2020椭圆和双曲线交于p点,角f1pf2为六十度,求e1分之一和e2分之一的最小值

由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令P在双曲线的右支上

由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m ①

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②

又∠F1PF2=900,故|PF1|2+|PF2|2=4c2 ③

①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④

将④代入③得a2+m2=2c2,即 1 c2a2+1c2m2=2,即 1e12+1e22=2

为了消去含有x的单项式。

关于准线的理解，我觉得你从统一定义去理解更明朗点。

到定点距离与到定直线的距离之比为一定值。

这里的定点即为焦点，定直线即为准线，定值即为离心率。那这样三个概念都很明朗了。

你所给的证明是从代数思想出发的，在圆锥曲线这边，用几何意义来理解更省力一点。

只要证明弦AB和弦CD的中点重合即可。重合的话，AC=BD=(AB/2-CD/2)

设AB的中点为M(m,n)

CD的中点为N(p,q)

设一个椭圆E1 x^2/a1^2+y^2/b1^2=1

另一个椭圆E2 x^2/a2^2+y^2/b2^2=1

且应满足a1/a2=b1/b2

设A(x1,y1) B(x2,y2)

分别带入椭圆E1后，两个式子相减

求得kAB=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b1^2/a1^2)(n/m)

把C，D也带入椭圆E2，重复上面操作，得到

kCD=-(b2^2/a2^2)(q/p)

以为ABCD四点共线。所以kAB=kCD

所以得到m/n=p/q

即kOM=kON

那么OM和ON的斜率相等，并且都在直线AB上，所以M和N点重合，

得证