泰勒展开有什么用?

泰勒展开可以计算函数。

它来自于微积分的泰勒定理，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

sinx的泰勒展开式是如下：

1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。

2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。

3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。

4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。

5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。

6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。

arccosx泰勒展开式是：

令f(x)=(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

f(0)=-1，则f'(x)=-x/(1-x^2)^(3/2)=x/(1-x^2)f(x)

f'(0)=0，即(1-x^2)f'(x)=xf(x)

两边求n阶导：(1-x^2)f^(n+1)(x)-2nxf^(n)(x)-n(n-1)f^(n-1)(x)=xf^(n)(x)+nf^(n-1)(x)

令x=0：f^(n+1)(0)-n(n-1)f^(n-1)(0)=nf^(n-1)(0)

f^(n+1)(0)=n^2f^(n-1)(0)

加上f(0)=-1和f'(0)=0得：

f^(2n+1)(0)=0,f^(2n)(0)=-[(2n-1)!!]^2 (n>0)

所以f(x)=-(1+(1!!)^2/2!x^2+(3!!)^2/4!x^4++((2n-1)!!)^2/(2n)!x^(2n)+)

=-(1+1/2!x^2+3!!/4!!x^4++(2n-1)!!/(2n)!!x^(2n)+)

所以arccosx=π/2+∫(0→x)f(x)dx

=π/2-(x+1/2!x^3/3+3!!/4!!x^5/5++(2n-1)!!/(2n)!!x^(2n+1)/(2n+1)+)

几何意义：

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

是tanx = x+ (1/3)x^3 +

不同，sinx是：sinx = x-(1/6)x^3+

常用泰勒展开式

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)(x^k)/k + ……(|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞

arcsin x = x + 1/2x^3/3 + 13/(24)x^5/5 + ……(|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2x^3/3 + 13/(24)x^5/5 + …… ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

独缺tanx 泰勒展开式。有好事者用sinx/cosx算出 tanx 泰勒展开式的前五项。

tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11

最后一项是余项,(|x|<π/2)

方法就是多项式的 竖式除法 ，只不过是把低次幂排在前面。

由于这个多项式的竖式除法很繁琐，我只弄了四项，足可帮助理解。

当|x|<π/4时，舍弃余项，误差较小。

当x＝π/4时， tanx=1，无须tanx 泰勒展开式。           

当π/41,误差很大。

这种情况要转换思路，令y=π/2-x,用10阶泰勒展开式算出tany，然后  tanx=1/tany

同理，当-π/2，然后  tanx=1/tany

所以， 当x＝π/4时， tanx泰勒展开式误差最大。

10阶五项 tan(π/4)＝099917，误差83/10000

6阶三项 tan(π/4)＝09867，误差 >1%

直接用sinx,cosx的泰勒展开式相除，分别取前三项

sin(π/4)=0707143,     cos(π/4)=0707429, sin(π/4)/ cos(π/4)=0999595,  误差约4/10000 

对比可知，五项tanx的泰勒展开式比三项sinx/cosx的泰勒展开式误差还大，

并且π/4

所以 tanx泰勒展开式不常用。

不过，当 |x|<π/6时，tanx的泰勒展开式的误差还算小 ，可用。                           

扩展资料

1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。

解：根据导数表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……

于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……

最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）

类似地，可以展开y=cosx。

2、计算近似值e=lim x→∞ （1+1/x)^x。

解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10，即可算出近似值e≈27182818。

3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）

证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。

由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。

参考资料：

tanx的泰勒展开式：tanx=x+x^3/3+（2x^5）/15+（17 x^7）/315+（62 x^9）/2835+O[x]^11（|x|<π/2）。

泰勒公式为一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。

泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

常用的泰勒展开公式：

1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……。

2、ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-……+（-1）^（k-1）（x^k）/k+……（|x|<1）。

3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+（-1）^（k-1）（x^（2k-1））/（2k-1）!+……（-∞<x<∞）。

4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+（-1）k（x^（2k））/（2k）!+……（-∞<x<∞）。

5、arcsinx=x+1/2x^3/3+13/（24）x^5/5+……（|x|<1）。

6、arccosx=π-（x+1/2x^3/3+13/（24）x^5/5+……） （|x|<1）。

常用泰勒展开公式如下：

1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)(x^k)/k(|x|<1)

3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)

4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)

5、arcsin x = x + 1/2x^3/3 + 13/(24)x^5/5 + ……(|x|<1)

6、arccos x = π - ( x + 1/2x^3/3 + 13/(24)x^5/5 + …… ) (|x|<1)

7、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)

tanx的泰勒展开式的求法是：tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62x^9)/2835+O[x]^11(|x|<π/2)。

  泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下。

泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的领域中的值。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。