怎样培养学生学习几何的兴趣

初中开设平面几何课程后，部分学生不能很快入门，往往会感到这门新学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂非懂，有的知识似乎离我们很远，阅读不知看什么，回答不知说什么，做题不知写什么，作图不知画什么，有些学生“知难而退”，逐渐地失去了学习几何的兴趣。下面笔者就在教学中怎样培养学生学习平面几何的兴趣浅谈一些肤浅的看法和总结：

一、增强师生感情，树立教学信心

教师要培养学生学习几何的兴趣，首先要相信学生。初中学生几何成绩差，多数是由非智力因素造成的。如果学生对学习平面几何不感兴趣，遇到困难不能及时克服，会使知识严重欠账，形成恶性循环。因此，教师应相信大多数学生通过努力都能学好平面几何，要教育学生树立信心，针对学生的不同情况做好学生的转化工作，激发学生学习的积极性，主动克服学习中的困难，把平面几何学好。

教师在教学过程中，对待学生要满腔热情，态度要和蔼、耐心、慈祥，使他们感到温暖、愉悦。自卑和自暴自弃往往是一些学生的共同心理，教师要理解他们的苦衷，关心他们的每一点进步，尊重他们的人格，维护他们的尊严，不能因为哪个学生的兴趣不浓或成绩差，就挖苦、讽刺、歧视他们。

教师在教学中要善于发现学生积极上进的闪光点，即表扬他们的微小进步，激励他们的自信心。有些学生失败的时候感情上压抑、挫伤较深，教师要从爱护学生的角度出发，注意调动他们的积极性，使他们坚定学习信心和克服困难的意志，形成“我也能学好”的良好心理状态。这样，当师生之间建立了深厚的感情，心灵得到沟通，就会产生一种力量，它不仅能激励学生热爱几何课，而且有助于几何学习兴趣的保持。

二、激发学生的学习兴趣，树立学好几何的信心

首先，应使学生对几何这门学科有所了解。在上《引言》课时，除介绍几何研究问题及研究对象外，还可适当地向学生介绍数学史、数学家的小故事及数学的几个分支，几何学在中学数学中的地位，几何学的起源以及发展史，古代中国对数学、对几何学的贡献。引导学生发现从古希腊的测地术到今天的高楼大厦，从工农业生产到日常生活，到处都可以看到几何的踪影；并且指出几何也是学好其他数学分支的基础，是探索和研究自然科学的工具，更是开发智力、培养逻辑思维能力的好朋友，从而激发学生学习几何的兴趣和热情。

其次，利用现实生活中的具体实例消除学生学习几何的紧张心理，由于几何中的定义、公理等比较抽象，初步接触确实难以接受。举实例、看实例、打比方、画草图、做实验等方法可加强学生的认识理解，并从实践观察分析中，理解和掌握几何概念与图形的性质。如在讲“线段的大小比较”时，先让两个同学分别报出他们的身高，然后让他们走上讲台比较他们个子的高低，这样学生对“线段的大小比较”就有了较为直观的认识。这样，学生会感到几何在我们生活中处处存在，几何并不难学。

三、充分发挥学生的主体作用，激发学生的学习兴趣

注重对学生学习潜力的发掘。在课堂教学和评估时，对较差的学生采取“优先板演”“优先批改作业”“优先反馈教学信息”，并给予及时矫正和指导的方式，使他们了解在教师心目中的位置，从而增强他们对学习的兴趣。

确定相应的教学起点和恰当的教学目标层次，通过评价以及了解学生实际，根据大多数学生能达到的学习水平来确定教学起点，因人定标，分“优、中、差”分类指导，分步落实，使学生们都能享受到成功的喜悦，获取学习的乐趣。

让学生充分参与评价，增强学习信心。让学生以主人翁的态度对待自己的学习，多给他们自我评价、自我认可、自我鼓励的机会。如：组织小组讨论，使所有学生都有相对多的发言机会。课堂检测后，学生根据答案自评或互评，然后教师给予肯定和鼓励。

四、制作数学模型，调动学习兴趣

数学模型易于表现空间图形的真实形状和各元素之间实际位置关系，它可以帮助学生掌握新知识，建立空间观念，让学生动手制作某些教具和学具，对培养数学观念、巩固知识、调动学习兴趣大有好处。

