二次曲线与对偶二次曲线

二次曲线 （conic）又称圆锥曲线，包含3种基础类型： 抛物线（parabola）、椭圆（ellipse）、双曲线（hyperbola） ，而圆（circle）是椭圆的特例。在几何上，二次曲线可以定义为一个平面与两个顶点相对的圆锥的交线，如下图所示：

对于二维点 ，任意二次曲线可以用如下等式来描述：

在齐次坐标系中，对于二维点 ，二次曲线表达式为：

写成矩阵形式为：

其中 是二次曲线的系数矩阵：

二次曲线退化的充要条件是其参数矩阵 非满秩。对于一个非退化二次曲线，如何判别它是椭圆、抛物线，还是双曲线呢？

考虑无穷远线 上任意无穷远点 ，带入式(2)：

从而解得：

当 时，方程(5)有两个不等实根，二次曲线与无穷远线有两个交点，为双曲线；

当 时，方程(5)有两个相等实根，二次曲线与无穷远线有一个切点，为抛物线；

当 时，方程(5)有两个共轭虚根，二次曲线与无穷远线没有交点，为椭圆。

因此， 被称为二次曲线的判别式（discriminant）。

式(3)基于曲线上的点来定义二次曲线，基于曲线的切线也可以定义同一个二次曲线，称为 对偶二次曲线 ，如下图b所示。

其中， 是二次曲线的切线， 是式(3)中 的伴随矩阵，有时 会用 的逆矩阵 来代替。

对于任意直线 和二次曲线 ，点 叫做直线 关于该二次曲线的极点（pole），同时直线 叫做点 的极线（polar）。显然，当点 在曲线上时， ，即 二次曲线上任意点的极线是过该点的切线 。

构造一个点的极线常用的方法是：过该点作二次曲线的两条切线，则两个切点的连线就是该点的极线。

如果一个点无法找到切线（椭圆内部的点），可以用如下方法构造极线：

上图中点 J 的极线是 HI，点 H 的极线是 JI。

针对椭圆有：

飞机的飞行高度一般是多少

民航飞机的飞行高度层

中型以上的民航飞机都在高空飞行，此处的高空是指海拔7000——12000米的空间。在这个空间以1千米为1个高度层，共分为6个高度层：7千米、8千米、9千米、1万米、1万1千米和1万2千米。高空飞行的飞机只允许飞以上给定高空。

另外，民航飞机在飞行时，以正南正北方向为零度界限，凡航向偏右（偏东）的飞机飞双数高层，即8千米、1万米、1万2千米高度层；凡航向偏左（偏西）的飞机飞单数高度层，即7千米、9千米、1万1千米高度层。

例如：民航飞机从北京飞往杭州，杭州位于北京南面偏东方向，飞机段飞双数高度层，回程则飞单数高度层。又如飞机从沈阳飞往杭州，杭州在沈阳的南面偏西方向飞机须飞单数高度层，回程则飞双数层。这样，相向飞行的飞机不在同一空高，避免了相撞。

一万米左右

同步卫星的高度都为36000km

不在这个高度的为非同步卫星

飞机的飞行高度和飞行速度一般是多少

一般而言，民航飞机的巡航速度在800-900公里/小时左右，最大可以到1000公里，着陆时的时速在230公里左右。飞机的飞行高度差异很大，从8000多米到12000都有，飞机都是根据所飞航线的指定高度飞行的。

希望有帮助

一般而言,民航飞机的巡航速度在800-900公里/小时左右,最大可以到1000公里,着陆时的时速在230公里左右飞机的飞行高度差异很大,从8000多米到12000都有,飞机都是根据所飞航线的指定高度飞行的

飞机的飞行高度一般上多少

楼上瞎掰

首先高空的分类是6000米以上

现在高度层都是300米一间隔,而且不是海拔高度,是标准气压高度,和海拔高度完全不是一个概念

换句话说一般巡航的高度层会用8700 9000 9300 9600 9900 10200一次类推

一般来说巡航高度在11000米左右飞机最省油

然后航线的高度配备是东单西双的原则,所谓的单和双,就是把所用的高度层的最后两个0去掉后的那个数字的奇偶

我就是飞行员,还有什么问题可以问我

名航飞机的一般飞行高度是多少？

普通喷气式客机一般飞行高度是在一万米，短途的支线飞机或涡轮螺旋桨飞机几千米不等。

客运飞机的飞行高度一般为多少米到多少米？

民航客机都属于jet型别，一般飞行高度都在25,000 feet以上，25000以上空气压强很小，温度很低，空气稀薄，如果在这样的高空上开启机舱门，仓内所有东西都会因为压力作用被吸出机舱。根本不可能跳伞。飞机在飞行过程中发生紧急事故的情况极低，绝大部分事故发生在起飞、降落短暂的13分钟内，这时候高度太低，出事了也不可能来得及引导所有乘客跳伞。

