不衰？因为在代数几何了有大量未解决的问题，而且这些难题涉及其他许多学科，正是这些难题和其他学科的刺激，使得代数几何充满了活力，充满了令人神往的创造的生长点。

代数几何到底研究什么呢？简单的说，就是研究n维仿射空间或n维射影空间中多项式方程组的零点及其上的三大结构：代数结构，拓扑结构和序结构。此三大结构系Bourbaki学派提出，用来统摄结构数学，数学中凡是具有结构特征的板块，均由这三大母结构及其混合构成。对于1元n次方程的解，我们有很好的结果，即代数学基本定理：在复数域C内，任意1元n次方程一定有n个零点（重复了几次算几重）。但是，若把情况改变一下，由1元变成 n元，复数域变成任意基域K，现要讨论由m个n元方程构成的方程组在K内的公共零点的情况，容易发现，情况要比1元时复杂得多，此时，用窗同的方法已无济于事，必须创造新的方法，融入新的思想。正是这样的内在的发展要求，使得代数几何在20世纪发生了一场革命，即库恩意义上的范式的彻底改变。其中蕴涵的新的数学思想，不仅革新了代数几何本身，而且也革新了整个数学界的思考方式，给经典的数学家们在思想上带来了深深的震撼！

Dieudonne把代数几何学的历史分为七个时期：前史（prehistory，Ca400BC-1630AD），探索阶段（Exploration，1630-1795），射影几何的黄金时代（1795-1850），Riemann和双有理几何的时代（1850- 1866），发展和混乱时期（1866-1920），涌现新结构和新思想的时期（1920-1950），最后的一个阶段，也就是代数几何史上最辉煌的时期，层（sheaf）和概形（Scheme）的时代（1950-）。代数几何学的对象原来是欧氏平面中的代数曲线，即由多项式P（x，y）=0定义的轨迹，比如最简单的代数曲线——直线和圆，古希腊时代就已经在研究圆锥曲线和一些简单的三次，四次代数曲线了。承前述可以看出，研究代数方程组的公共零点集离不开坐标表示，所以，真正意义上的研究还得从Descartes和Fermat创立几何图形的坐标表示开#####灯穑��庖丫�7世纪的事情了。解析几何学对于代数曲线和曲面已经有相当完整的结果了，从Newton开始已着手对三次代数曲线进行分类，得出72类，从这时起，分类问题便成为代数几何中的知道性问题了，这些问题成为大量研究工作的推动力。但是，反过来，正是由于对三次的或四次的代数曲线进行的分类过于繁复，从而推动了解析几何学向代数几何学的过度，也就是在更加粗糙的水平上进行分类和进行一般的理论研究。18世纪，AG（代表代数几何，以下类同）的基本问题是代数曲线和曲面的相交问题，相当于代数方程组中的消元问题，这个时期得到的基本成果是Bezout定理：设X，Y是P^2中两支不同的曲线，次数分别为d和e，令X#Y={P_1, P_2,P_s},则Sigama[j is from 1 to s] i(X,Y;P_j)=de。随着19世纪射影几何学的兴起，开始用射影几何方法来研究代数曲线，其中引进了无穷远点及虚点和用齐次多项式及射影坐标P （X_0,X_1,X_2)=0来表示代数曲线，并且允许出现复坐标，1834年，德国数学家普吕克尔得出关于平面曲线的普吕克尔公式，这个公式把平面代数曲线的代数特征和几何特征联系起来了，如次数和拐点数等，特别是由此证明了一般三次代数曲线皆有9个拐点，1839年，他还发现四次曲线有28条二重切线，其中至多8条是实的。上面就是前三个阶段代数几何学的一个概貌。

