混沌学说是什么

混沌学在科学上，是一个系统的演变过程对初态非常敏感，人们就称它为混沌系统。研究混沌运动的一门新学科，叫作混沌学。混沌学发现，出现混沌运动这种奇特现象，是由系统内部的非线性因素引起的。

混沌是决定性动力学系统中出现的一种随机的运动，其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性。

系统对初值的敏感性又如美国气象学家洛仑兹蝴蝶效应中所说:"一只蝴蝶在巴西煽动翅膀，可能会在德州引起一场龙卷风"，这就是混沌。混沌涉及的领域：物理、化学、生物、医学、社会经济，甚至触角伸进了艺术领域。

混沌学传道士宣称，混沌应属于20世纪3大科学之一。相对论排除了绝对时空观的牛顿幻觉，量子论排除了可控测量过程中的牛顿迷梦，混沌则排除了拉普拉斯可预见性的狂想。混沌理论将开创科学思想上又一次新的革命。混沌学说将用一个不那么可预言的宇宙来取代牛顿、爱因斯坦的有序宇宙。

近代物理与新认识论

1992, 3, 26 吴文成

混沌

——不测风云的背后

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混沌理论，是近二十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接著否定了包括巨观世界拉普拉斯（Laplace）式的决定型因果律。

长久以来，世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，但对无秩序如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突兀增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当的无知。但是在七O年代，美国与欧洲有少数科学家开始穿越混乱去打开一条出路。包括物学家、物理学家及化学家等等，所有的人都在找寻各种俯拾皆是的混沌现象——袅绕上升的香菸烟束爆裂成狂乱的烟涡、风中来回摆动的旗帜、水龙头由稳定的滴漏变成零乱、复杂不定的天气变化与大崩盘的全球股市——的规则与一些简单模式中所隐藏令人惊讶的复杂行为。

十年之后，混沌已经变成一项代表重塑科学体系的狂飙运动，四处充斥为著混沌理论而举行的会议和印行的期刊。它跨越了不同科学学门的界线，因为它是各种系统的宏观共相，它将天南地北各学门的思想家聚集一堂。年轻的科学家相信他们正面临物理学改朝换代的序幕。他们觉得物理学这行已经被高能粒子和量子力学这些华丽而抽象的名词主宰得够久，直到混沌革命——可以连接微观和宏观上百万物体集体行为之间的深深鸿沟的新起科学——开始时，顶尖物理学家才发现自己心安理得地回归到属於人类尺度的某些现象。

混沌理论的近代研究，逐渐领悟到自己正抗拒科学走向化约主义的趋势。相当简单的数学方程式可以形容像天气或瀑布一样粗暴难料的系统，只要在开头输入小差异，很快就会造成南辕北辙的结果，这个现象被称为「对初始条件的敏感依赖」。例如蝴蝶效应——今天北京一只蝴蝶展翅翩翩对空气造成扰动，可能导致下个月纽约的大风暴——使得科学家始终无法模拟天气这个复杂系统，更不用说去精确地预测天气。

许多学科中，都背负著牛顿式决定论的担子。就像一位理论学家这麼教他的学生：「西方科学的基本理念就是如此：如果你正计算地球台面上的一颗撞球，你就不必去理会另一座银河系统其星球上树叶的掉落。很轻微的影响可以忽略，任意小的干扰，并不会膨胀到任意大的后果。」又说：「通常无解的非线性系统应被排除在科学研究之外。」但混沌理论根本驳斥这二种说法。

非线性因素——意指玩游戏的过程倒过来改变游戏的规则——支配著绝大多数物理现象。一方面，物理学家不该因著它难以计算而逃避它，在另一方面，它不容许我们忽略任何变因，无论来自於遥远的震动或是实验者本身——这点告诉我们，观察者始终无法与观察对象作分离或各别考虑，尽管「我们所有的努力，就是要使自己置身例外」。在这种情况下，我们必须放弃对事件发展的决定论式之天真预测。混沌理论亦难自外於非决定论的趋势，粉碎了唯物论者的梦想：欲以简洁、化约的方程式来描述自然界。

