微分几何学的初始阶段

1827年德国数学家CF高斯的论文《弯曲曲面的一般研究》在微分几何学的历史上有重大的意义。微分几何发展经历了150年之后,高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带有根本性的内容，他在论文中建立了曲面的内在几何学，其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上一区域的面积、测地线、测地曲率和总曲率等等，称之为曲面的内在性质。

高斯之前的几何学家，在研究曲面时总是把曲面与外围空间E3相联系，找出曲面上一点的主方向，再计算两曲率线的法曲率的乘积，这是欧拉的研究。高斯证明了由曲面的第一基本形式就确定了曲面的总曲率，这就是高斯方程，所以总曲率通常也称为高斯曲率，这是高斯的著名发现，被称为“极妙定理”。他说：“如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持不变的。”这里,“可展”表示了映射是1-1（一一）且保持距离的。高斯建立的内在几何学有着深远的影响，是在微分几何上的一关键而重大的突破，但当时并未被人们所认识。 更重要的发展属于德国数学家（GF）B黎曼。1854年他在格丁根大学发表了题为《论作为几何学基础的假设》的就职演讲，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧氏空间中的一个几何实体。他发展了空间的概念,首先提出了n维流形（当时称为多重广延量）的概念,其中的点用n个实数(x1,x2,…,xn)作为坐标来描述，他定义了流形上无限邻近两点(xi)与(xi+dxi)(i=1,2,…,n)的距离 ， (2)并以此作为几何学的出发点。后来称(2)为黎曼度量,这里(gij)是正定对称阵。黎曼认识到度量(2)是加到流形上去的一个结构，因此，同一流形可以有众多的黎曼度量。黎曼以前的几何学家只知道外围空间E3的度量赋予曲面S以诱导度量 ，(3)即第一基本形式,而并未认识到曲面S还可以独立于E3而定义，可以独立地赋予度量结构。黎曼意识到这件事是非凡的重要，他把诱导度量与独立的黎曼度量两者分开来,从而开创了以(2)为出发点的黎曼几何。这种几何以种种非欧几何作为其特例。例如，这时可以把（α 是常数） (4)作为两个无限邻近点的距离，当α>0时,就是球面几何或椭圆几何（又称为正常曲率空间的几何）,α=0时就是欧氏几何，α<0时就是罗巴切夫斯基几何或双曲几何,又称负常曲率空间的几何。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。在两个不同坐标系x1，x2，…，xn与x1'，x2'，…，xn' 中，给定两个二次微分形式 与 ，求存在坐标变(i=1,2,…,n)将一个微分形式变到另一个的条件，这个问题1869年由EB克里斯托费尔与R（OS）李普希茨解决。克里斯托费尔的解包含了以他的名字定名的记号，即第一类克里斯托费尔记号jk,l和第二类克里斯托费尔记号： ， (5)及协变微分(见黎曼几何学)的概念。在此基础上,1887～1896年间G里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本的作用。里奇和他的学生T列维－齐维塔在研究报告《绝对微分法及其应用》(1901)中对里奇计算法作了详细的综述。

霍志周 董 宁 许 杰 周 刚

（中国石化石油勘探开发研究院，北京 100083）

摘 要 随着石油天然气资源的开发利用，常规孔隙型油气藏储量日益减少，开发难度逐渐增大，石油与天然气勘探方向逐渐由浅部转向深部、由常规油气藏转向特殊油气藏，特别是裂缝型储层。国内裂缝型储集层（碳酸盐岩、致密砂岩）的分布十分广泛。裂缝型油气藏勘探、开发的最大难点，是对储层岩体中裂缝发育程度和分布范围的预测。地震属性（曲率、相干）从不同角度反映了地层受构造应力挤压时地层的变形和破裂情况。因此，通过对曲率和相干属性的计算，可以对地层中裂缝发育情况进行预测。本文利用地震属性（曲率、相干）对YB地区碳酸盐岩裂缝型储层进行了预测，精细地刻画出研究区碳酸盐岩储层中的断裂分布和展布规律，为该区裂缝的综合描述提供了依据。