普通飞机的飞行高度是多少

中型以上的民航飞机都在高空飞行，此处的高空是指海拔7000——12000米的空间。在这个空间以1千米为1个高度层，共分为6个高度层：7千米、8千米、9千米、1万米、1万1千米和1万2千米。高空飞行的飞机只允许飞以上给定高空。

另外，民航飞机在飞行时，以正南正北方向为零度界限，凡航向偏右（偏东）的飞机飞双数高层，即8千米、1万米、1万2千米高度层；凡航向偏左（偏西）的飞机飞单数高度层，即7千米、9千米、1万1千米高度层。

例如：民航飞机从北京飞往杭州，杭州位于北京南面偏东方向，飞机段飞双数高度层，回程则飞单数高度层。又如飞机从沈阳飞往杭州，杭州在沈阳的南面偏西方向飞机须飞单数高度层，回程则飞双数层。这样，相向飞行的飞机不在同一空高，避免了相撞。

太空梭的飞行高度是多少

首先，第一个，太空梭其实不是飞机，别看它有个飞机模样，因为它在大气层内，根本飞不起来，而着陆完全是靠滑翔。所以英语，太空梭也不是叫啥aircraft，是叫space shuttle，其中shuttle是指那种穿梭往返两地的交通工具，所以香港和台湾人翻译的太空梭更准确些。

之所以说这个，是因为既然它不是飞机，那自然衡量它的高度就不能按照衡量一般飞机的方法来算，我们有人问卫星会飞多高吗？

太空梭可以执行三类轨道运输任务：近地轨道LEO、极轨道Polar Orbit和地球同步转移轨道GTO；

三者对应的高度分别是：

近地轨道，2000公里以下圆形轨道；

极轨道，通过地球两极，高度约1000公里；

地球同步转移轨道，近地点在1000公里以下、远地点为地球同步轨道高度36000公里的椭圆轨道。

当然最后一条地球同步转移轨道，并不是说太空梭能飞到36000公里那么远，它只需要在近地点释放卫星就可以了。

太空梭的飞行高度是多少啊？

太空梭的轨道高度一般在200公里左右,具体情况由任务决定。

坐标系，是理科常用辅助方法。常见有直线坐标系，平面直角坐标系。为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等，必须选取其坐标系。在参照系中，为确定空间一点的位置，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”。在某一问题中规定坐标的方法，就是该问题所用的坐标系。

坐标系的种类很多，常用的坐标系有：笛卡尔直角坐标系、平面极坐标系、柱面坐标系（或称柱坐标系）和球面坐标系(或称球坐标系)等。中学物理学中常用的坐标系，为直角坐标系，或称为正交坐标系。

从广义上讲：事物的一切抽象概念都是参照于其所属的坐标系存在的，同一个事物在不同的坐标系中就会有不同抽象概念来表示，坐标系表达的事物有联系的抽象概念的数量既坐标轴的数量就是该事物所处空间的维度。

两件能相互改变的事物必须在同坐标系中。

中文名

坐标系

外文名

Coordinate system

目的

说明质点的位置运动的快慢、方向

常见

直线坐标系，平面直角坐标系

发明人

笛卡尔

快速

导航

来源

方向确定

应用

类型

西安北京

概念

坐标系是理科常用辅助方法。如果物体沿直线运动，为了定量描述物体的位置变化，可以以这条直线为x轴，在直线上规定原点、正方向和单位长度，建立直线坐标系。一般来说，为了定量地描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系（coordinate system）。[1]

坐标系可分为：

直线坐标系：物体在一条直线上运动，只需建立直线坐标系。

平面直角坐标系：物体在某一平面内运动。

来源

有一天，笛卡尔（1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。

蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如321，也可以用空间中的一个点 P来表示它们（如图 1）。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示（如图2）。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。

无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人。这个有趣的传说，就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖改进了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感。

图2

直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究。

笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支——解析几何。他的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特性的点组成的。比如，我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点O的距离相等的点组成的。我们把点看作是组成图形的基本元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和数挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩。

方向确定

1Z坐标

Z坐标的运动方向是由传递切削动力的主轴所决定的，即平行于主轴轴线的坐标轴即为Z坐标，Z坐标的正向为刀具离开工件的方向。

坐标系

如果机床上有几个主轴，则选一个垂直于工件装夹平面的主轴方向为Z坐标方向；如果主轴能够摆动，则选垂直于工件装夹平面的方向为Z坐标方向；如果机床无主轴，则选垂直于工件装夹平面的方向为Z坐标方向。图3 所示为数控车床的Z坐标。