Riemann是对现代数学影响最大的数学家之一（之一甚至可以去掉），其中就包括对代数几何的深刻影响，Dieudonne\’甚至称Riemann这个时期的函数论研究是整个代数几何历史中最重要的一步，Riemann是通过研究Abel函数论涉足代数几何的。他在研究复变函数时，提出了 Riemann Surface的概念 ，把Abel函数论和Riemann Surface的工作综合起来，Riemann把代数曲线作为Riemann Surface上的函数论来研究，并且引进第一个birational maps 的不变量——Genus，只有在代数几何里才有 birational equivalence，这就使得代数几何比微分几何或者拓扑更加的rigid 从而开辟了代数几何的新篇章。通过genus，Riemann 有提出了Moduli的概念，现在这个东西可是大热门，并且和他的学生Roch得出了代数几何学中的一条中心定理——Riemann-Roch定理，此定理是说：设X为亏格g的曲线，D为X上的除子则有：L（D）—L（D—K）=degD+1—g，K是一典则除子，以后对此定理的每一次推广都是代数几何中的一大进步，非常深刻的Atiyah-Singer指标定理是推广Riemann-Roch定理的颠峰，Atiyah-Singer指标定理横跨代数几何，拓扑，分析，偏微分方程，多复变等好几个核心数学领域，并且在物理学中Yang-Mills场论中得到了重要的应用，但是，指标定理的根基还是在代数几何里面。

1866年，Riemann因病去世，此时他才40岁，以Riemann的成绩来观之，足可见Riemann是何等的伟大！斯人已逝，数学上一个辉煌的时代也随之结束了。Riemann的成就被后来各种流派所继承，而作出比较重要的工作的是克勒布什（Clebsch），而他的学生 MNoether（就是那个伟大的E。Noether的父亲）则用代数几何的观点来看待Riemann Surface，几何化的思想和强烈，而几乎同时，Dedkind和Weber开辟了以理想为基础代数方向，Kronecker则开辟了以除子为基础的算术方向。这三个方向最后在Grothendieck那里会聚在一起，构成一个大一统的气势恢弘的抽象代数几何体系。

从19世纪80年代末起，意大利的代数几何学派继承了M。Noether的几何思想，开始了代数曲面的研究，学派的主要代表人物是Castelnuovo，Enriques和Severi，他们主要是进行代数曲面的分类工作，与此同时法国数学家如Poincar和Picard却在用超越的方法研究代数曲面。承前可以看出，Riemann 以后的人都是在尽力继承和推广Riemann 的工作，可以说Riemann 的主要思想是所有人的基础，而Riemann光于曲面的最重要的思想都与复分析油光，所以，古典代数几何的一个大框架还是三维复射影空间CPn中的代数曲线和曲面。

随着数学的发展，人们对高维空间的需要越来越明显，所以，代数几何中对高维代数簇的研究已不可避免，而且意大利几何学派的代数几何不够严密，急需牢靠的理论基础来支撑其只管的思想，意大利几何学派在分类代数曲面上已经走到了尽头，而在同时期，数学的另外一个分之，代数数论却涌现出了许多新的思想，出现迅猛发展的势态。（经典）代数数论是研究代数数域和它的代数整数环的代数和算术性质的，而高维代数簇是基本域K上代数方程组的解，比如一维代数簇就是K上的代数曲线，考虑代数簇上的整数点，这就成了数论问题，又根据德国F。Klein的Erlanger 纲领，几何学是研究某些数学对象在某个群作用不变量的理论，如果要寻找代数几何中的作用群的话，那么就代数簇之间的双有理变化群，所以，代数几何学的抽象化已经成了它继续向前发展的巨大动力和迫切需要。对其抽象化的工具也正在夜以继日的被锻造，抽象代数学之母E。Noether及其学派发展了一整套强大的抽象工具，E。Noether的学生Van。Der。Waerden首先把抽象代数学引进代数几何里，接下来的一位重要人物是Zariski，他先是从师于意大利代数几何学派的Castelnuovo，但是对此学派工作的不严密性耿耿于怀，从而促使他立意改造古典的代数几何，先是在Lefchetz的影响下用拓扑工具处理代数几何问题，但成效不大，后来了解到E。Noether及其学派的工作，大为振奋，遂集中精力运用代数方法重新改写古典的代数几何，《代数曲面》一书的完成标志着代数几何的抽象化真正开始了，也标志着代数几何研究进入了Zariski时代，从这时起，代数几何里开始人才辈出，并且法国的Bourbaki学派在以后代数几何学发展的光辉岁月里扮演了一个主要角色，Bourbaki学派的主要代表人物之一Weil用更加抽象的观点写了一部《代数几何基础》，Weil的本意是想用有限域上的代数几何学来解决代数数论的问题，却不料搞出了个Weil猜想（不是Deligne证明的那个Weil conjecture），为了证明这个猜想就特意写了这部抽象的书，从此，代数几何又进入了Bourbaki时代。后来Serre评价那部书时说：这本三百页的巨著很难懂，而在20年后又被Grothendieck的更加难懂的《代数几何原理》所代替“这个《代数几何原理》就是江湖上传说的EGA。 Weil在书中充分使用了E。Noether及其学派发展的交换代数理论和语言，提出了代数几何里的一些重要概念，是代数几何学发展中的一个里程碑。

