小学数学在训练倒推法中如何培养学生的推理能力的案例？

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本文作者

宋少卫，青少年学习心理专家，清华大学心理学系学习科学实验室执行主任。

案例背景

在高三总复习阶段的一次统练中，鹏飞的物理卷子最后两道十几分的大题一个字都没有写。班主任问他原因，他说完全不会做。

这次考试严重打击了鹏飞的自信心，甚至让他产生了厌学心理，不想上物理课了。后来，经班主任介绍，鹏飞来到了我的工作室寻求帮助。

初诊接待

由于鹏飞的治疗目的和切入点都十分明确，我们彼此简单介绍后，便直奔主题。

鹏飞拿出这次的物理试卷，让我参考。 从整份卷子来看， 除了那两道空白题之外，其他题目的正确率还是比较高的。 我 先安抚了鹏飞的情绪，引导他用成长型思维来应对眼前的失败，“现在出现的所有问题都是来帮助我们更好地应对高考的！ ”希望他能够更加积极地看待这次考试。

接着，我和鹏飞一起回忆当时进行物理考试的过程。

图源：pexls

“前面的题我做得很顺利，本来越做越放松，还预感这次一定能考个不错的分数，甚至还稍稍走神，畅想了一下高考，觉得高考物理应该蛮有把握的。”

鹏飞低头看着左前方的桌面，回忆道。

“张小易跟我是邻桌，他是物理尖子。考试时他做得比我快一些。当他翻到背面大题时，我听到他叹了口气，当时心里就想大题估计很难。后来，等我做到这部分时，发现果然超级难，题都有点看不懂，脑子一下就懵了。”

“嗯。”我点点头，鼓励他继续说下去。

“我试着做了一下第一道大题，完全找不到思路，浪费了差不多有十多分钟吧，然后我决定放弃这道题，赶紧做下一道，结果也是不会。”鹏飞皱着眉说。

“鹏飞，你还记得做到后面大题的时候还剩多少时间吗？”

“差不多40分钟吧。”

“那这40分钟你都做了哪些努力呢？”

“就是在草稿纸上试着做题，我知道可能做不出来，所以没在试卷上写，先写在了草稿纸上。”

“怪不得试卷上是空白的，你尝试解题的过程都在草稿纸上？”

“是的。”

初步分析

鹏飞的物理基础问题不大。我猜他是被这两道看上去不知从何下手的题目吓住了。在紧张的考试中，有的同学把题读了一遍却理不出头绪，就迅速断定这道题目太难，自己做不出来，困在畏难情绪里。这种负面思维恰恰又会阻碍他们进一步正常思考，导致本来有机会解出的题目也轻易放弃。

当然，鹏飞在做这两道大题时没有思路，有很大可能是面对复杂难题时，对已知信息推理加工的能力不足。但就鹏飞的回忆和表述来看，他在价值决策上出现的问题也造成了很大的影响。由于当时畏难和不自信的情绪没有得到及时地调整，鹏飞在进行逻辑推理时受阻很大。同时，鹏飞演算的过程都写在了草稿纸上，导致卷面完全空白，解题的过程得分点一分也拿不到，这也体现出他应试策略上的不足。

图源：pexls

治疗过程

为了帮助鹏飞建立在面对难题时建构逻辑通道的意识和韧性，我决定在鹏飞的兴趣点上找个切入点，一起体验一番。

“鹏飞，我们先放下试卷，聊聊天吧。平时你有什么兴趣爱好呢？”

“嗯，我喜欢听歌、看**。”

“好啊，说说看，哪些**是你最喜欢的？”我也很喜欢**，而且**承载力巨大，可以是一个好的切入点。

“科幻类的吧！比如《哈利波特》系列，每一部**我都超喜欢，有几部反复看了好几次！”聊起喜欢的**，鹏飞皱着的眉头暂时舒展开来，眼睛也跟着亮了起来。

“在魔法世界里，你最喜欢哪个角色呢？”我接着追问道。

“里面好多角色我都很喜欢，比如哈利、斯内普教授、小天狼星。”

《哈利波特与魔法石》**海报

和鹏飞聊了几句**的情节，看到他的积极性已经被充分调动起来，我决定就在《哈利波特》中寻找一个合适的例子。

“霍格沃兹里发生了很多精彩的故事，比如《哈利波特与魔法石》里，斯内普教授的那堂魔法药水课就令我印象很深，你还记不记得这道药水的谜题？”我把从手机上搜到的这道题目的文字和，拿给鹏飞看。