2X坐标

X坐标平行于工件的装夹平面，一般在水平面内。

如果工件做旋转运动，则刀具离开工件的方向为X坐标的正方向；

如果刀具做旋转运动，则分为两种情况：

1)Z坐标水平时，观察者沿刀具主轴向工件看时，+X运动方向指向右方；

2)Z坐标垂直时，观察者面对刀具主轴向立柱看时，+X运动方向指向右方。

图4所示为数控车床的X坐标。

3Y坐标

在确定X、Z坐标的正方向后，可以用根据X和Z坐标的方向，按照右手直角坐标系来确定Y坐标的方向。

坐标系

图5所示为数控车床的Y坐标。

根据图4所示的数控立式铣床结构图，试确定X、Y、Z直线坐标。

(1)Z坐标：平行于主轴，刀具离开工件的方向为正。

(2)X坐标：Z坐标垂直，且刀具旋转，所以面对刀具主轴向立柱方向看，向右为正。

(3)Y坐标：在Z、X坐标确定后，用右手直角坐标系来确定。

应用

把图形看成点的运动轨迹，这个想法很重要！它从指导思想上，改变了传统的几何方法。笛卡尔根据自己的这个想法，在《几何学》中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和代数挂钩的解析几何。在解析几何中，动点的坐标就成了变数，这是数学第一次引进变数。

坐标系

恩格斯高度评价笛卡尔的工作，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。”

坐标方法在日常生活中用得很多。例如象棋、国际象棋中棋子的定位；**院、剧院、体育馆的看台、火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念。

随着同学们知识的不断增加，坐标方法的应用会更加广泛。

数控

数控机床的加工是由程序控制完成的，所以坐标系的确定与使用非常重要。根据ISO841标准，数控机床坐标系用右手笛卡儿坐标系作为标准确定。数控车床平行于主轴方向即纵向为Z轴，垂直于主轴方向即横向为X轴，刀具远离工件方向为正向。

坐标系

数控车床有三个坐标系即机械坐标系、编程坐标系和工件坐标系。

1机械坐标系的原点是生产厂家在制造机床时的固定坐标系原点，也称机械零点。它是在机床装配、调试时已经确定下来的，是机床加工的基准点。在使用中机械坐标系是由参考点来确定的，机床系统启动后，进行返回参考点操作，机械坐标系就建立了。坐标系一经建立，只要不切断电源，坐标系就不会变化。

2编程坐标系是编程序时使用的坐标系，一般把我们把Z轴与工件轴线重合，X轴放在工件端面上。工件坐标系是机床进行加工时使用的坐标系，它应该与编程坐标系一致。能否让编程坐标系与工坐标系一致，是操作的关键。

在使用中我们发现，FANUC系统与航天数控系统的机械坐标系确定基本相同，都是在系统启动后回参考点确定。 工件坐标系

3工件坐标系（ Workpiece Coordinate System ）固定于工件上的笛卡尔坐标系，是编程人员在编制程序时用来确定刀具和程序起点的，该坐标系的原点可使用人员根据具体情况确定，但坐标轴的方向应与机床坐标系一致并且与之有确定的尺寸关系。

机床

1机床相对运动的规定

工件相对静止，而刀具运动。在机床上，始终认为工件静止，而刀具是运动的。这样编程人员在不考虑机床上工件与刀具具体运动的情况下，就可以依据零件图样，确定机床的加工过程。

坐标系

2机床坐标系的规定

在数控机床上，机床的动作是由数控装置来控制的，为了确定数控机床上的成形运动和辅助运动，必须先确定机床上运动的位移和运动的方向，这就需要通过坐标系来实现，这个坐标系被称之为机床坐标系。

例如铣床上，有机床的纵向运动、横向运动以及垂向运动，如图1所示。在数控加工中就应该用机床坐标系来描述，如图2所示。请按图2中按钮观察机床坐标系的相互关系。

标准机床坐标系中X、Y、Z坐标轴的相互关系用右手笛卡尔直角坐标系决定：1)伸出右手的大拇指、食指和中指，并互为90度。则大拇指代表X坐标，食指代表Y坐标，中指代表Z坐标。

坐标系

2)大拇指的指向为X坐标的正方向，食指的指向为Y坐标的正方向，中指的指向为Z坐标的正方向。

3)围绕X、Y、Z坐标旋转的旋转坐标分别用A、B、C表示，根据右手螺旋定则，大拇指的指向为X、Y、Z坐标中任意一轴的正向，则其余四指的旋转方向即为旋转坐标A、B、C的正向。