所幸的是，书写出来后，先前那个猜想也被Weil证明了，这个事件意义重大预示了以后的Bourbaki精神为了抽象而抽象，而是有着具体的问题背景的，以此为出发点的抽象才是有意义的抽象，才有成效性，才能用来解决更加困难的问题。代数几何沿着Weil的道路进行着它的抽象化征程，其间，Kodaira用调和积分理论将Riemann-Roch定理由曲线推广到曲面，德国数学家Hirzebruch不久又用sheaf的语言和拓扑成果把它推广到高维复流形上，J-PSerre在sheaf的基础上定义了一般的代数簇，使得代数簇成为具有Zariski拓扑的拓扑空间，从而在代数几何里引入了日后起重要作用的上同调理论，不过，Serre在代数几何里最重要的贡献，我觉得是吸引Grothendick到代数几何里来。自从Grothendick介入代数几何后，代数几何的面貌完全改观，尽管在代数几何里王者辈出，但是，大家心目中的教皇只有一个，那就是伟大的Grothendick。 Grothendick是法国数学家，Bourbaki成员，1928年生于德国柏林，由于第二次世界大战，致使他没有受到正规的大学阶段的数学训练。 1953年以前主要致力于泛函分析，创造了核空间，拓扑张量积等概念，这些概念现在在泛函分析里十分基本和重要，一系列深刻的泛函分析工作就足以使他跻身于数学界的巨人行列，但是，他的影响更为深远的工作是后来在代数几何上划时代的贡献，代数几何学经过Van。Der。Waerden，Zariski， Weil和Serre等人的推广，代数簇已经完全抽象化了，但是，代数簇最彻底的推广则是Grothendick在20世纪50年代末做出的，这就是他的抽象概型理论和强有力的上同调理论。仿射概型（Affine Schemes）是一个局部戴环空间（X，Ox），而且它同构于（作为局部戴环空间）某个环的谱。概型是局部戴环空间，在它中每点有一个开邻域U使得拓扑空间U和限制层Ox|U是一个Affine Schemes，X叫做概型（X，Ox）的承载拓扑空间，Ox叫做它的结构层。例如，若K是域，Spec K则是一个Affine Schemes，它的拓扑空间由一点组成，它的结构层由域K组成。Grothendick为了给它的这座大厦打下坚实的基础，和他的老师 Dieudonne合作写了一部四卷本的巨著，总共有7本书，这就是前面Serre提到过的”更加难懂的《代数几何原理》“，(《Ele\’ments de Ge\’ome\’trie Alge\’brique 》简称EGA，道上的朋友只要听到EGA，就知道你要说什么了)，这是世界上概型和上同调最权威的参考文献，Dieudonne评价说：” Clearly, the theory of schemes includes ,by definition, all of commutative algebra as well as all of the theory of the varieties of Serre。“Scheme把代数几何和代数数域的算术统一到一个共同的语言之下，使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中的大量概念和思想以及技巧。