关键词 裂缝预测 地震属性 曲率属性 相干属性

Seismic Attribute Fracture Prediction Techniques

HUO Zhizhou，DONG Ning，XU Jie，ZHOU Gang

（Exploration and Production Research Institute，SINOPEC，Beijing 100083，China）

Abstract With the development and utilization of oil and gas resources，reserves of oil and gas reservoirs of conventional porosity become less and less，the development becomes harder and harder，the oil and gas exploration gradually turns from shallow and conventional hydrocarbon reservoirs to those which are deep and special，especially the fractured reservoirsFractured reservoirs（carbonates，tight sands）are widely distributed inlandThe most difficult thing in fractured reservoir exploration and development，is the prediction of fracture development and distribution in the reservoir rocksSeismic attributes（curvature，coherence）can indicate the abruption and deformation of stratum by tectonic stress squeezing from different anglesTherefore，through the calculation of the curvature and coherence properties，we can predict the development of the formation fractures In this paper，seismic attributes（curvature，coherent）are used to forecast the fractured carbonate reservoirs in YB area，finely depicting the fracture distribution in carbonate reservoirs and the distribution rule for the area cracks，providing a basis for the comprehensive description of fractures in this area

Key words fracture prediction；seismic attributes；curvature attributes；coherence attributes

国内外无论是陆地还是海上，都已经在砂岩、泥质岩、碳酸盐岩和火山岩中发现了裂缝型储集层，并获得大量工业油气流。据美国能源部预测：在2030年以前，美国国内一半以上的天然气产量将来自低渗透的裂缝型储层。国内裂缝型储集层（碳酸盐岩、致密砂岩）的分布十分广泛。据统计，我国裂缝型油气藏的储量占已探明油气储量的三分之一左右。“九五” 期间，我国四分之三的可用油气储量在低渗透致密裂缝型油田中。因此，裂缝型油气藏的勘探对我国未来石油工业的发展有着十分重要的意义［1，2］。

裂缝型储层是指以裂缝为主要储集空间、渗流通道的储集层。由于缺乏有效的预测手段，人们对裂缝发育和分布规律的研究不够准确，而使油气井钻探和油气田开发方案达不到预期目的，造成的间接损失也是难以完全统计的。裂缝型油气藏勘探、开发的最大难点，是对储层岩体中裂缝发育程度和分布范围的预测。传统方法是借助岩心露头和井数据来进行裂缝检测，虽然岩心露头资料能提供直观、可靠的裂缝资料，综合各种测井资料能对裂缝进行准确识别，但岩心及测井资料控制点有限。通过理论研究和现场试验已经证明：利用地震各向异性特征和不连续性特征来识别、表征地下裂缝的走向、发育程度及分布范围是可行的。三维地震数据庞大的数据量使得三维叠后地震属性分析手段在裂缝预测方面仍然具有较为广阔的发展空间［3～10］。与精细的裂缝识别与预测相关的三维叠后属性分析是围绕地震反射波型式的突变（不连续性）而开展的，倾角/方位角分析、曲率分析、相干分析、频谱分解等技术［11～20］是近年来业界的研究亮点。

目前在断裂解释及裂缝预测中，曲率和相干属性已经得到广泛的应用。本文将详细论述曲率和相干属性的原理，并将该方法应用于塔里木YB地区碳酸盐岩储层的裂缝预测中，可以更客观、更精细地刻画碳酸盐岩油气藏的裂缝型储集体，从而达到寻找裂缝型油气藏的目的。