请按图3中按钮观察机床运动的方向

（3）运动方向的规定

增大刀具与工件距离的方向即为各坐标轴的正方向。

编程

编程坐标系编程人员根据零件图样及加工工艺等建立的坐标系。

编程坐标系一般供编程使用，确定编程坐标系时不必考虑工件毛坯在机床上的实际装夹位置。如图6所示。

编程原点是根据加工零件图样及加工工艺要求选定的编程坐标系的原点。

编程原点应尽量选择在零件的设计基准或工艺基准上，编程坐标系中各轴的方向应该与所使用的数控机床相应的坐标轴方向一致，如图7所示为车削零件的编程原点。

加工

1加工坐标系的确定

加工坐标系是指以确定的加工原点为基准所建立的坐标系。

加工原点也称为程序原点，是指零件被装夹好后，相应的编程原点在机床坐标系中的位置。

坐标系

在加工过程中，数控机床是按照工件装夹好后所确定的加工原点位置和程序要求进行加工的。编程人员在编制程序时，只要根据零件图样就可以选定编程原点、建立编程坐标系、计算坐标数值，而不必考虑工件毛坯装夹的实际位置。

对于加工人员来说，则应在装夹工件、调试程序时，将编程原点转换为加工原点，并确定加工原点的位置，在数控系统中给予设定（即给出原点设定值），设定加工坐标系后就可根据刀具当前位置，确定刀具起始点的坐标值。在加工时，工件各尺寸的坐标值都是相对于加工原点而言的，这样数控机床才能按照准确的加工坐标系位置开始加工。图8中O2为编程原点。

2加工坐标系的设定

方法一：在机床坐标系中直接设定加工原点。

（1）加工坐标系的选择

编程原点设置在工件轴心线与工件底端面的交点上。

设工作台工作面尺寸为800mm×320mm，若工件装夹在接近工作台中间处，则确定了加工坐标系的位置，其加工原点03就在距机床原点O1为X3Y3Z3处。并且X3=-345700mm, Y3=-19622mm, Z3=-53165mm。

坐标系

（2）设定加工坐标系指令

1）G54～G59为设定加工坐标系指令。G54对应一号工件坐标系，其余以此类推。可在MDI 方式的参数设置页面中，设定加工坐标系。如对已选定的加工原点O3，将其坐标值

X3= -345700mm

Y3= -196220mm

Z3=-53165mm

设在G54中，如图10所示。则表明在数控系统中设定了一号工件加工坐标。设置页面如图10。

2）G54～G59在加工程序中出现时，即选择了相应的加工坐标系。

方法二：通过刀具起始点来设定加工坐标系。

（1）加工坐标系的选择

加工坐标系的原点可设定在相对于刀具起始点的某一符合加工要求的空间点上。

应注意的是，当机床开机回参考点之后，无论刀具运动到哪一点，数控系统对其位置都是已知的。也就是说，刀具起始点是一个已知点。

（2）设定加工坐标系指令

G92为设定加工坐标系指令。在程序中出现G92程序段时，即通过刀具当前所在位置即刀具起始点来设定加工坐标系。G92指令的编程格式：G92 X a Y b Z c

坐标系

该程序段运行后，就根据刀具起始点设定了加工原点，如图11所示。

从图11中可看出，用G92设置加工坐标系，也可看作是：在加工坐标系中，确定刀具起始点的坐标值，并将该坐标值写入G92编程格式中。

例题：在图5中，当a=50mm,b=50mm,c=10mm时，试用G92指令设定加工坐标系。

设定程序段为 G92 X50 Y50 Z10。

机床加工

1数控铣床（FANUC 0M）加工坐标系的设定步骤

在选择了图12所示的被加工零件图样，并确定了编程原点位置后，可按以下方法进行加工坐标系设定：

坐标系

（1）准备工作

机床回参考点，确认机床坐标系；

（2）装夹工件毛坯

通过夹具使零件定位，并使工件定位基准面与机床运动方向一致；

（3）对刀测量

用简易对刀法测量，方法如下：

用直径为φ10的标准测量棒、塞尺对刀，得到测量值为X = -437726, Y = -298160,如图2所示。Z = -31833，如图13所示。

（4）计算设定值

将前面已测得的各项数据，按设定要求运算。

X坐标设定值：X= -437726+5+01+40= -392626mm

注：如图13所示。

-437726mm为X坐标显示值；

+5mm为测量棒半径值；

+01mm为塞尺厚度；

+400为编程原点到工件定位基准面在X坐标方向的距离。

Y坐标设定值：Y= -298160+5+01+465= -24646mm

注：如图2所示，-298160mm为坐标显示值；+5mm为测量棒半径值；+01mm为塞尺厚度；+465为编程原点到工件定位基准面在Y坐标方向的距离。Z坐标设定值：Z= -31833-02=-32033mm。