开始的时候，人们对Grothendick这套庞大的抽象体系究竟有什么用感到非常的茫然，但是，在Deligne使用Grothendick的理论证明了高维Weil猜想后（这是Weil的另外一个猜想，是有限域上高维代数簇的Riemann猜想的模拟），情形就发生了剧烈的变化，到了70年代末，这套概型语言和上同调机制已经被许多同行所熟悉和掌握，并已成为研究现代代数几何学与数论（主要是指算术几何）的通用语言和基本工具。1983年 Faltings证明Mordell猜想也使用了这套机制，由此可见Grothendick所建立的这套概型理论是多么的重要。1973年Deligne 证明的高维Weil猜想是特征P（有限域上）的算术几何的巨大进步，10年后Faltings所证明的Modell猜想则是特征0（整体域上）的算术几何的巨大突破，这里又一次说明了能解决具体问题的抽象才是好的抽象，才是有意义的，为抽象而抽象的工作最终将被人们遗弃。Grothendick的另一个目标是致力于发展各种上同调理论，如L—adic上同调和etale上同调，以致最后他走向了”终极上同调不变量“，即动机理论（motive theory），使得所有其他的上同调理论都是它的一种表示或者化身（即它的具体化），这个理论随着1970年 Grothendick的”金盆洗手“，也成了一个美丽的Grothendick之梦。不过，已经由它产生了大量好的数学，如1970年Deligne和 RLanglands猜想motives和自守表示之间的精确关系，AWiles的FLT的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维 motievs的特殊情况，这个猜想使得motives和现在著名的Langlands纲领联系起来了，而且2002年菲奖得主Voevodsky的工作也与motives油光，Grothendick的梦想或许有一天又会成为一个伟大的理论。

Grothendick在代数几何学方面的贡献大致可分为10 个部分：1连续与离散的对偶性；2，Riemann-Roch-Grothendick理论（主要是K理论与相交理论的关系）；3，Scheme theory；4，拓扑斯（Topis theory）；5，L—adic上同调和etale上同调；6，motives与motives的Galois Group（包括Grothendick的圈范畴），7，晶体与晶状上同调，de Rahm系数，Hodge系数理论；8新的同伦代数，Topis的上同调；9，稳和拓扑；10，非交换的代数几何学，加罗瓦—泰什缪勒理论。这些思想被总结在EGA，SGA和FGA以及其他大量的手稿中，EGA和SGA现在已经成为代数几何中的圣经了，EGA，SGA和FGA加起来大约有7500页。 Grothendick的博大精深的理论还远远没有弄清楚，但是却已经产生了非常深刻的数学成果。代数几何学与其他许多学科都有着密切的联系，如拓扑学，微分几何，复几何，分析，代数，数论等，并且在现代理论物理中也有重要的应用，被Atiyah称为 21世纪的三大数学理论的算术几何更是与代数几何息息相关，抽象代数几何学必将在21世纪得到更进一步的发展，继续成为21世纪的主流数学领域。我国研究代数几何的人比较少，水平也比较低。代数几何学的震撼人心的魅力将会吸引一批有天才的人，去投身21世纪的数学辉煌时代的缔造工作！

用代数的方法研究几何的思想,在继出现解析几何之后,又发展为几何学的另一个分支,这就是代数几何代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面　　代数几何学的兴起,主要是源于求解一般的多项式

一、几何意义

1、从图像来看有什么性质的意思。

2、比如导数，它本身是函数，而它的几何意义就是图像某点切线的斜率。

3、它就是代数式，或方程，函数等抽象成的几何图形和几何语言。

二、代数意义

代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切地说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。 初等代数是更古老的算术的推广和发展

几何意义与代数意义：它们之间不一定是一一对应的，用两种方法表示同一个图形的面积或体积，这个等式就是这个几何图形的代数意义，反之这个图形就是这个等式的几何意义。

扩展资料

绝对值基本概念

1、代数意义：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0。

代数意义作用：进行绝对值的化简

2、几何意义：表示数轴上的点到原点的距离

文字解析：

|3|指在数轴上3与原点的距离，这个距离是3，所以3的绝对值是3。

同样，  |-3|指在数轴上表示-3与原点的距离，这个距离是3，所以-3的绝对值也是3。

背景

凯莱和克莱因的工作连接了非欧几何、黎曼微分几何和射影几何，代数方法广泛应用于射影几何后，人们开始寻求几何图形有哪些性质与坐标表示无关，这个问题也促成了对代数不变量的研究。