“当然记得！但是当时看书时还真没有仔细地推敲。”鹏飞显得有些跃跃欲试，对着题目仔细地阅读起来。

中的桌子上有一排七个药水瓶，边上放着一纸卷轴，卷轴里写着有关这排药水的谜题：

危险在眼前，安全在后方

我们中间有两个是你的助手

把它们喝下去，一个引领你向前，另一个把你送回原来的地方

两个里面装的是荨麻酒

三瓶是毒药，他们是杀手，正排着队等候

选择吧！除非你希望就此耽搁：

第一，无论毒药怎样狡猾，其实他们都站在荨麻酒的左方；

第二，左右两端的瓶里的药水不同，如果你想前进，它们都不会对你产生作用；

第三，你会发现瓶子大小各不相等，在巨人和侏儒里面没有藏着死神；

第四，左边第二和右边第二，虽然模样不同，味道却是一样。

“那我们一起来推导一下，这七个瓶子里装的都是什么。鹏飞你现在有什么思路呢？”我趁热打铁道。

“宋老师，您就直接告诉我推理的方法吧！”鹏飞着急地说。

我笑了笑，看到鹏飞的积极性很高，显然领会到了我给他出这道题的用

意，于是引导说：“那我们就简单地分两步走，第一步把这七个瓶子从左至右依次标号①到⑦，第二步找寻已知之间的联系一步步向下推导。”

鹏飞边听着我的话，边在白纸上迅速地誊写推导起来。鹏飞每进行一步正确的推理，我都会在一旁微微点头或用眼神、话语表示肯定。这道题的背景信息较多，但条件之间的关系真正推导起来并不复杂，没几分钟，鹏飞就完成了这道趣味推理：

“Perfect!”鹏飞露出胜利的微笑，“这道题比起高中物理来说简单多了，一步步推就行嘛。”

“是吧，从已知条件到求解目标，原本是一个暗黑通道，但是只要我们梳理已知条件，找到关联性，并分步递进推理，就一定可以找到那条正确有效的逻辑通道。你说，一道复杂的物理题，背后的解题逻辑是不是也一样呢？”

“老师，我明白了。我马上再试一下难住我的这两道题。”鹏飞仿若顿悟，重新翻开物理卷子，标标画画起来，写着写着又踌躇停笔。

“有困难吗？”

“是的！考试的时候我做了40分钟也没做出来，根本不会！”

“如果我说你能做出来，你相信吗？”

“这样吧，你拿一张白纸，按我说的要求去做。我会问你一些问题，你直接回答我就行。”

接下来，我让鹏飞读完第一道大题的题干，把所有的已知条件列出来，然后根据这些已知条件去猜这道题的出题人可能要考什么原理。虽然有些茫然，但鹏飞还是在我的鼓励下将能想到的原理和公式一一列写了出来。接着我让鹏飞对比已知条件和原理公式，看看缺少哪些中间变量。最后再看题目求解目标，倒推只需知道哪些条件就可以得到结果。

鹏飞轻轻转动着手中的圆珠笔，再次进入思索和尝试，突然他喊道：“宋老师，我会了！”

我微笑着点点头，看着他先是逆推一步，而后正推了两步，最后终于打通了题目的逻辑通道，成功解出了这道大题。

“Perfect!”我欣慰地鼓励道。

回顾总结

考试中有许多表面上看起来很难的题目，其实只是在基本题型上做了一些变形，比如：把某个已知变成需要求解的未知，从而增加了一定难度，但内容上并没有超出知识大纲。如果解题时第一遍没有找到解题思路，那么正确的应对策略就应该是首先处理好自己的情绪变化，告诉自己这种情况属于考试中的正常现象，接着启动二次解题程序，进入规范解题步骤：列已知、猜原理、建逻辑通道。

其中，建立逻辑通道是解题的关键。如果学生在平时练习简单题时能够经常有意识地总结出常用的解题“逻辑通道”，在遇到难题时就可以灵活调用和嵌套这些“通道”储备，有目标地去搜寻所需条件、推理中间量，进而打通难题的“通道”，很多复杂问题都会迎刃而解。

鹏飞的物理基础其实并不差，之所以在两道大题上“空白甩题”，便是因为他缺乏进行二次解题的坚持意识和实用程序，而情绪又陷在第一次解题失败的苦恼中，价值决策没能帮助他做出正确的应对，以至于无法完成正确的逻辑通道建构。