混沌创造了使用电脑来处理特殊图形，在复杂表相下捕捉奇幻与细腻结构图案的特殊技巧。同时，科学家在混沌里发掘出「自然几何学」之美。德国物理学家艾连柏格，有感而发：

「为什麼一株被风暴拉扯的枯树，浮现於冬日黄昏的剪影，会带来绝美的感受？而建筑师千辛万苦，设计出多重功能的大学校舍却让人无动於衷？虽然有些猜测成分，但是我认为答案可以从动力系统的崭新观点寻找。我们对美的感觉来自於自然界一乱一序，疏落有致的安排，比如云朵、树林、山岭或雪花。所有这些形状都是经由动力过程诞生的物理实体，这种参揉乱和序的组合最寻常不过。」

「这些线条反覆交织成金碧辉煌，在地面所形成的循环，带来了旋风、大风暴与雷电。」

实验家李奥．卡达诺夫感动地说：

「这种感受无可言喻，必定是科学家所能尝到最甜美的滋味——当他终於意识到，发诸内心者与形诸自然界者合而为一，并且百试不爽，那种惊喜莫名的感觉！谁能料及，心智幽玄的密室，竟能反映了风和日丽的大自然景象，这是何等的震撼！何等何等的喜悦！」

大自然的微笑是科学家心灵深处始终的支持，这份与自然结合的一体感构成了他们最深邃的情感，谁说科学家没有感动，谁说科学家是造成世界文明非人性化的罪魁祸首。即使是物理也是一门充满感情的学科，它包含著物理学家的执著，物理学家的奔走，也包含著科学家所有对自然宇宙的渴求，正如神学家期盼上帝的眷顾那般的深刻！当人们失去情感，自然也不会再向人们招手。

某研究混沌的学者，撰写有关蝴蝶效应的论文时，说道：「其实每个人都是那只有著魔力翅膀的蝴蝶，因为每个人的一举一动都可能使世界变得不一样。这告诉了我们世界的真相：这个世界不能失去你，也不能失去他，对於这个世界我们无法置身事外，也无法孤立局部的现象……如果上帝真的有骰子，他会让我们自己掷的，」他意犹未尽的继续说「也许我们该相信魔法……这正是为什麼古代人在自然界里有天赋异禀，而现代人始终只能依赖技术与机械的缘故」虽然他扯离了物理的范畴，却相当由衷地把现代人的处境表达出来。

由於科学家必须模拟混沌现象，於是带动电脑实验的趋势与极精密仪器的设计，这导致「复杂性科学」的兴起，此打破了各学科的界线门槛，结合有物理、化学、数学、社会学、生物与太空技术、电脑工业。目前科学虽然在表面上是分工的，但事实上它们是相连的。可以这麼说，「复杂性科学」本身正酝酿一股反对旧时化约主义的声浪，这才使我们真正认识世界的本貌。

零乱往往是假相，混沌之中隐藏著更深层次的规则（吸引子、自我组织、自我重复与尺度无关性……）。这种正在蓬勃发展的理论，给全世界带来巨大的冲击，绝不亚於相对论与量子力学。一流期刊上所刊载有关一粒球在桌上跳跃的奇异动力，亦和量子力学的文章平起平坐。（注十）

注十：以上混沌部分参考＜混沌＞全书，天下文化出版。

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原载於：http://residenceeducitiesedutw/sinner66/think/part_1/epistemology/page1htm

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作者 E-Mail：Sinner@mailiemNCTUedutw

哥们这叫chaos theory是由一个气象学家提出的有一次他模拟大气运动是发现如果把一个气象的数学公式的初使值改变了，哪怕极极极的变化，最终的计算结果将有巨大的偏差，所谓系统对于初始条件的依赖性，由此产生了混沌理论中很有名的蝴蝶效应butterfly effert，即南美丛林中的蝴蝶扇动一下翅膀会在很远的地方引起一场风暴。记住混沌理论无处不在！！！下面是我摘的一些资料。