1 曲率技术原理

曲率用来描述曲线（或曲面）上任一点的弯曲程度，曲率越大曲线越弯曲。曲率的数值及其变化，不仅能够提供一个比较清晰的地质体形态特征，而且还对裂缝的判别有很好的指导作用。从几何地震学的角度看，反射点集合可以视为一个时间标量场，该标量场某一反射面的梯度反映的是该反射面的起伏变化率，即单位反射时间内反射面沿不同方向的变化增量，它表示的是反射曲面沿方向矢量所在法截面截取曲线的一阶导数——视倾角的大小；而该方向上的曲率定义为该曲线上密切圆半径的倒数，亦即为该方向上该曲线的二阶导数。由此可见，看似复杂的地震几何属性系列不过是沿不同方向计算的一阶、二阶导数体。但是，要准确地获取地震数据的曲率信息也是非常困难的。

通常，地震的曲率属性反映了地层受构造应力挤压时层面弯曲的程度。裂缝在曲率较大的地方容易发育，裂缝方向平行于最小曲率方向。在诸多曲率属性之中，最大正曲率和最小负曲率被认为对裂缝识别最有价值。最近几年较为突出的进展是Marfurt、Chopra等在三维曲率体计算、构造倾角滤波、多尺度曲率分析等方面的研究成果［21～23］。

11 曲率的计算公式

曲率作为描述曲线（或曲面）上任一点的弯曲程度的数学参数［24，25］，与曲线y＝f（x）的二阶导数密切相关，其数学表达式为

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

对于三维地震数据体的曲率计算，首先，要在选取的时窗中，在一定范围内按一定步长同时扫描倾角和方位角，求取相应倾角和方位角的相干系数，扫描得到的相干系数形成了一个关于倾角和方位角的曲面。然后，通过曲面拟合，找出曲面上最大的相干系数所对应的倾角和方位角，则认为它是真实的倾角和方位角。在此计算地震数据倾角、方位角方法的基础上，使用高阶逼近的方式，可以比较准确地拟合出待估点附近的曲面。

具体的做法是，以待估点为中心，其所在的小面元可近似地看成是一个二维曲面，曲面方程可以由下式表示：

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

式（2）中的系数可由以下表达式求得：

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

12 各种曲率的定义

根据式（2）中的系数，可以算出地震层位的各种曲率属性［19，21，24～26］。

121 平均曲率km

平均曲率是空间曲面上某一点任意两个相互垂直的正交法向曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交法向曲率可表示为k1、k2，那么平均曲率km表示为

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122 最大曲率kmax和最小曲率kmin

过曲面上某一点的无穷多个正交法向曲率中存在一条曲线，使得该曲线的曲率绝对值为最大，这个曲率称为该曲面的最大曲率kmax，垂直于最大曲率的曲率称为最小曲率kmin，这两个曲率属性为主曲率，计算表达式为

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123 高斯曲率kg

两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点总的弯曲程度。高斯曲率kg被定义为主曲率的乘积

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124 最大正曲率kpos和最小负曲率kneg

在所有法向曲率中的最大正值和最小负值即分别为最大正曲率kpos和最小负曲率kneg，其计算表达式为

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

125 倾向曲率kd与走向曲率ks

在最大倾角方向求取的曲率定义为倾向曲率，在走向上求取的曲率叫做走向曲率。倾向与走向曲率的计算公式分别为

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13 曲率属性的解释［21，25，26］

曲率用来反映几何体的弯曲程度。在构造解释中，如果我们根据层位的解释数据计算曲率，自然就可以定量来描述其构造特征，图1给出了背斜、单斜、向斜、平层和断层的曲率描述。其中，背斜的曲率为正，向斜的曲率为负，而且褶皱越厉害，曲率值越大；平层和单斜层的曲率为零；断层在平滑后可近似认为其曲率有由正到负或由负到正的变化。显然，上述曲率对于单斜和水平地层的区分是无能为力的，对于平行断层、水平面上或沿层面上有方向变化的复杂构造，也是无能为力的，必须要借助于以二维曲面分析为基础的曲率属性。在刻画断裂、地质体方面，最大正曲率、最大负曲率是最容易计算也是最常用的曲率属性［2，21，25，26］。