坐标系

注：-31833为坐标显示值；-02为塞尺厚度,如图3所示。

通过计算结果为：X -392626；Y -246460；Z -32033

（5）设定加工坐标系

将开关放在 MDI 方式下，进入加工坐标系设定页面。输入数据为：

X= -392626 Y= -246460 Z= -32033

表示加工原点设置在机床坐标系的X= -392626 Y= -246460 Z= -32033 的位置上。

（6）校对设定值

对于初学者，在进行了加工原点的设定后，应进一步校对设定值，以保证参数的正确性。

校对工作的具体过程如下：在设定了G54加工坐标系后，再进行回机床参考点操作，其显示值为

X +392626

Y +246460

Z +32033

这说明在设定了G54加工坐标系后，机床原点在加工坐标系中的位置为：

X +392626

Y +246460

Z +32033

这反过来也说明G54的设定值是正确的。

2注意事项

（1）G54～G59设置加工坐标系的方法是一样的，但在实际情况下，机床厂家为了用户的不同需要，在使用中有以下区别：利用G54设置机床原点的情况下，进行回参考点操作时机床坐标值显示为G54的设定值，且符号均为正；利用G55～G59设置加工坐标系的情况下，进行回参考点操作时机床坐标值显示零值。

（2）G92指令与G54～G59指令都是用于设定工件加工坐标系的，但在使用中是有区别的。G92指令是通过程序来设定、选用加工坐标系的，它所设定的加工坐标系原点与当前刀具所在的位置有关，这一加工原点在机床坐标系中的位置是随当前刀具位置的不同而改变的。

（3）G54～G59指令是通过MDI在设置参数方式下设定工件加工坐标系的，一旦设定，加工原点在机床坐标系中的位置是不变的，它与刀具的当前位置无关，除非再通过MDI 方式修改。

（4）本课程所例加工坐标系的设置方法，仅是FANUC系统中常用的方法之一，其余不一一例举。其它数控系统的设置方法应按随机说明书执行。

3常见错误

当执行程序段G92 X 10 Y 10时，常会认为是刀具在运行程序后到达X 10 Y 10 点上。其实， G92指令程序段只是设定加工坐标系，并不产生任何动作，这时刀具已在加工坐标系中的 X10 Y10点上。

G54～G59指令程序段可以和G00、G01指令组合，如G54 G90 G01 X 10 Y10时，运动部件在选定的加工坐标系中进行移动。 程序段运行后，无论刀具当前点在哪里，它都会移动到加工坐标系中的X 10 Y 10 点上。

类型

极坐标系

在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。

极坐标系

极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果(ρ，θ)是一个点的极坐标 ，那么(ρ，θ+2nπ)，(-ρ，θ+(2n+1)π)，都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r 等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。

极坐标系到直角坐标系的转化：

x=ρcosθ

y=ρsinθ在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换　极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° (π/2 radians)；若 y 为负，则 θ = 270° (3π/2 radians)

极坐标的方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。

圆

方程为r(θ) = 1的圆。

在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为

该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。

直线

经过极点的射线由如下方程表示θ=φ

,其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。 这些在点处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为

玫瑰线

一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线。

极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：

r(θ)=a cos kθ

r(θ)=a sin kθ

OR如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线

方程 r(θ) = θ (0 < θ < 6π)的一条阿基米德螺线。

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r(θ)=a+bθ

改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

圆锥曲线

椭圆，展示了半正焦弦

圆锥曲线方程如下：

其中l表示半正焦弦，e表示离心率。 如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。

其他曲线

由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（笛卡尔形式）简单得多。

球坐标系

球坐标是一种三维坐标。分别有原点、方位角、仰角、距离构成。

球坐标系

设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段在坐标平面xoy的投影所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为

r∈[0,+∞),

φ∈[0, 2π],

θ∈[0, π]

当r,θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：

r = 常数，即以原点为心的球面；

θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；

φ= 常数，即过z轴的半平面。

与直角坐标系的转换:

1)球坐标系(r,θ，φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

2)反之，直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ，φ)的转换关系为：

；

φ= arctan()；

θ= arccos(z/r);

球坐标系下的微分关系：

在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：

dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ， dl(φ)=rsinθdφ

球坐标的面元面积是：

dS=dl(θ) dl(φ)=r^2sinθdθdφ

体积元的体积为：

dV=dl(r)dl(θ)dl(φ)=r^2sinθdrdθdφ

球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用在测量实践中，球坐标中的θ角称为被测点P（r，θ，φ）的方位角，90°-θ成为高低角。

柱坐标系

柱坐标系中的三个坐标变量是 r、φ、z。与直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z变量。

各变量的变化范围是：

r∈[0,+∞),

φ∈[0, 2π],

z∈R

其中

x=rcosφ

y=rsinφ

z=z[2]