混沌理论概念：是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。

随机造成的不可知性结果有一部**是对该理论很好的诠释影片名字就叫混沌理论，情节大概是弗兰克把自己每一天甚至每一分钟应该做的事情都记录下来，然后通过时间计划表和索引卡这种简单有效的系统方法，规规矩矩地日复一日。

事实上，弗兰克那“每日必做”的明细列表，本身就可以称之为一个传奇了，他意识到，只有这么做才可以过上一种“安全”的人生，因为他讨厌偶然……他做出的每一项决定，都是经过深思熟虑并计划好的，所以他过着的是一种完全可以预期的生活。

弗兰克的妻子苏珊和女儿洁茜，也被迫得追随他的生活步伐，她们发现，弗兰克似乎对于这样的事情过于着迷了，已经变成了一种强迫症。虽然这种日子过得很常规很安全，却因为一成不变而难免产生一种挫败感。一天早上，压抑了许久的苏珊决定做出一个小小的尝试，她希望可以“松动”丈夫压制性过强的行程安排表，所以她将时钟调快了10分钟……让苏珊想象不到的是，自己冲动下的一个无意识的行为，最终却成了释放一系列灾难的导火线，让弗兰克那小心翼翼的规律生活瞬间坍塌，陷入了一整片混乱当中无法自拔。而由此引发的结果，很可能会迫使弗兰克重新审视自己的生活，他会发现，即使不是被时间表和索引卡全副武装的效率专家，仍然可以用“随机”的生活同时获得亲情、友情、爱情和宽容的天分。

“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。”

一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了，那是你撞上了。

第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。这是混沌理论两个基本的概念。

混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则，一个是事物的发展总是向他阻力最小的方向运动。第二个原则当事物改变方向的时候，他存在一些结构。

一 混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

二 混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

三 近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的「蝴蝶效应」，亦即某地下大雪，经追根究底却发现是受到几个月前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产生气流所造成的。一九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的行径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。

四 混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓「差之毫厘，失之千里」正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。

五 混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。由于教育的对象是人，人是随时变动起伏的个体，而教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构。也因此，依据混沌理论，教育系统容易产生无法预期的结果。此一结果可能是正面的，也有可能是负面的。不论是正面或是负面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外，更应该累积长期数据，从中分析出可能的脉络出来，以增加教育效果的可预测性，并运用其扩大教育效果。

六 过去决策基础的三个主要假定和三个新的现实

根据混沌理论，格拉斯提出，过去作为决策基础的三个主要假定已经不再成立。这些假定是：

假定1：企业是一个“说到做到”的封闭系统。外界对企业决定采取的行动没有多大干扰。

假定2：经营环境是稳定的。管理者能够充分把握经营环境，从而制定出详尽具体的战略。

假定3：管理者对事件的因果关系有着足够的认识。他们能够顺藤摸瓜，找出每一事件将会导致的变化。

在格拉斯看来，这些旧的假定已经被三个新的现实所代替：

现实1：企业是复杂的“开放”系统，既影响着其所处的环境，又在很大程度上受环境的影响。这意味着，企业的行动可能无法达到它所预期的结果。

现实2：环境是瞬息万变的（不断创造着机会和威胁）。高层管理者不能指望制定出在付诸实施时仍完全有效的详尽战略。

现实3：作为传统决策理论基础的简单线性因果关系模型已经失灵。因此，各种事件的后果是无法预料

混沌理论对内部控制概念的启示

混沌理论是一种迅速发展的新科学，致力于研究复杂的、非线性的、动态的系统。混沌理论不是关于无序的理论，虽然从字面上看起来是这样。相反，它可以看作是一种更好地理解秩序的方法。

混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小差别都会按指数放大，因此导致系统内在地不可长期预测。