动手制作也是实施直观教学的重要措施，它使学生的无意注意和有意注意交替进行，丰富了他们的感性认识，降低了思维难度，从而使它们对学习过程本身产生兴趣，进而发展到对学习内容产生兴趣。

如讲“三角形内角和”时，每个学生用纸剪一个三角形后撕下三只角拼接起来，观察猜想有什么结果，从而不仅得出了三角形内角和等于180°的结论，而且也为理论上证明这一定理如何添加辅助线埋下了伏笔。

又如：讲等腰三角形判定定理时：1让学生在白纸上做出一个两角相等的三角形并剪下；2将三角形对折，使两个相等的角重合：3让学生观察两等角的对边和长度，提出猜想；4引导学生证明猜想，叙述证明要点并写出证明过程，让学生回答证明的猜想，教师给予鼓励，通过学生自身活动，使定理成为他们探索发现的成果。这样让学生动口动手，量一量，剪一剪，折一折，比一比，则效果大为好转，使学生都感到参与的乐趣，增强学生学习几何的兴趣。

五、通过作业的处理，激发学生学习兴趣

学生做几何作业，不会做难度稍大的题，教师如果不认真及时地解决，学生就会形成抄袭习惯，所以教师在布置作业时，对作业的设计要分层次，体现分类要求，因材施教，对优等生可保留一定的课外题，对差等生的作业要全部面批面改，有了错误及时纠正，尤其对基础较差的学生耐心解答。实践证明，教师的正确引导是帮助学生走向成功的决定因素，很多本来失去了几何学习兴趣的同学在教师的耐心帮助下，都赶了上来，增强了自信。

六、通过信息反馈，激发学生的学习兴趣

搞好形成性测试，试题要照顾大多数学生的学习水平，使大多数学生都能取得较好的成绩，使之再次获得兴趣和动力。每次测试结果要跟踪分析、跟踪补课、跟踪复查，使学生的知识能得到巩固和强化，知识缺陷得到及时补偿。这样，有助于巩固学生学习几何的兴趣。

总之，要培养学生的兴趣，教师应该及时引导，使学生的兴趣持久不衰，适应几何的思考方法。学生的学习兴趣愈来愈高涨，从而出现良好的教学效果。

      数学与艺术之间是紧密相连的，我刚开始接触数学这门学科的时候，并没有发现他的魅力所在，仅仅从定义出发，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。然而在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学必不可少的基本工具。

      很多凄美的爱情故事都是情感艺术上的一次完美的升华，笛卡尔的心形线是我听过的最感动的爱情故事。 在斯特哥尔摩的街头，五十二岁的笛卡尔邂逅了十八岁的瑞典公主克里斯汀。那时候生活落魄的笛卡尔没有什么财产，过着乞讨般的生活，所有的家当只有身上穿着的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。天性清高的数学家从不为了五斗米折腰，专心致志的沉浸在自己的数学世界里，身边过往的人群，喧嚣的车马队伍都无法对他造成干扰。突然有一天，一张年轻秀丽的脸庞，楚楚动人的灵动的双眼出现在他的面前问道：“你在干什么呢？”美丽的公主蹲下身子拿起地上笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来，他们相谈甚欢，像是多年未见的好友一般，言谈中，笛卡尔发现公主的思维敏捷，对数学也有着浓厚的兴趣，这对笛卡尔来说，像是冬天里的阳光暖暖的洒进了冰封已久的心里。几天后，笛卡尔被意外的聘请成为小公主的数学老师，笛卡尔欣然往之。在笛卡尔的悉心教导下，小公主的数学突飞猛进，他们之间也渐渐变得亲秘起来。他们每天形影不离的，在瑞典这个浪漫的国度里面，一段纯粹、美好的爱情悄然发芽。

      然而好景不长，他们之间的事情传到了国王的耳朵里，国王决定将笛卡尔处死，在狱中，笛卡尔每天都给公主写信，他的最后一份信没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。后来这封信传到了公主的手里，她欣喜若狂，立刻就明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，公主不禁留下了感动的泪水，每次看到这个著名的“心形线”，我脑海中就回想着这个凄美的爱情故事，其实 数学并不是枯燥而无味的，你用心去感受其中的奥妙，你一定能乐在其中。