因此，我结合他的看**兴趣，选择了一道哈利波特魔法主题的趣味推理，一方面调动鹏飞的积极性、放松他的心态，一方面让鹏飞跑一遍搭建“逻辑通道”的流程。这时，再回过头去看那两道他此前放弃的物理大题。

由于消极情绪得到了有效处理，鹏飞静下心来，按照建构逻辑通道的步骤要求，一步步理顺已知条件、原理公式和求解目标之间的关系，最终顺利完成了解题。

图源：pexls

其实，很多人误以为学霸是什么题都会做！

记得我当年高考的时候，经常遇到初看感觉很难的题目，但我不会放弃。因为我保持一种心理上的自我暗示，那就是这种处理难题的感觉又来了，上次我就是这样尝试，最终做出来的！

然后，我会规范列写已知条件（会做的题目就不必列写）；然后根据已知条件猜测可用原理，并罗列公式；再用原理公式将已知条件组合、串联起来，就能一步步搭建出解题的逻辑通道了。因此，做大题、难题觉得没有思路时，不要直接空着不做，而要按部就班列写已知条件、公式，并在此基础上完成逻辑通道建构过程。

当然，这背后还有一个重要的因素，那就是人脑的内存——工作记忆单元实际很少，只有7±2。因此，人脑很难在不动笔辅助的状态下，完成难题逻辑思考。

当我们把需要记住的已知信息和需要想着的公式原理列写出来后，就可以大大降低对大脑工作尤其是逻辑推理的强度要求，解题能力会得到大幅提升。即便最终没能求出正确答案，至少已经完成了很多步解题过程，可以获得相当一部分过程分，这本身也是一种正确的应试策略。

手记点睛

难题之难，关键在逻辑推理！每增加一个环节的推理过程，题目的难度就会增加甚至不止一分。要提高解决难题的能力，就要让学生学会由已知条件、原理公式和求解目标出发，来推导和建构逻辑通道的本领。

作者：宋少卫

文源：《学习治疗手记》

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编辑：张润昕

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来源：原点阅读

编辑：牧鱼

　　前苏联国家元首加里宁曾经说过：“数学是思维的体操。”而在当今的高中生数学解题中，依然出现很多这样的现象：反复地记忆、机械地模仿、公式的套用、盲目地尝试，解题很少上升到思维程度。思维得不到很好的锻炼，效率非常低下。下面总结了高中数学中常用的解题思路，希望对大家有所帮助。

一、利用归纳法找思路

1利用类比归纳找思路[WTBX]

例1已知01-a-b-c-d-e。

我们可以将题目类比与不等式相似的简单不等式(1-a)(1-b)=1-a-b+ab>1-a-b，(1-a)(1-b)(1-c)>(1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+ab+ac>1-a-b-c。

在这一类比的基础上还可以归纳出如下的一般不等式：如果01-a1-a2-…-an。

解后语：此题难在给出的式子的形式一下子让人难以直接找到思路，变更条件和结论，采用类比的思想设法从简单的例子的解法寻求同类的较难形式的解法，从而得到解题的思路。

2利用归纳推理找思路

例2已知数列{an}的第一项a1=1，且an+1=an1+an(n=1,2,3,…)，求这个数列的通项公式。

数列的通项公式表示的是数列的第n项an与序号n之间的对应关系。为此我们先根据已知的递推公式，得到a1=1,a2=12,a3=13,a4=14，观察可得数列的前4项都等于相应序号的倒数。由此猜想，这个数列的通项公式为an=1n，那么我们解题的思路就是可以尝试通过递推公式证明数列1an是等差数列，再进一步求数列的通项。

解后语：数列是一种特殊的函数，蕴涵了丰富的数学思想。给出数列的前几项和数列的递推关系式求通项公式，通常可以尝试根据数列的前几项和递推关系式写出数列的前几项，从中寻求数字的规律，寻求解题的思路。

二、利用数学思想方法找思路

1函数方程思想

例3已知关于x的方程3sin2x+2sinx+b=0有实根，求实数b的取值范围。

通常的思维活动往往定在寻求t的方程3t2+2t+b=0在\[-1，1\]内有1个或2个实根的条件。若能脱离固有的思维定式，把问题从方程的根转化为求函数b=-3sin2x-2sinx的值域，则方法大为简化，体现了思维的深刻性。