混沌理论引出了现在的一个著名假设：只要其中一颗行星上有一只蝴蝶在拍打翅膀，那么两颗被认为一模一样的行星的天气模式就有可能有相当大的差异。根据这个假设，长期天气预报的无效性就显而易见了。甚至是原子水平的最小异常，时间长了也会产生重大的出人意料的后果。

混沌理论支持这样一个观点：要预料所有那些与计划安排有所偏离的无数小事件是不可能的。在一个偶然的时间点上，这些小事件积聚起来可能造成灾难性的后果。这有点像COSO 框架所基于的有限性观念。基本上，COSO 的作者和其他很多人都坚持这样的观点：要想使内部控制有效到能够阻止不利事件发生是不合理的。

在COSO 框架中，外延广泛的内部控制概念强调了内部控制对于经营性目标、合规性目标及可靠性目标的达成是一种合理的保证，而不是绝对的保证，这通常被看成是内部控制所固有的一个内在缺陷。合理保证这个概念并非有意但仍有误导性的含义，它暗示了这样一种可能性：不利的事件将由于有效的内部控制而不会发生。当被确信存在时，这种水平的保证可能会因为追求内部控制的质量阻碍管理方面的改进。然而，停留在合理保证的水平意味着当重大的不利因素产生时，总是没法做出明确的判断。问题变成了这个：合理保证真的存在吗？

COSO 的作者建议用成本－收益分析的思路解决合理性问题。成本收益逻辑可能是一个有风险的陷阱，从正面看是诱人的，但是从背后看的话，可能是有潜在致命的风险。换个说法，当一个大的不利事件发生时，除了给予罚款、惩罚和制裁之外，公司几乎总是采取某些防止今后出现类似事件的补救性行动。那个时候，成本收益分析是没有什么效果的。难以回答的问题是：如果内部控制技术现在被认为是必要的，为什么它在不利事件发生之前不被认为是必要？——合理性问题又出现了。

混沌理论提出了一个略有差异的视角。大的不利事件总会发生，如果我们接受混沌理论的话。任何一种水平的控制都不可能完全消除它。混沌理论与成本收益这一在COSO 框架下起决定作用的概念没有联系。在COSO 中应用的成本收益概念是用来决定一个已存在的控制技术是否应被实施。如果收益高于成本的，就应该实施。因此，如果管理层认为控制的成本过高，它就不应该被实施。这在理论上是正确的，即使控制能够阻止重大不利事件的发生。

内部控制概念建立在这样一个观点之上：为了得到想要的结果，可以在何种程度上依赖控制，这一点存在内在缺陷。关于内部控制的很多权威著作，包括COSO 框架，都讨论了这些缺陷。他们包括人类易犯错的本性、与内部控制相联系的成本和收益以及由共谋引起的舞弊的可能性。因此，内部控制不能绝对保证任何想要的结果总能达到。用COSO 框架的话来说，“无论内部控制的设计和实施多么好，也只能合理保证实体目标的实现。”

这给我们的启示是，无关紧要的小错误是可以容忍的。可是如果运用混沌理论，那么，正是这些小错误时间长了，再加上其他异常，导致了大灾难。这种现象有很多例子。例如，历史悠久的银行业巨人巴林银行的破产就起源于一个个人未经监督的行为。日本住友银行也是因为一个交易员的行为而遭受了数十亿美元的损失，在这个例子中，损失的原因是铜的期货交易。事后人们才痛心地意识到这两个案例中都缺乏对衍生产品交易的控制。一个船长喝醉酒导致了阿拉斯加州大部分地区的环境灾难和埃克森石油公司的巨大损失。又是事后才

知道控制松懈。航天飞机是由成千上万零件和组件构成的，但正是它的助推火箭中的氧气在寒冷天气下凝固的倾向，导致了“挑战者”号航天飞机及毫无觉察的全体人员机毁人亡的悲剧。

混沌理论表明，通过内部控制消除小错误发生的可能性的努力是徒劳的。脱离常规的小偏差太多了，效果太不可预料了。因此，要预见并采取充足的防范措施是不可能的。谁能够可靠地预测错过的一个电话、上班迟到或忘记带一份特别会议所需文件的后果？这些事情和不计其数的其他无害的事情混在一起，每天在每个地方都会发生，我们都会犯这样问题的错误。