西安北京

西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换作为这种转换在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密，因此不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。那么，两个椭球间的坐标转换，一般而言比较严密的是用七参数布尔莎模型，即 X 平移， Y 平移， Z 平移， X 旋转（WX）， Y 旋转（WY）， Z 旋转（WZ），尺度变化（DM ）。

要求得七参数就需要在一个地区需要 3 个以上的已知点。如果区域范围不大， 最远点间的距离不大于 30Km（ 经验值 ） ，这可以用三参数，即 X 平移， Y 平移， Z 平移，而将 X 旋转， Y 旋转， Z 旋转，尺度变化面DM视为 0 。

方法如下（MAPGIS平台中）：

第一步：向地方测绘局（或其它地方）找本区域三个公共点坐标对（即54坐标x，y，z和80坐标x，y，z）；第二步：将三个点的坐标对全部转换以弧度为单位。（菜单：投影转换/输入单点投影转换，计算出这三个点的弧度值并记录下来）第三步：求公共点求操作系数（菜单：投影转换/坐标系转换）。如果求出转换系数后，记录下来。第四步：编辑坐标转换系数。（菜单：投影转换/编辑坐标转换系数。）最后进行投影变换，“当前投影”输入80坐标系参数，“目的投影”输入54坐标系参数。进行转换时系统会自动调用曾编辑过的坐标转换系数。

关于极坐标的有关知识？以及摆线函数

请教数学高手

回答:

极坐标系(polar coordinates)

https://gss0baiducom/70cFfyinKgQFm2e88IuM_a/baike/pic/item/62667cd005d7b79ca1ec9c4djpg

在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ＜2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标 ，那么（ρ，θ＋2nπ），（－ρ，θ＋（2n＋1）π），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r 等速螺线的方程为。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥截线，可以用一个统一的极坐标方程表示。

极坐标系到直角坐标系的转化：

x=ρcosθ

y=ρsinθ

直角坐标系到极坐标系的转换：

长度可直接求出：ρ=sqrt(x^2+y^2)

角度需要分段求出，即判断x，y值求解。

如果ρ=0，则角度θ为任意，也有函数定义θ=0；

如果ρ>0，则：

｛令ang=acin(y/ρ)

如果 y=0,x>0,则，θ=0；

如果 y=0,x<0,则，θ=π；

如果 y>0,则，θ=ang；

如果y<0，则：θ=2π-ang；

｝

摆线(cycloid)

点击下图查看动画

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摆线的定义

摆线是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．

摆线别称及原因

一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹。又称旋轮线。圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。 再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。

摆线的性质

到17 世纪，人们发现摆线具有如下性质：

1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍．尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于π的有理数．

2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍．

3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的．

4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部

摆线的出现及争议

摆线最早出现可见于公元 1501 年出版的 C·鲍威尔的一本书中．但在 17 世 纪，大批卓越的数学家（如伽利略，帕斯卡，托里拆利，笛卡儿，费尔马， 伍任，瓦里斯，惠更斯，约翰·伯努里，莱布尼兹，牛顿等等）热心于研究这一曲线的性质．17 世纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代，这能 解释人们为什么对摆线怀有强烈的兴趣．在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，剽窃的指责，以及抹煞他人工作的现象．这 样，作为一种结果，摆线被贴上了引发争议的“金苹果”和“几何的海伦” 的标签．

摆线的相关故事

时钟与摆线

时钟已变成现代人不可或少的必备工具之一,没有时钟,人们将不知时间,许多重要的约会便会错过,当各位在看表的时候,不知可曾想过,时钟里面隐藏了些甚么道理,一砂一世界,许多我们视为理所当然的事都是先民流血流汗一点一滴累积而成的

在时钟里面到底隐藏了甚么东西 将这些理论写出来可是厚厚的一大本呢!回想以前的中世纪航海时代,时间的掌握是关乎全船人生命安危的大事,想要和大海搏斗,时间是不可或缺的因数,古时候是以沙漏水钟来计时,但这些计时工具相当不准确,为了增加船员生存的机会,发明精确的计时器变成了当时科学界的当务之急

那时在意大利有一位年青科学家伽利略,有一次在比萨斜塔处意外地发现一个有趣的现象,教堂的吊灯来回摆动时,不管摆动的幅度大还是小,每摆动一次用的时间都相等当时,他是以自己的心跳脉搏来计算时间的从此以后,伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来他曾用自行制的滴漏来重新做单摆的试验,结果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关这个现象使伽利略想到或许可以利用单摆来制作精确的时钟,但他始终并没有将理想付之实行

伽利略的发现振奋了科学界,可是不久便发现单摆的摆动周期也不完全相等原来,伽利略的观察和实验还不够精确实际上,摆的摆幅愈大,摆动周期就愈长,只不过这种周期的变化是很小的所以,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈走愈快