2函数不等式思想

例4m为何值时，不等式0≤x2+mx+5≤4恰好只有一个解？

分析：题中的二次三项式取值在\[0，4\]中，可以构造函数使问题转化为开口向上的抛物线y=x2+mx+5与直线y=4相切的条件问题。令y=f(x)=x2+mx+5，y=f(x)是开口向上的抛物线，若此抛物线的顶点(-m2,5-m24)在直线y=4的下方，则有不等式有无穷多解，若抛物线顶点在直线y=4的上方，则原不等式无解。当且仅当抛物线顶点落在直线y=4上，不等式恰好只有一个解，故5-m24=4，m=±2。

三、一般化或特殊化找思路

例5若O是△ABC所在平面内一点，满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，则点O是△ABC的（）。

（A）重心[WB]（B）垂心

（C）内心[DW]（D）外心

由于此题的答案与三角形的形状无关，我们不妨将三角形这一条件变为直角三角形。将结论代入判断即可。

四、从结构特征找思路

1从条件特征找思路

例6已知f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，f′(a)=f′(b)=1，求f′(c)的值。

此题看似简单，但解决起来并不容易，很多学生将三次函数式展开、求导、运算，但找不到字母之间的联系，导致解题陷入困境。若联想到题目为什么给出是三根的形式，为什么不给一般式，可能蕴涵某种寓意。我们求导时不要展开，而是写成

f′(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)，

从而有f′(a)=(a-b)(a-c)=1，[JY](1)

f′(b)=(b-c)(b-a)=1。[JY](2)

两式比较得到c=a+b2代入（1）或（2）先算得(a-b)再接着算(a-c)，(b-c)，从而求得f′(c)=(c-a)(c-b)=-12。

2从数字特点找思路

例7已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k(k=1，2，3，…)。（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）记f(n)=12sinnsinn+3，Tn=(-1)f(2)a1a2+(-1)f(3)a3a4+(-1)f(4)a5a6+…+(-1)f(n+1)a2n-1a2n。求证：16≤Tn≤524(n∈[WTHZ]N[WTBX])。

此题第三问形式比较吓人，而且入手难，如果观察一下结论，可以发现16和524出现得比较突兀，尝试一下Tn的前几项几可以得到T1=16，T2=524，从而找到了放缩的思路。

其实数学解题思维还有很多，如“运动变化”解题，“逆向思维解题”等，只有掌握了合理的思维方式，才能使思维的体操舞得更美！

（作者单位：浙江省天台县平桥中学）

一、知识要点

有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。

二、精讲精练

例题1一本文艺书，小明第一天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/5，还剩下48页，这本书共有多少页？

思路导航从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－3/5＝2/5。第一天看后还剩下48÷2/5＝120页，这120页占全书的1－1/3＝2/3，这本书共有120÷2/3＝180页。即

48÷（1－3/5）÷（1－1/3）＝180（页）

答：这本书共有180页。

练习1：

1、某班少先队员参加劳动，其中3/7的人打扫礼堂，剩下队员中的5/8打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？

2、一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的3/8，第二天走了余下的2/3，第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？

3、把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余下的2/5，丙拿走这时所剩的3/4，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？

例题2筑路队修一段路，第一天修了全长的1/5又100米，第二天修了余下的2/7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？

思路导航从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－2/7＝5/7，第一天修后还剩500÷5/7＝700米，如果第一天正好修全长的1/5，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－1/5＝4/5，这段路全长800÷4/5＝1000米。列式为：

500÷（1－2/7）+100÷（1－1/5）＝1000米

答：这段公路全长1000米。

练习2：

1、一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？

2、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的1/3又2公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？

3、一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了余下1/3少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？

例题3有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后，又从乙桶中倒出1/5给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？

思路导航从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出1/5给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－1/5）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出1/3给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－1/3）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。

甲：24×2－24÷（1－1/5）÷（1－1/3）＝27（千克）

乙：24×2－27＝21（千克）

答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。

练习3：

1、小华拿出自己的画片的1/5给小强，小强再从自己现有的画片中拿出1/4给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？

2、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出1/5给乙后，乙又拿出1/4给甲，这时他们各有90元，他们原来各有多少元？

3、一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？

例题4甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？

思路导航根据题意，由最后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与乙同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。

168÷3÷2＝28元

答：原来甲比乙多28元。

练习4：

1、甲、乙、丙三个班共有学生144人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？

2、甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？

3、甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？

例题5甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/4到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

思路导航解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运出1/4到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的1/2。