几何图形射影性质就是图形在线性变换下不变的那些性质，有时也考虑高次变换，研究在这些变换下曲线和曲面有哪些性质不变。不久数学家就从线性变换转到高次变换，称之为双有理变换：因为这些变换的代数表达式是坐标的有理函数，其逆变换也是坐标的有理函数。数学家集中研究双有理变换，是因为黎曼曾用它们研究阿贝尔积分和阿贝尔函数，研究曲线双有理变换的第一个重要进展就是由黎曼的工作引发的。这两个主题是19世纪后半叶代数几何的主要内容。

代数几何原先是指从费马到笛卡尔时代起所有把代数用于几何的研究工作，在19世纪后半叶把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何，到20世纪，代数几何指的就是后一领域。

先打一点代数不变量

通过坐标表示来确定要表示、研究的图形的几何性质，需要识别在坐标变换下保持不变的那些代数表达式。此外，用线性变换把一个图形变到另一个的射影变换使图形某些性质保持不变，代数不变量代表这些不变的几何性质。

代数不变量的问题产生于数论，特别在研究二元二次型 在x与y用线性变换T变换时是如何变换的，T即x=αx'+βy',y=γx'+δy'，其中αδ-βγ=r，得到 ，在数论中系数都是整数，且r=1，但一般而言f的判别式D满足关系式 。

射影几何的线性变换更为一般，因为二次型和变换系数不限于整数，代数不变量一词是指在这更一般的线性变换下产生的不变量，区别于数论中的模不变量和黎曼几何的微分不变量。

GeoGebra是自由且跨平台的动态数学软体，提供各级教育使用，包含了几何、代数、表格、图形、统计和微积分，集中在一个容易使用的软体。它已获得好几个欧洲和美国的教育软体大奖。