过了不久,荷兰科学家决定要做出一个精确的时钟来伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,所以我们也叫做圆周摆荷兰科学家想要找出一条曲线,使摆沿著这样的曲线摆动时,摆动周期完全与摆幅无关这群科学家放弃了物理实验,纯粹往数学曲线上去研究,经过不少次的失败,这样的曲线终於找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”，“等时曲线”或“旋轮线”

如果你用硬纸板剪一个圆,在圆的边缘固定一枝铅笔,当这圆沿一条直线滚动时,铅笔便会画出一条摆线来相信这样的玩具许多人都已经看过玩过,以前的街上,常会看到街边小贩再兜售这种摆线玩具,许多人赞叹摆线的美丽,但却不知摆线与时钟的相关性钟表店里面那些有钟摆的时钟,都是利用摆线性质制作出来的由于摆线的发现,使的精确时钟的制作不是梦想这也使人类科技向前迈进一大步

行星摆线传动机构的基本原理

摆线针轮行星传动中，摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。这种摆线曲线的生成原理如词条图所示。

有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基园内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。

由以上摆线生成的几何关系 若仍保持以上的内切滚动关系，将基圆和摆线视为刚体相对于发生圆运动，则形成了摆线图形相对发生圆圆心Op作行星方式的运动，这就是行星摆线传动机构的基本原理。

PS :摆线方程

x=a(t-sint)

y=a(1-cost)

摆线最为最速曲线，只有在你学习了高等数学之后才能更好的理解它，接受它

极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

历史

主条目：三角函数的历史

众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。

关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。格雷瓜·德·圣-万桑特 和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。

在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》(en:Method of Fluxions)一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。

实际上应用“极坐标”en:Polar coordinate system这个术语的是由格雷古廖·丰塔纳开始的，并且被18世纪的意大利数学家所使用。该术语是由乔治·皮科克在1816年翻译拉克鲁瓦克斯的《微分学与积分学》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一书时，被翻译为英语的。

阿勒克西斯·谢罗特和莱昂哈德·欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家。

在极坐标系中表示点

点(3,60°) 和 点(4,210°)

点(3,60°) 和 点(4,210°)

正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r(半径坐标)和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。[6]

比如，极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(�6�13,240°) 和(3,60°)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° �6�1 180° = 60°)。

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点(r, θ)可以任意表示为(r, θ ± n×360°)或(�6�1r, θ ± (2n + 1)180°)，这里n是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

[编辑] 使用弧度单位

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。[8]

[编辑] 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换

极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值

x = r \cos \theta \,

y = r \sin \theta \,

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标

r = \sqrt{x^2 + y^2} \,

\theta = \arctan \frac{y}{x}\qquad x \ne 0 \,

[9]在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° (π/2 radians); 若 y 为负, 则 θ = 270° (3π/2 radians)

[编辑] 极坐标方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(�6�1θ) = r(θ)，则曲线关于极点(0°/180°)对称，如果r(π�6�1θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称，如果r(θ�6�1α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。[9]

[编辑] 圆

方程为r(θ) = 1的圆。

方程为r(θ) = 1的圆。

在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为

r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2

该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程

r(\theta)=a \,

表示一个以极点为中心半径为a的圆。[10]

[编辑] 直线

经过极点的射线由如下方程表示

\theta = \varphi \,,

其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。[11] 这些在点(r0, φ)处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为

r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,

[编辑] 玫瑰线

一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线

一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线

极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：

r(\theta) = a \cos k\theta \, OR

r(\theta) = a \sin k\theta \,

如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘(disc)状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

[编辑] 阿基米德螺线

方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线

方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:

r(\theta) = a+b\theta \,

改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

[编辑] 圆锥曲线

Ellipse, showing semi-latus rectum

Ellipse, showing semi-latus rectum

圆锥曲线方程如下：

r = {l\over (1 + e \cos \theta)}

其中l表示半径，e表示离心率。 如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。

[编辑] 其他曲线

由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系(笛卡尔形式)简单得多。比如lemniscates, en:lima�0�4ons, and en:cardioids。

应用

[编辑] 行星运动的开普勒定律

开普勒第二定律

开普勒第二定律

另见：开普勒行星运动定律

极坐标提供了一个表达开普拉行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。 开普勒第二定律，即等域定律，认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的，即d\mathbf{A}\over dt是常量。这些等式可由牛顿运动定律推得。在开普勒行星运动定律中有相关运用极坐标的详细推导。

