高中数学三角形各种心的向量的表达式

1、若向量|OA|=|OB|=|OC|，则O为⊿ABC的外心

2、若向量GA+向量GB+向量GC=0向量，则G为⊿ABC的重心

3、若向量HA•向量HB =向量HB•向量HC =向量HC•向量HA，则H为⊿ABC的垂心

4、若a向量IA+b向量IB+c向量IC=0向量，则I为⊿ABC的内心

5、若a向量PA=b向量PB+c向量PC=0向量，则P为⊿ABC的角A的旁心

用向量表示三角形的五心

如图，ABC中，E是AC上一点，F是AB上一点，且

l

n

ECAElmFBAF,（通分总可以把异分母分数化为同分母分数）连接BE、CF交于点D，确定点D的位置 解:设,bACaAB DFCDDEBD,

由定比分点的向量表达式,得

bamlmamlmbABmlm

ACAFACADbnlnaACnln

ABAEABAD





11))(1())(1(11)

(1111))(1(11)

(1111









nmlmnlnlnmlm

解得11))(1())(1(11

代入得:bn

mln

anmlmAD

设O是平面上任意一点,则有,,OAOCbOAOBaOAODAD

上式可化为:OCn

mln

OBnmlmOAnmllOD

()

由()式出发,可得三角形五心的向量表达式

(1)若BE、CF是ABC两边的中线,交点D是三角形的重心

则1,1

FBAF

lmECAEln )(31

OCOBOAOD

(2)若BE、CF是ABC两内角的平分线，交点D是三角形的内心 则:a

b

BCACFBAFlmacBCABECAEln

, OCa

cbcOBacbbOAacbaOD 同理若D是顶点B所对的旁心,则有:

OC

c

bac

OBcbabOAcbaaOD：，CDOCbcacOBbcabOAbcaaOD

则有所对的旁心是顶点若

若将点O与上述五心重合,则有以下简单结论:

(1) 重心O:0OCOBOA (2) 内心O:0OCcOBbOAa (3) 垂心O:

0coscoscosOCC

c

OBBbOAAa (4) 外心O:05) A对的旁心O:0OCcOBbOAa; B对的旁心O:0OCcOBbOAa

C对的旁心O:0

则a

b

BCACFBAFlmacBCABECAEln

, 代入()式得:

OCc

bac

OBcbabOAcbaaOD

(3)若BE、CF是ABC两边上的高，交点D是三角形的垂心

则

A

a

B

b

FB

AF

l

m

A

a

C

c

C

a

A

c

EC

AE

l

n

cos

cos

,

cos

cos

cos

cos















同理

OC

C

c

B

b

A

a

C

c

OB

C

c

B

b

A

a

B

b

OA

C

c

B

b

A

a

A

a

OD

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos





















(4)

若

BE

、

CF

的交点

D

是



ABC

的外心

,

即三边中垂线的交点

,

则有

:DA=DB=DC

根据正弦定理有

:

A

C

A

A

C

C

B

D

C

A

A

D

B

C

C

B

E

C

BE

EBA

A

BE

EC

AE

l

n

2

sin

2

sin

cos

sin

cos

sin

)

(

2

1

sin

sin

)

(

2

1

sin

sin

sin

sin

sin

sin







































同理

A

B

FB

AF

l

m

2

sin

2

sin





OC

C

B

A

C

OB

C

B

A

B

OA

C

B

A

A

OD

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin





















(5)

若

BE

、

CF

是



ABC

外角平分线

,D

是三角形的旁心