基本介绍 外文名 ：GeoGebra 类型 ：数学软体 创始人 ：Markus Hohenwarter 版本语言 ：英语 软体简介,软体介绍,软体特色,功能介绍,几何视窗,代数视窗,工作表视窗,研究院,国际情况,中国情况,用户认证,初级用户,专家用户,培训专家, 软体简介 软体介绍 GeoGebra 是一个结合「几何」、「代数」与「微积分」的动态数学软体，它是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter所设计的。 一方面来说，GeoGebra 是一个动态的几何软体。您可以在上面画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线，甚至是函式，事后你还可以改变它们的属性。 另一方面来说，您也可以直接输入方程和点坐标。所以，GeoGebra 也有处理变数的能力（这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标），它也可以对函式作微分与积分，找出方程的根或计算函式的极大极小值。 所以 GeoGebra 同时具有处理代数与几何的功能，因此 GeoGebra 视窗左边有一个「代数区」，右边有一个「几何区」（也称为「绘图区」），就像下图一样。 软体特色 可免费用于学习、教学和考评。 功能强大、使用简单、互动性强。 支持多种语言。 以趣味的方式真正观察和体验数学和科学。 可适于各种课程或项目。 在世界上有数百万人使用。 功能介绍 以下是几个视窗的简介： 二次函式 几何视窗 可以借助工具列中所提供的作图工具，在几何区中使用滑鼠进行几何作图。从工具列中选择其中一种作图工具，可借助工具使用提示（在工具列后方）来得知如何使用所选择的工具。任何在几何区中所产生的对象，在代数区中都有一个代数特征。 注：可以使用滑鼠拖曳来移动几何区中的对象，代数区内的代数特征也会同时动态更新。 工具列中的每一个图示代表一个工具盒，工具组内包含一些相似功能的作图工具，可以用滑鼠左键按下图示右下角的小箭头来打开该工具盒。 提示： 作图工具是依照产生物体的本质来分类的。如：可以在点工具盒（默认图示为 ）及几何变换工具盒（默认图示为 ）这两类工具中，产生不同类型的点。 代数视窗 可以在Geogebrar命令区中直接输入代数表达式，再按下Enter键后，所输入的代数表达式会在代数区内出现，同时在几何区内出现对应的图形。 在代数区中，数学对象被归类成自由对象和派生对象。如果产生一个对象而未使用任何已经存在的对象，则被归类为自由对象。若新产生的对象是使用其他已经存在的对象而产生，则归类为派生对象。 提示：假如想要隐藏在代数区内的特征，可以将对象指定为辅助对象，做法如下：在代数区中，在对象上点右键，在右键选单中选择“辅助对象”，或者在弹出选单中选择“属性”，在属性对话框中选择标签“基本”，然后在“辅助对象”选项前复选框中打对勾。根据程式的默认，“辅助对象”是不会出现在代数区中，但是可以在“查看”选单中选择“辅助对象”，然后在代数区中就可以看到了。 可以修改代数区内的对象：先确认已选取 移动 工具，然后双击代数区内的对象，可以在文字方块中直接编辑对象的代数特征数据，再按下Enter键后，对象的图形特征也会随之改变。若双击代数区内的派生对象时，可以在出现的对话框中“重新定义”对象。 Geogebra也提供许多命令，可以在命令区的右方按下‘Command’按钮来开启命令视窗表，在选单中选择一个命令后（或者直接在命令输入框中输入命令），再按下F1键取得该命令的语法结构以及所需要的参数等信息。 工作表视窗 在Geogebra的工作表区中，每一个单元格都有指定名称，用来指定单元格的位置。这一点类似于OFFICE的工作表。例如在A列第1行的单元格的名称为A1 注：当单元格名称用在表达式或者命令中时，单元格名称代表的是该单元格内的内容数据，这一过程称作单元格数据引用。 在工作表中，不但可以输入数值，也可以输入所有Geogebra所支持的数学对象，如点的坐标、函式、命令等。在工作表中所输入的数学对象，Geogebra会立即在几何区中显示其图形特征，而且对象的名称会对应工作表中的位置，如A5,C3等。 注：根据程式默认，工作表中的对象在代数区中被归类为辅助对象。 研究院 国际情况 GeoGebra还成立了专门的机构以支持教师培训、教学经验分享以及科研工作。其总部国际GeoGebra研究院（International GeoGebra Institute）设在欧洲，全球已有159个GeoGebra研究院。 中国情况 2011年5月25日，在北京师范大学数学科学学院曹一鸣教授牵头下，中国GeoGebra研究院成立，作为GeoGebra在中国的首席研究院，中国GeoGebra研究院将领导协助其他中国其他地方研究院的建设与发展，致力于GeoGebra相关的数学教学和学习的研究工作，颁发中国GeoGebra用户水平认证，提供师范生和一线教师的专业培训，分享数学学习与教学的成功案例和先进经验，促进中国GeoGebra各地方研究院间的合作。 其后，在天津师范大学和南京师范大学的努力下，天津GeoGebra研究院和南京GeoGebra也相继成立，北京GeoGebra研究院正在筹建中。 用户认证 本认证说明基于国际GeoGebra研究院（International GeoGebra Institute）提供的GeoGebra Certification Guidelines，并结合中国GeoGebra用户认证需要，由中国GeoGebra研究院修定而成。中国GeoGebra研究院认证用户分为三级： 初级用户：GeoGebra User （初级用户） 中级用户：GeoGebra Expert（专家用户） 高级用户：GeoGebra Trainer（培训专家） 申请者可根据自身水平，结合下文的具体要求申请初级用户或中级用户。