①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？

1/2÷（1－1/4）＝2/3

②甲仓库占两仓库和的几分之几？

1－2/3＝1/3

③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？

1/3÷（1－1/4）＝4/9

④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？

4÷（9－4）＝4/5

答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的4/5。

练习5：

1、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后，又从乙仓库运出1/3到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

2、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/5到乙仓库后，又从乙仓库运出1/4到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

3、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出1/3到乙仓库后，又从乙仓库运出2/5到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的9/10。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？

待定系数法，配方法，消元法，执果索因法，反证法，淘汰法，换元法，分类讨论法，数学归纳法，描点法，类比法，转换法，化归法，归纳法，概括法，猜想法，方程法，函数法，同一法，

求差法，求商法，求和法，求积法，整体代入法，降次法，图像法，坐标法，完全归纳法，

不完全归纳法，公式法，因式分解法。

定义法、配方法、待定系数法、换元法、反证法、数学归纳法、导数法、赋值法、消去法、定比分离法、比较法、分析法、综合法 ,还有很多桑

介里有几个比较详细的哈

一、换元法

“换元”的思想和方法,在数学中有着广泛的应用,灵活运用换元法解题,有助于数量关系明朗化,变繁为简,化难为易,给出简便、巧妙的解答

在解题过程中,把题中某一式子如f(x),作为新的变量y或者把题中某一变量如x,用新变量t的式子如g(t)替换,即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换,得到结构简单便于求解的新解题方法,通常称为换元法或变量代换法

用换元法解题,关键在于根据问题的结构特征,选择能以简驭繁,化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)就换元的具体形式而论,是多种多样的,常用的有有理式代换,根式代换,指数式代换,对数式代换,三角式代换,反三角式代换,复变量代换等,宜在解题实践中不断总结经验,掌握有关的技巧

例如,用于求解代数问题的三角代换,在具体设计时,宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数,使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式,建立变量间的内在联系只有全面考虑以上原则,才能谋取恰当的三角代换

换元法是一种重要的数学方法,在多项式的因式分解,代数式的化简计算,恒等式、条件等式或不等式的证明,方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解,函数表达式、定义域、值域或最值的推求,以及解析几何中的坐标替换,普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中,都有着广泛的应用

二、消元法

对于含有多个变数的问题,有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式）,通过适当的变形,消去一部分变数,使问题得以解决,这种解题方法,通常称为消元法,又称消去法

消元法是解方程组的基本方法,在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中,也有着重要的应用

用消元法解题,具有较强的技巧性,常常需要根据题目的特点,灵活选择合适的消元方法

三、待定系数法

按照一定规律,先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程）,其中含有若干尚待确定的未知系数的值,从而得到问题的解这种解题方法,通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数,称为待定系数

确定待定系数的值,有两种常用方法：比较系数法和特殊值法

四、判别式法

实系数一元二次方程

ax2+bx+c=0 (a≠0) ①

的判别式△=b2-4ac具有以下性质：

＞0,当且仅当方程①有两个不相等的实数根

△ ＝0,当且仅当方程①有两个相等的实数根；

＜0,当且仅当方程②没有实数根

对于二次函数

y=ax2+bx+c (a≠0)②

它的判别式△=b2-4ac具有以下性质：

＞0,当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；

△ ＝0,当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；

＜0,当且仅当抛物线②与x轴没有公共点

五、 分析法与综合法

分析法和综合法源于分析和综合,是思维方向相反的两种思考方法,在解题过程中具有十分重要的作用

在数学中,又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法,而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法通常把前者称为分析法,后者称为综合法

六、 数学模型法

例（哥尼斯堡七桥问题）18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河,这条河有两个支流,在城中心汇合后流入波罗的海市内办有七座各具特色的大桥,连接岛区和两岸每到傍晚或节假日,许多居民来这里散步,观赏美丽的风光年长日久,有人提出这样的问题：能否从某地出发,经过每一座桥一次且仅一次,然后返回出发地

数学模型法,是指把所考察的实际问题,进行数学抽象,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法

七、配方法

所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式通过配方解决数学问题的方法叫配方法其中,用的最多的是配成完全平方式配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它

八、因式分解法

因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等

九、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决

介里LL没有说很详细桑,内啥简便算法我也一起说了桑丶

乘法交换律,乘法分配律,加法交换律,加法结合律,乘法分配律,

推举

释义介绍，推荐。介绍好的人或事物希望被任用或接受。

推选

释义推举选任，推荐选用。是上级选下级。

如：“全班同学（ 推选）她参加数学竞赛。”“老师（推举）她为班长候选人。”