      数学的呈现形式有很多种，除了用图像表示函数以外，我们还可以对数字进行排列组合，在数学中呈现的形式就是一个个不同的数列，然而在文学艺术上可能就是一首首脍炙人口的经典诗歌。数学入诗，使人情趣盎然。如宋人邵康所写的：“一去二三里，烟村四五家，楼台六七座，八九十之花。”生动的描写了一幅自然朴实的乡村景象，宛如一幅淡雅的山水画，尽管它有一半是用数字描绘的，诗的美却隐含在数的和谐之中。诸如此类的诗歌有很多很多，譬如“不知细叶谁裁出，二月春风似剪刀。”“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。”“毕竟西湖六月中，风光不与四时同。”“三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。”“回眸一笑百媚生，六宫粉黛无颜色。”“七八个星天外，两三点雨山前。”“十年生死两茫茫，不思量，自难忘。”等等，这些数字与诗完美的契合在一起，更能让读者产生共鸣。

      当数学与诗歌结合的同时，在爱情故事里有没有体现呢？在二十年来的浅薄的阅读中，我脑海里闪过了司马相如和卓文君。司马相如曾用一曲《凤求凰》赢得了美人的青睐，两人婚后不久，司马相如奔赴长安做了官，五年不归。文君十分想念，有一天，她突然收到了相公寄来的信，她欣喜若狂，不料拆开一看，只写道“一二三四五六七八九十百千万”十三个数字。聪明的卓文君立即明白了丈夫的意思：一行数字中唯独少了一个“亿”，岂不是表示夫君对自己“无意”的暗示？她心凉如水，怀着十分悲痛的心情，回了一封《怨郎诗》：一别之后，二地相悬。只道是三四月，又谁知五六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨。意思是：万语千言说不尽，百无聊赖十倚栏。重九登高看孤雁，八月仲秋月圆人不圆。七月半烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒。五月石榴红胜火偏遇阵阵冷雨浇花端。四月枇杷未黄我欲对镜心愈乱。急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断。噫，郎呀郎，巴不得，下一世，你为女来我做男。司马相如看完妻子的信，不禁惊叹妻子之才华横溢。遥想昔日夫妻恩爱之情，羞愧万分，从此不再提遗妻纳妾之事。这首诗也便成了卓文君一生的数字诗的代表作。司马相如和卓文君的爱情故事可以说是千古佳谈，他们之间这首经典的数字传情的诗也感动了无数的后人，私以为，这可以说是数字诗歌的爱情故事的典范了。古今中外还有很多的问题，是以诗歌的形式叙述的，是诗人和数学家的和谐统一，形成了诗歌海洋中别具风格的浪花，也是数学天空中耀眼的星光，把数字灵活的运用到文学中，又焕发出了新的生命，这也让我对数学产生了别样的情感。

      如果说把数字进行排列组合是文学中的一种表达的方式，那么在日常生活中，几何学也同样有着广泛的应用。在艺术的创作过程中，无论创作者是有意识的还是无意识的，数学关系都是客观存在的。在中国的传统建筑中，空间几何被灵活的运用。传统的三合院、四合院，以及雕梁画栋，飞檐峭壁看起来总是那么和谐，那么舒服，符合了人性化的审美观，具有特别的亲和力。再诸如其他的陶瓷、青铜、园林以及服饰等等艺术，都能隐隐看见“数学关系”的印记。即使是我们出土的最早的那些没有纹理的瓶瓶罐罐，也绝对是一种美感、质朴的表达。艺术的可贵之处，在于被人巧妙地运用中，使得这种和谐的关系恰到的好。

      我们曾经在解析几何中经常会运用到的整体法、隔离法等等，也能被运用到日常两个人之间的表达。前段时间我看到了杨绛先生给钱钟书写的一封信，信里只写了一个字“怂”，如果我们仅仅是从这个字的整体去看，其实也发现不了什么，那如果我们把这个整体拆开，就能明白杨绛先生是想问钱钟书“你的心上有几个人”，是不是就变得有趣了多了呢。钱钟书也只回了一个字“您”，意思是说“我的心上只有你一个”。小时候我会抱怨学那么多数学理论知识有什么用呢，我又不用函数去买菜，随着见识的渐渐增长，接触了不同的领域之后，才知道数学是一切知识的基础，有时候我们在思考一个事情，处理什么问题时，会不经意间使用一些以前学习到了数学思维，只是当时的我们并没有注意到罢了。三毛说过：“读书多了，容颜自然改变，许多时候，自己可能以为许多看过的书籍都成了过眼云烟，不复记忆，其实他们仍是潜在的。在气质里，在谈吐上，在胸襟的无涯，当然也可能显露在生活和文字里。”在这里，我也想说：“ 数学学久了，我们的思维方式自然会改变，我们的逻辑性也会增强，曾经我们以为已经忘掉的数学公式，其实他的一些推导方法已经融进了我们的血液里，偶尔会在我们生命的长河里激起一片浪花 。”