如图1，卫星并不是按正圆的轨迹运行。卫星轨道近似椭圆型的运行轨道。我们称它为开普勒椭圆轨道。 根据卫星运行的高度，卫星轨道分为：

1、低轨道：卫星飞行高度小于1000公里；

2、中高轨道：卫星飞行高度在1000公里到20000公里之间；

3、高轨道：卫星飞行高度大于20000公里。 根据卫星运行轨迹的偏心率，卫星轨道分为：

1、圆轨道：偏心率等于0；

2、近圆轨道：偏心率小于01；

3、椭圆轨道：偏心率大于01，而小于1 根据卫星运行轨迹的倾角，卫星轨道分为：

1、赤道轨道：倾角等于0或180；

2、极地轨道：倾角等于90；

3、倾斜轨道：倾角不等于90、0或180

还有，如果卫星轨道的周期与地球自转周期相同，卫星运行的方向也和地球自转的方向一致。这样的卫星轨道我们称它为地球同步轨道。如果该轨道的倾角为零，又是圆轨道时，我们就可以称之为地球静止轨道了。

如果卫星运行的方向和地球公转的方向一致，旋转的角速度也等于地球公转的角速度，这样的卫星轨道我们称之为太阳同步轨道。

人造地球卫星轨道按离地面的高度，可分为低轨道、中轨道和高轨道；按形状分可分为圆轨道和椭圆轨道；按飞行方向分可分为顺行轨道（与地球自转方向相同）、逆行轨道（与地球自转方向相反）、赤道轨道（在赤道上空绕地球飞行）和极轨道（经过地球南北极上空）。人造地球卫星还有以下几种特殊轨道。 概述

停泊轨道(parking orbit)　航天器为了转移到另一条轨道去而暂时停留的椭圆（圆）轨道，又称驻留轨道。

分类

停泊轨道按中心体不同分为地球停泊轨道、月球停泊轨道和行星停泊轨道。地球停泊轨道是发射月球探测器、登月载人飞船、空间探测器和离地球较远的人造地球卫星（如静止卫星）的一个阶段，用于选择进入过渡轨道的入轨点，以弥补地面发射场地理位置固定的缺点，满足过渡轨道的要求。月球和行星停泊轨道用于选择进入轨道的起点，以保证航天器降落在天体表面的指定地区。对于返回地球的航天器，同样可以选择返回轨道的起点，以保证航天器能够准确进入再入走廊。此外，安排停泊轨道还为飞往新轨道之前提供最后全面检查航天器各系统可靠性的机会。 回归轨道(recursive orbit)

星下点轨迹周期性出现重叠现象的人造地球卫星轨道。重叠出现的周期称为回归周期。工程中回归周期的大小根据卫星的使命确定。同一个回归周期对应有很多条轨道。如回归周期为一天时，运行的轨道周期可近似为24小时、8小时……，从中可以选出合适的运行周期以满足卫星使命的要求。在回归轨道上运行的卫星，每经过一个回归周期，卫星重新依次经过各地上空。这样可以对卫星覆盖的区域进行动态监视，借以发现这一段时间内目标的变化。在轨道设计中，回归轨道仅限制轨道运行周期，若再选择其他参数，可设计出太阳同步回归轨道。这样的轨道兼有太阳同步轨道和回归轨道的特性。选择合适的发射时间，可使卫星在经过某些地区时这些地区有较好的光照条件。以获取地面图像为目的的卫星，像侦察卫星、气象卫星、地球资源卫星大都选择这种轨道。回归轨道要求轨道周期在较长时间内保持不变，因此，卫星必须具备轨道修正能力，以便能够克服入轨时的倾角偏差、周期偏差和补偿大气阻力引起的周期衰减。 polar orbit

倾角为90°的人造地球卫星轨道。又称极地轨道。在极轨道上运行的卫星，每一圈内都可以经过任何纬度和南北两极的上空。由于卫星在任何位置上都可以覆盖一定的区域 ，因此，为覆盖南北极，轨道倾角并不需要严格的90°，只需在90°附近就行。在工程上常把倾角在90°左右，但仍能覆盖全球的轨道也称为极轨道。近地卫星导航系统（如美国海军导航卫星系统）为提供全球的导航服务采用极轨道。许多地球资源卫星、气象卫星以及一些军事侦察卫星采用太阳同步轨道，它们的倾角与90°只相差几度，所以也可以称其为极轨道。还有一些研究极区物理的科学卫星也采用极轨道。 实际上地球并不是完全的正圆形，而且除了作用于卫星上的地心引力外，还有太阳和月球的引力、太阳辐射压力等外力。这些外力会使卫星的实际运行轨道偏离开普勒轨道。这种偏离我们称之为轨道摄动。引起卫星轨道摄动的外力，我们称之为摄动力。

由于摄动力的存在，即使是静止卫星也不可能是绝对静止的，这就需要靠地面的测控站遥控卫星上的燃气喷射系统，调整卫星的定点确保卫星按轨道运行。