因此，在概念水平上，不能依赖内部控制来防止大的不利后果的发生。如果这些事情不是出于恶意和明显的疏忽，那么在本质上就是随机的。在这个意义上，它们和不可抗力类似。内部控制层次较高的组织遇到的灾难会少一些，这合乎道理但还有待证实。不过，目前，追求尽可能高水平的内部控制还是可取的，这样碰到的灾难兴许会少一些。

贝塔朗菲定义1：系统是相互联系、相互作用着的诸元素的集，或统一体。

钱学森定义1：什么叫系统，系统就是有许多部分组成的整体，所以系统的概念就是要强调整体，强调整体是由相互关联、相互制约的各个部分所组成的。

定义1强调：（1）元素间的相互联系、相互作用及系统的整体性，系统不是诸部分无组织的拼合物，而是由各部分组织而成的统一的整体。（2）系统是由元素集和关系集共同决定的，元素间的相互关系与元素本身一样重要，不可忽略。（3）系统内不存在独立于相互关系的孤立部分（或孤立元）。

根据该定义，确定整体性与组织性（或相关性）是系统最基本的特征，它们是由系统本身的规定性所决定，也是区别于以往科学研究对象的最明显的特征。整体性是系统最突出、最基本的特征之一。系统指的是"整体"即"有组织的统一体"，系统之所以为系统就是因为系统是作为一个有机整体而不是各部分的简单相加而存在的，是否具有整体性，即"有组织的统一体"是区分系统与非系统的判据。系统内部的组织性是系统具有整体性的原因。系统论中组织性主要指各部分间的相关性，系统论强调组成系统的各部分之间的相互关系和相互作用。

贝塔朗菲定义2：系统是"处于一定的相互关系中并与环境发生关系的各部分组成部分的总体（或集）"。

钱学森定义2：系统是由相互作用和相互依赖的若干组称各部分合成的具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它所从属的一个更大系统的组成部分。

定义2强调：（1）系统的功能，即系统与环境的相互联系和作用。系统不仅具有整体性的"组织"，即整体结构，而且具有整体性的行为和功能。（2）系统的开放性。（3）系统的多级层次性。

定义2明确规定了系统与环境不可分割的关系，从而表明了系统科学与经典科学的另一重要差别。系统科学不再遵循系统的孤立原则，"把现象隔离于狭窄的封闭或孤立状态中，而开始考察它们之间的相互作用并考察越来越大的自然界对象"。系统科学不仅考虑同一层次间各部分的相互作用，而且考虑不同层次间的相互作用。

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混沌理论的发现是非线性动态系统理论发展是上最激动人心的事情。曾经被称为20世纪继相对论、量子力学之后的第三次物理学的革命。这一评价至少说明，混沌是非线性系统的共性。混沌现象，是指事物表面上看似杂乱无章，但是并不等于混乱不堪，而是指在杂乱的表象下面，蕴藏着复杂、多样的，可测量的结构和规律。因此，混沌现象是一种貌似无序实则有序，而且蕴含着更高级别发展秩序的自然现象。混沌理论是通过研究某一系统从有序到无序状态演进过程中的波动秩序、规律、方式等，来揭示事物表面无序状态下所蕴藏的有序性的理论体系。

对于什么是混沌，目前科学上还没有确切的定义，但随着研究的深入，混沌的一系列特点和本质的被揭示，对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。它包括如下特征： 只要初始条件稍有偏差或微小的扰动，则会使得系统的最终状态出现巨大的差异。因此混沌系统的长期演化行为是不可预测的。

复杂性科学是什么？复杂性科学是一门新科学，一门新科学的形成过程，就是不断尝试对其“中心概念”进行定义的过程。复杂性科学是一门综合性跨学科科学，它以多学科理论为基础，又高屋建瓴地将多学科联系在一起。这里讲从动力学和混沌预测、信息、科学、进化四个科学领域来挖掘复杂性科学的理论基石。