图1 2D曲率属性示意图［27］

2 相干技术原理

相干分析技术主要用于描述地震数据的空间连续性，通过对地震波形纵向和横向相似性的判别，得到地震相干性的估计值。相似地震道有较高的相干系数，对应于连续性较好的地质体，而较低的相干系数对应于连续性较差的地质体，如断层、褶皱等［28，29］。

Bahorich和Farmer在1995年首次提出了地震相干体技术，其方法是在经典的归一化互相关基础上建立的，算法效率高，但抗噪能力较差，适用于高信噪比的地震数据，称为第一代相干算法［30，31］（简称C1算法）。Marfurt等在1998年提出了沿倾角（方位角）、基于多道相似性的第二代相干算法［32］（简称C2算法），该算法提高了抗噪能力和计算结果的垂向分辨率，但是计算道数的增加降低了侧向分辨率和计算时间。1999年，Gersztenkorn和Marfurt提出了基于本征结构的第三代相干算法［33］（简称C3算法），是通过计算协方差矩阵的特征值来得到相干属性的方法。该算法克服了第一代、第二代算法的一些缺点，虽然具有最佳的横向分辨率，但对大倾角敏感性稍差，而且计算耗时较大。

此后又有一些新的、改进的第三代相干算法，如Randen等［34］提出的几何结构张量方法，这种几何结构张量算法包含了反射界面的倾角和方位角信息，可以稳健地估算时窗内分析点的反射界面的倾角和方位角。张军华等［35］将小波多分辨率分析应用到本征值结构的相干计算中，提高了相干体的分辨率，增强了抗噪声的能力。宋维琪［36］等在本征值结构的基础上，提出了地震多矢量属性相干数据体的计算方法。该算法在属性提取方面，既考虑了方位，又考虑了倾向，即计算地震矢量属性。通过计算综合相干值，提高了地质体边界的检测能力。

21 第三代相干算法的计算公式

假设在一个分析窗口中有j道地震数据，N个采样点，用矩阵D表示三维地震数据体：

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

式中：dnj为第j道的第n个采样点值。

矩阵D中的第n行向量 表示数据体的第n个采样点的集合。假设每个计算窗口中数据的平均值为零，则第n个采样点的协方差矩阵为

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如果dn是个非零向量，则协方差矩阵 是一个秩的半正定对阵矩阵，有一个不为零的特征值。整个数据体的协方差矩阵为

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

协方差矩阵C的秩可以表示分析窗口中地震数据的自由度，而特征值的大小可以定量地描述数据体的变化程度。通常，对于J×J的协方差矩阵，如果有J个独立的本征值，那么J表示空间分析时窗内地震道的道数。另一方面，矩阵的本征值是按降阶排列的，本征向量之间是斯密史正交的，任何2个本征向量的内积为零，第一本征值和第一本征值向量代表了矩阵的主要变化量，其他的依次类推，所起的作用逐渐降低。一般地只需少数几个本征值和本征向量就能代表整个数据体95％的信息量。事实上，本征值结构的相干体估算只用了第一本征值，即

油气成藏理论与勘探开发技术（五）

式中：分母代表了分析时窗内的所有能量；λ1表示协方差矩阵的第一本征值。如果分析时窗内的所有道的波形都一致，则本征值相干系数Ec等于1。

第三代相干技术的最大优点是抗噪能力和分辨率更高，但需要消除地层倾角的影响，首先需要求出各道之间的倾角和方位角值，拟合成一个光滑的曲面，由此构建地震子体矩阵D，从而提高了该算法的精度。

22 相干属性的解释

相干属性是基于局部地震波的不连续性，运用相关性原理突出相邻道之间地震信号的不连续性，进而达到检测断层和反映地质异常特征展布的目的。根据相关值高低的空间变化，能快速识别出断层与裂缝的发育带。地层不连续性越强，相邻地震数据道的相关程度越低，对应的相关值也就越小。