高级用户为中国GeoGebra研究院认证的培训专家，申请者需熟练掌握软体使用具备丰富的使用经验，故申请中级用户认证后满一年方可申请高级用户认证。 申请者请按照每一级用户申请的“申请材料”要求，将申请材料传送到申请信箱，经中国GeoGebra研究院认证合格后，将向申请者颁发认证证书。 初级用户 GeoGebra User（初级用户） 申请GeoGebra User认证须满足以下条件： 1操作要求 (1)熟悉GeoGebra的各功能区、熟练使用绘图工具，能使用基本的命令操作。 (2)能够动态化对象，以制作具有吸引力的教学课件。 (3)能利用GeoGebra制作ggb档案、统计图等，并将其运用在文档或网页中。 (4)对GeoGebra帮助功能有一定了解，在遇到不熟悉的工具或命令时可以及时获得帮助信息。 2教学要求 (1)解GeoGebra的动态功能。 (2)配合自制的教学材料，使用GeoGebra作为论证和展示工具。 (3)能够从GeoGebra网站或其他渠道选择使用现有的GeoGebra课件资源。 (4)有足够的能力让学生参与使用GeoGebra准备课件。 3角色要求 (1)能够在GeoGebra论坛中提出问题寻求解答，以拓展对软体的了解。 4申请材料 (1)个人简历 (2)在教学中使用GeoGebra的证明。（如课堂录像、照片等） 专家用户   GeoGebra Expert（专家用户） 申请GeoGebra Expert认证须满足以下条件： 1操作要求 (1)熟练掌握代数表达式和命令的使用。 (2)熟练GeoGebra高级功能的使用，如：动画、列表、动态文字和条件显示。 (3)能够使用作图导航功能或其他方法分析一个现有GeoGebra构图的绘制方法。 (4)能够建立自定义工具并自定义用户界面。 (5)熟悉动态工作表的高级功能。 2教学要求 (1)使用GeoGebra作为教学工具，能根据课堂需要设计课程结构。 (2)能够根据地方的课程和学生需求，修改调整现有ggb档案及动态工作表。 (3)介绍学生使用GeoGebra并引导他们独立使用GeoGebra，并帮助他们进行发现学习和数学实验。 3角色要求 (1)能够在GeoGebra用户论坛中解答其他用户提出的问题。 (2)能够制作并分享有创意的教学材料。 (3)积极联系其他教育工作者，促进合作交流，分享GeoGebra使用经验。 (4)能够举办研讨班，向其他同仁介绍GeoGebra的基本操作，并使他们了解使用教育技术改善数学教学的方法。 4申请材料 (1)个人简历 (2)使用GeoGebra自制的课件。（需包含ggb档案，并注明针对的具体课程） (3)使用GeoGebra改善教学的教学案例和计画。 (4)举办GeoGebra研讨班的记录、成果展示以及将来的活动计画。（如活动录像、照片或会议论文集等） 注：师范生可通过选修所在高校的GeoGebra培训课程，达到课程要求后获得中级用户认证。但申请GeoGebra Trainer（训练专家）时须提交上述材料。 培训专家 GeoGebra Trainer（培训专家） 申请GeoGebra Expert认证须满足以下条件： 1操作要求 (1)申请GeoGebra Expert认证满一年者。 (2)使用GeoGebra出现问题时，知道如何获额外信息和帮助。 (3)知道安装GeoGebra的不同方法以及各方法间的区别。 (4)能够使用JavaScript编写互动练习，会使用管理系统或。 2教学要求 (1)与地方GeoGebra学院合作，编写教材、举办研讨班。 (2)能够召开研讨会，为初学者和高级用户以及有意申请GeoGebra User和GeoGebra Experts认证的人员提供学习交流的机会。 3角色要求 (1)参与GeoGebraWiki建设，促进用户群中成员的交流与合作。 (2)有独立研究、发表论文的能力。 (3)能够在教师交流会或教师会议时报告使用GeoGebra改善教学的案例。 4申请材料 (1)个人简历 (2)GeoGebra Expert认证证书电子版。 (3)使用GeoGebra改善教学的教学案例和计画。 (4)关于GeoGebra研究的相关论文。（pdf版或提供资料库连结）

代数主要研究的是数字与数字之间的逻辑联系,是代数式与代数式的运算而几何是图形中各种边角面积之间的必然联系

代数的理性更重,几何需要的感性思维更多

代数是几何等一切理科的基础

几何数论：

又称数的几何，应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支。在数论中，几何数论研究凸体和在n维空间整数点向量问题。几何数论于1910由赫尔曼·闵可夫斯基创立。几何数论和数学其它领域有密切的关系，尤其研究在函数分析和丢番图逼近中，对有理数向无理数逼近问题

代数数论的一个重要分支。它以代数整数，或者代数数域为研究对象，不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之，代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的"大定理"，即方程x^n + y^n = z^n(n>2)没有xyz≠0的整数解。

说白了，几何数论是研究空间和向量的，代数数论是研究整数的

代数意义一般指式子本身带入数字运算的意义,几何意义一般指将代数式画出与代数意义相符的图,类似解析几何。

附几何,就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一,与分析、代数等等具有同样重要的地位,并且关系极为密切。产生于古埃及。

代数是研究数、数量、关系与结构的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。