力学分为运动学和动力学两部分。运动学描述物体如何运动，即运动学定律；动力学解释物体为何遵循运动学定律。牛顿顿的三大定律是动力学的基础，根据牛顿的动力学定律，任何事物的发展轨迹都是可以被预测，他描绘的“钟表宇宙”设置好初始状态，然后遵循牛顿三大定律一直运行下去，预测未来变为可能。据此理论推导，复杂性系统是可以被精确预测的。

但是，“混沌”的发现给“精确预测”沉重打击。混沌指的是指一些系统对于初始条件有敏感性依赖，极其微小的偏差，都会对长期预测产生巨大的误差，这类系统称为混沌系统。历史上，第一个混沌系统例子是庞加莱试图解决的“三体问题”时发现的对初始条件的敏感性依赖。

混沌系统对初始条件的敏感性依赖，导致其不确定性和不可预测性。那是什么因素导致系统对初始条件的敏感性依赖？ 非线性 。

线性系统中部分之和等于整体，非线性系统中部分之和不等于系统。生物种群数量发展系统就是一个非线性系统，与线性系统不同的是，种群数量受到出生率，死亡率，以及环境最大承载力的限制。

比如一种方案是一定数量的兔子放在一岛上繁衍，第二种方案是同样数量的兔子分开两部分，分别在两个岛上繁衍，几年后，第二种方案的兔子总量会大于第一种方案。这是因为环境承载力因素导致了系统非线性。研究种群数量常用“逻辑斯蒂模型"来描述种群数量的增长。

“逻辑斯蒂映射”是动力系统理论和混沌研究中最著名的方程，它抓住了混沌的本质“对初始条件的敏感性依赖。”

x_(n+1) = R x_n (1-x_n)

当R=2时x_n的时会最终停在05，不再变化，05即为不动点。

同样R的值增加(R=21,22,23等等)，X_n的值最终都会停在一个对应的不动点，如06,07,08等

当R=31时，X最终会在两个值之间振荡，系统周期为2

当R=34时，X最终会在四个值之间振荡，系统周期为4

当R=354和355之间的某个值，时振荡周期变为8

周期一次又一次倍增，前后R的间隔也越来越小。

当R等于大约3569946时，X的值不再进入振荡，变为混沌。

以上三种X值的最终状态分别称为：不动点，周期，混沌。

逻辑斯蒂映射非常简单，而且完全确定性，却可以产生混沌。

逻辑蒂映射映射从数学理论推导出混沌本质上具有普适性：

一、通往混沌的倍周期之路

      如上述的随着R值变化，X值从不动点，然后是2周期振荡，4周期，8周期，一直下去，直到混沌。

二、费根鲍姆常数

当R = 3569946时，X值出现混沌。这个数学常量在实际物理动力系统中得到证实，包括流体，电路，激光和化学反应。

我们对混沌系统有了新的认识：

混沌的行为有可能来自确定性的系统，无须外部的随机源。

简单的确定性系统的长期变化，由于对初始条件的敏感依赖性，即使在原则上也无法预测。

混沌系统具有普适性，虽然在无法精确预测，但在更高层面上混沌系统却是可以预测的。

确定性系统是相对于不确定系统（见随机控制理论）而言的。在确定性系统中，所有变量都可用确切的函数关系婡洎头筿来描述，系统的运动特性可完全确定。以确定性系统为研究对象的控制理论称为确定性控制理论，如线性控制理论、线性系统理论、非线性系统理论和最优控制理论等。

输入作用和外加扰动均按确定的规律变化，且结构不包含任何不确定因素的一类系统。

混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小差别都会按指数放大，因此导致系统内在地不可长期预测。

非线性科学中的混沌

在非线性科学中，“混沌”这个词的含义和本意相似但又不完全一致，非线性科学中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。

或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。混沌现象的一个著名表述就是蝴蝶效应：南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就会在佛罗里达引起一场飓风。