由于地震反射不连续性特征相应于地质异常具有多尺度性。Partyka等［37］提出了谱分解方法，利用不同频带的地震数据识别不同尺度的地质体。Zeng等［38］利用分频地震数据研究地质沉积体时发现，某些单频数据体对地质体边界、范围的刻画比常规有限带宽的地震数据体更清楚，反映的地质细节也更丰富，从而为频率域的地震地质解释提供了一条很好的思路。通过生成不同频率数据体，利用纵横向上时频点或时频段上的频谱差、频谱比、频谱下降率等描述不同尺度的地震波衰减特征，可以识别断层和裂缝，揭示裂缝发育带，乃至对其含油气性进行检测［39］。

3 应用效果分析

塔里木盆地YB地区奥陶系碳酸盐岩储层受多期构造运动、岩相、成岩、古地貌等多重因素控制，储层空间非均质性强。钻探表明，该区奥陶系碳酸盐岩胶结作用强烈，原生孔隙几乎消失殆尽，宏观储集空间以裂缝与溶洞为主。本区储集层多位于断裂带裂缝发育区，表明裂缝对本区的岩溶储集层发育具有重要的建设性作用。岩心与薄片分析表明，本区奥陶系鹰山组风化壳裂缝开启程度高，裂缝不仅大大提高了储集层的渗流性能，而且沿裂缝溶蚀作用普遍发育，甚至形成溶蚀缝洞体。因此该区的断裂对油气的富集起重要作用，裂缝发育的强度与方向等要素对有效储层分布有重要的意义。

对该区三维地震数据分别进行了曲率属性和相干属性计算，主要研究的储层为奥陶系鹰山组的碳酸盐岩。图2为YB地区奥陶系储层的曲率属性裂缝检测结果，可以看出该区的断裂及与之伴生的微裂缝发育区在曲率属性上表现为线条状或网团状的异常。图2（a）中的最大正曲率属性对界定断裂和断裂的几何形态非常有效，以该属性表示的断裂表现为正曲率值。图2（b）中的最大负曲率同最大正曲率具有非常相似的特征。图2（c）中的高斯曲率虽然表现出与裂缝有关系，但它却没有显示出分散的断层。图2（d）中的平均曲率为最小和最大曲率的平均值，并且受最大曲率的制约。平均曲率表示出形态的高与低，给人以断层落差的感觉，通过颜色的变化可以判别出断层的落差。

图2 曲率属性检测裂缝分布

为了比较曲率属性与相干属性在裂缝检测方面的差异，沿目的层提取了相干属性。在提取相干属性时，首先对地震数据进行了谱分解，分成不同频带范围的单频数据体，然后对这些单频数据体分别计算相干属性。图3和图4分别展示了全频相干数据和40Hz单频相干数据在目的层的剖面和平面特征。对比分析发现，40Hz高频体对小断层的反映更为清晰和准确。图3和图4表明，利用分频相干数据体的多尺度分辨率特性可以识别一些常规数据难以发现的小断裂和裂缝发育带。

对比曲率属性和相干属性可以看到，曲率属性包含了更多的有关地层的不连续性信息，且其显示的断层更清晰、更容易识别，搭接关系明朗，更适合断层的快速解释和目标评价。但是曲率是一种基于二阶导数的方法，对地层中的任何噪声污染都很敏感。因此在计算曲率时，研究对象的尺度是需要重点考虑的另一个因素。同时在对曲率属性进行裂缝分析时要与相干属性等相结合，这样才能更为准确地得到裂缝空间的分布信息。

为了在一张图上反映更丰富的裂缝信息，在上述研究的基础上，选择对研究区断裂及裂缝发育特征敏感的各种属性体进行数据融合、重构，可以得到更为丰富的断层及裂缝发育带信息（图5）。

4 结论

本文利用YB地区的三维地震资料，分别计算了各种曲率属性、不同频率的相干属性，通过多属性的综合分析和研究，较好地揭示了该区奥陶系碳酸盐岩储层的裂缝分布和发育情况。通过研究可以看出：

