这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程。所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。其中，E是粒子本身的能量；U(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分e^(-tiE2π/h)以后就成了完整的波函数了。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。
ψ(x，y，z)是待求函数，它是x,y,z三个变量的复数函数（就是说函数值不一定是实数，也可能是复数）。式子最左边的倒三角是一个算符，意思是分别对ψ(x，y，z)的x,y,z坐标求偏导的平方和。
求解ψ(x，y，z)时会引入四个参变量，n(主量子数，大致决定了粒子的能量大小），l（角量子数，一定程度上影响着粒子能量的大小），m（磁量子数），mS(自旋磁量子数）。
在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符<math>\hat</math>不是时间的函数的情况。这时，<math>\Psi
(\vec,t)</math>可以分解成一个只与空间有关的函数和一个只与时间有关的函数乘积，即<math>\Psi
(\vec,t)=\psi
(\vec)f(t)</math>。把它带入薛定谔方程，就会得到<math>f(t)=\exp{(-iEt/\hbar
)}</math>。而<math>\psi(\vec)</math>则满足如下方程：
<math>\hat\psi(\vec)=E\psi(\vec)</math>
量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
薛定谔提出的量子力学基本方程
。建立于
1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场U（r，t）中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数U不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。
量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
这个如果你有幸到全国冬令营决赛这个才会考到，我参加过竞赛，这里说不了太多，多了你也不明白，只能简单说说了：
薛定谔方程是偏二阶微分方程，不同的条件下有不同的解。你不需要会解，但要了解解的意义（决赛）：它的解是波函数(ψ)，解前要假设一个条件（在处理ψ时引入的参数）——n、l、m（就是主量子数、角量子数、磁量子数啦，高中里说主量子数是电子层、角量子数是能层、磁量子数是轨道），这样才有唯一解。
解下来的波函数ψ（r、θ、φ）可以看成是三个变量rθφ的乘积。
我们把它分成两个函数的乘积：R（r）·Y（θ，φ）。R就叫函数的径向部分，Y就表示函数的角度部分。波函数本身没有意义，但它的平方有意义，将它（ψ^2）×体积就是D（r）——径向分布函数，它与ψ的径向部分有关。它表示电子在原子核距离内出现的概率密度，而刚刚说的Y平方后就是Y^2，它就叫角度分布函数，描述电子云的出现形状，如p是哑铃型等，而ψ2的形象化描述，就是著名的电子云图。
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