      当然数学除了运用到诗歌、建筑、陶瓷等等，在绘画、音乐中也有很多体现，在这里我就不一一叙述了。

      数学和艺术之间可以说是相辅相成的，数学有助于艺术的创造，也可以用来鉴别艺术作品，甚至可以作为一种桥梁，连接不同的艺术表达形式。反之，艺术可以给数学研究提供新的课题，拓展数学的领域，有助于数学的理解和传统，更重要的是可以改变我们的气质，陶冶情操。当把数学融进了艺术之中，再赋予我们的情感，无论这份情感是欢喜或悲怆，都会是一个值得流传的故事。现在我们常说的工匠精神，就是几十年如一日的坚持自己的初心，把自己的工作当成一种艺术虔诚的去对待，不知不觉中我们便会成为这个行业的引领者。把工作当成一门艺术，把艺术活成了生活，我们乐在其中，投入的是我们的真情实感，足以谱写成一首首动人的诗篇。每个人的生命都是有限的，然而艺术传承却是无限的，如果可以，我也想成为其中的一份子，在人类进化的过程中，留下自己生命独特的印记。                                                                                                                ——文/紫青  2021/1/9

写在后面的话：其中参考了很多的资料文献，就不一一列举了，说明性的文章不像小说般天马行空，一些必要的参考和引用还是不能少的。

初中数学必学的48个几何模型是：正方形、长方形、三角形、四边形、平行四边形、菱形、梯形、圆、扇形、弓形、圆环、立方体、长方体、圆柱、圆台、棱柱、棱台、圆锥、棱锥。

1、正方形

四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形。正方形的两组对边分别平行，四条边都相等；四个角都是90°；对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线都平分一组对角。

2、三角形

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

3、圆

圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。 同圆内圆的直径、半径长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。

对称轴是直径所在的直线。 同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。

4、立方体

立方体，也称正方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体。它有12条边和8个顶点。其中正方体是特殊的长方体。

5、棱柱

棱柱是几何学中的一种常见的三维多面体，指两个平行的平面被三个或以上的平面所垂直截得的封闭几何体。

若用于截平行平面的平面数为n，那么该棱柱便称为n-棱柱。如三棱柱就是由两个平行的平面被三个平面所垂直截得的封闭几何体。

几何语言是在几何中所用的语言，又叫几何术语表示图形位置或大小关系的术语、以及表示作图动作的术语三类。

1 常见术语有“平行”、“相交”、“两两相交”、“有且只有、“点在××上”、“点在××外”等等，要正确理解这些术语。如几何中只有“点在直线上”，“点在直线外”两种表示位置的术语，就没有“点在直线左（右或下）”的说法，大家在学习这些常用的术语时要区分和我们生活实际经验的不同。

2 表示图形位置或大小关系的词语有“相邻”、“互相”、“互为”、“等角”、“等边”等，大家在学习时常常分不清这些词语表述几个图形或几个量，例如“互为余角”表示的是两个角（不是一个角，也不是三个或更多的角）的关系。

3 表示画图、制图动作的术语：如“取”、“连接”、“延长”、“反向延长”、“过点×作直线××，使它平行（垂直）于直线××”等，对这些术语必须明确其本身的含义，并要清楚这些术语在实际作图中该如何去动作。

作出需要的图形来，不公如此还要在画图过程会用准确的术语描述你的作图过程，例如有同学要连接图形中A，B两个点时，会说成“连接AB，作线段AB”这种画蛇添足的笑话。

扩展资料：

最早的几何学当属平面几何。平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）。平面几何采用了公理化方法，在数学思想史上具有重要的意义。

平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。为了计算体积和面积问题，人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。

笛卡尔引进坐标系后，代数与几何的关系变得明朗， 且日益紧密起来。这就促使了解析几何的产生。解析几何是由笛卡尔、费马分别独立创建的。这又是一次具有里程碑意义的事件。