图3 全频带相干数据剖面（a）和40Hz相干数据剖面（b）

图4 沿层全频带相干切片（a）和40Hz相干切片（b）

图5 裂缝综合预测成果图

1）曲率属性对地层的弯曲程度非常敏感，而地层的非塑性弯曲程度又与裂缝发育状况高度相关，因此曲率属性可以比较有效地识别裂缝发育带。

2）高频的相干数据体可以识别一些全频带数据难以发现的小断裂和裂缝发育带，可以得到更为丰富的断层及裂缝发育带信息。

3）针对越来越复杂的地质情况，采用单一的属性已不能很好地解决地质问题，同样不能单独判断裂缝发育带，应结合多种属性分析才能提高预测成果的精度。多种方法相互结合、相互验证，可以减少预测结果的多解性。

所有地震属性的计算都受地震资料的频带宽度和信噪比所限，对于更小尺度裂缝的预测，还需在拓展频带、提高地震分辨率等方面开展进一步研究工作。

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在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2：

这出现于杨-拉普拉斯方程中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 Hf；两个曲率等于小滴半径的倒数 κ1 = κ2 = r ^-1。

曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

扩展资料

曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意义。

本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。一般意义下的曲率，请参照曲率张量。

在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。

按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。

在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。

曲率是弯曲，挠率是扭曲。

对一条平面曲线，主法向量是在平面上，与切向量垂直。次法向量等于切向量叉乘主法向量，与平面垂直。由于平面曲线的次法向量处处与平面垂直，所以平面曲线挠率处处为零。也就是发生弯曲，不扭曲。

而对于三维曲线，某一点曲率，挠率都不为零，同时发生弯曲和扭曲。

上面讲的是三维空间中曲线的挠率。曲面的曲率，挠率可类推。至于更高维的挠率(包括曲率)，则要用到微分几何。

作者：范克里夫

来源：知乎

K=120SS/L。

道床曲率是轨道框架基础的重要组成部分，用于支撑轨枕，把轨枕上部的巨大压力均匀地传递给路基面，并固定轨枕的位置，阻止轨枕纵向或横向移动，同时大大减少路基变形，并缓和机车车辆轮对钢轨的冲击，便于排水。道床曲率等于轨距的三次方与轨道半径的比值再乘以一个系数。具体计算公式为：K=120SS/L。其中，S为弦长，L为平曲线半径。

考研数学三曲率和方程近似解不考。因为考研数学三大纲中未做出要求。考研数学三的复习需要针对大纲有的放矢，才能事半功倍。

高等数学中的微积分大纲

一、函数、极限、连续

考试要求

1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系

2了解函数的有界性单调性周期性和奇偶性

3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念

4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念

5了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念

6了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法

7理解无穷小的概念和基本性质掌握无穷小量的比较方法了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系

8理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型

9了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理介值定理)，并会应用这些性质

二、一元函数微分学

考试要求

1理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程

2掌握基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数

3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数

4了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分

5理解罗尔(Rolle)定理拉格朗日( Lagrange)中值定理了解泰勒定理柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用

6会用洛必达法则求极限

7掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用

8会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间 内，设函数具有二阶导数当 时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线

9会描述简单函数的图形

三、一元函数积分学

考试要求

1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法

2了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法

3会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题

4了解反常积分的概念，会计算反常积分

四、多元函数微积分学

考试要求

1了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义

2了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质

3了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数

4了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题

5了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标极坐标)了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算

五、无穷级数

考试要求

1了解级数的收敛与发散收敛级数的和的概念

2了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法

3了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法

4会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域

5了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数

6了解 e的x次方， sin x， cos x， ln(1+x)及(1+x)的a 次方的麦克劳林(Maclaurin)展开式

六、常微分方程与差分方程

考试要求

1了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

2掌握变量可分离的微分方程齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法

3会解二阶常系数齐次线性微分方程

4了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式指数函数正弦函数余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程

5了解差分与差分方程及其通解与特解等概念

6了解一阶常系数线性差分方程的求解方法

7会用微分方程求解简单的经济应用问题

参考资料：