从解析几何的观点出发，几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质。几何图形的分类问题（比如把圆锥曲线分为三类），也就转化为方程的代数特征分类的问题，即寻找代数不变量的问题。

立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴，从而研究二次曲面（如球面，椭球面、锥面、双曲面，鞍面）的几何分类问题，就归结为研究代数学中二次型的不变量问题。

希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：

第一，共存性(和谐性)，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。

第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。

第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。

这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。

——几何

几何学

　　学过数学的人，都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。在我国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。比如三国时曹操那首著名的《龟虽寿》诗，有这么两句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。那么，是谁首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的呢？这是明末杰出的科学家徐光启。==简史==

　　几何学有悠久的历史。最古老的[[欧氏几何]]基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构做出一系列的命题。可以说，《[[几何原本]]》是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。一千年后，[[笛卡儿]]在《[[方法论]]》的附录《几何》中，将[[坐标]]引入几何，带来革命性进步。从此几何问题能以[[代数]]的形式来表达。实际上，几何问题的代数化在[[中国数学史]]上是显著的方法。笛卡儿的创造，是否有东方数学的影响在里面，由于东西方数学交流史研究的欠缺，尚不得而知。

　　欧几里得几何学的第五公设，由于并不自明，引起了历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起两种非欧几何。

　　几何学的现代化则归功于[[克莱因]]、[[希尔伯特]]等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。

　　＝＝古代几何学＝＝

　　几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及（参看古埃及数学），古印度（参看古印度数学），和古巴比伦（参看古巴比伦数学），其年代大约始于公元前3000年。早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工艺制作中的实际需要。在它们中间，有令人惊讶的复杂的原理，以至于现代的数学家很难不用微积分来推导它们。例如，埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱锥的锥台（截头金字塔形）的体积的正确公式；而巴比伦有一个三角函数表。

　　中国文明和其对应时期的文明发达程度相当，因此它可能也有同样发达的数学，但是没有那个时代的遗迹可以使我们确认这一点。也许这是部分由于中国早期对于原始的纸的使用，而不是用陶土或者石刻来记录他们的成就。

　　＝＝名称的来历＝＝

　　几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”，由“γέα”（土地）和“μετρεĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。

　　1607年出版的《几何原本》中关于几何的译法在当时并未通行，同时代也存在着另一种译名——形学，如狄考文、邹立文、刘永锡编译的《形学备旨》，在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的《几何原本》后9卷出版后，几何之名虽然得到了一定的重视，但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势，如1910年《形学备旨》第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为《续几何》。直至20世纪中期，已鲜有“形学”一次的使用出现。

简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。

欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。

欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里德空间。

数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

欧几里德几何的五条公理是：

任意两个点可以通过一条直线连接。

任意线段能无限延伸成一条直线。

给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

所有直角都全等。

若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。）

从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。

与同一事物相等的事物相等。

相等的事物加上相等的事物仍然相等。

相等的事物减去相等的事物仍然相等。

一个事物与另一事物重合，则它们相等。

整体大于局部。

非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。

有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。

但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。

那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。

罗氏几何

罗氏几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。

我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：

欧式几何

同一直线的垂线和斜线相交。

垂直于同一直线的两条直线或向平行。

存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

罗氏几何

同一直线的垂线和斜线不一定相交。

垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

不存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

人们既然承认欧几里得是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。

平面几何的类型如下：

1、立体几何

2、非欧几何

3、罗氏几何

4、黎曼几何

5、解析几何

6、射影几何

7、仿射几何

8、代数几何

9、微分几何

10、计算几何

11、拓扑学

依据大量实证研究,创造几何学的是埃及人,几何学因土地测量而产生。几何是研究形的科学,以人的视觉思维为主导,培养人的观察能力、空间想象能力和洞察力。几何的发展首先是欧几里得的欧氏几何,其次是19世纪上半叶,非欧几何的诞生,再次是射影几何的繁荣,最后是几何学的统一。

扩展资料

几何的著名定理：

1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）

2．射影定理（欧几里德定理）

3．三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。

4．四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点。

5．间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6．三角形各边的垂直平分线交于一点。

7．三角形的三条高线交于一点。

8．设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL

9．三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。

10．（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。

-几何学