高中数学 平面向量 公式大全

一、平面向量公式：设a=（x，y），b=（x'，y'）。

1、向量的加法

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。0的反向量为0

AB-AC=CB。即“共同起点，指向被减”

a=（x，y）b=（x'，y'）则a-b=（x-x'，y-y'）

二、平面向量，垂直，平行平移等的关系：

三点共线定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心

向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是a•b=0。

a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量。

比较：

共线向量与平行向量关系

由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量。

平行向量与相等向量的关系

相等的向量一定平行，但是平行的向量并不一定相等。两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合。只用这两个向量长度相等且方向相同即可。其中“方向相同”就包含着向量平行的含义。

在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量，它可以形象化地表示为带箭头的线段。下面我给大家带来数学必修4向量公式，希望对你有帮助。

目录

高中数学必修4向量公式

高中数学必修4目录

高中数学学习方法

高中数学必修4向量公式

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0 0的反向量为0

AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y')

3、向量的的数量积

定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率

a·b=b·a(交换率);

(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;

当λ<0时，λa与a反方向;

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

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高中数学必修4目录

第一章 三角函数

11 任意角和弧度制

12 任意角的三角函数

13 三角函数的诱导公式

14 三角函数的图象与性质

15 函数y=Asin(ωx ψ)

16 三角函数模型的简单应用

本章综合

第二章 平面向量

21 平面向量的实际背景及基本概念

22 平面向量的线性运算

23 平面向量的基本定理及坐标表示

24 平面向量的数量积

25 平面向量应用举例

本章综合

第三章 三角恒等变换

31 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

32 简单的三角恒等变换

本章综合

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高中 数学 学习 方法

(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

(7)学会从多角度、多层次地进行 总结 归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

(8)经常在做题后进行一定的“ 反思 ”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解 其它 问题时，是否也用到过。

(9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

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★ 人教版高二数学上向量的三角形不等式归纳

★ 高二数学必修4向量模的计算知识点

★ 高一数学必修4第二章平面向量基本定理及坐标表示知识点

★ 高一数学必修4第二章平面向量基本定理及坐标表示知识点(2)

★ 高一数学必修4知识点总结(人教版)

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这是我整理的一些内容，希望对你有所帮助：

一些结论：以下皆是向量

1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0

2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）

3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）

4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²

（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）

5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心

6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心

7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）

或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心

8若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

以下是一些结论的有关证明

1

O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量

充分性：

已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，

延长CO交AB于D，根据向量加法得：

OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：

a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,

因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,

上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,

向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，

所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,

由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,

所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性：

已知O是三角形内心,

设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，

∵O是内心

∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE

过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，

所以四边形OMAN是平行四边形

根据平行四边形法则，得

向量OA

=向量OM+向量ON

=(OM/CO)向量CO+(ON/BO)向量BO

=(AE/CE)向量CO+(AF/BF)向量BO

=(c/a)向量CO+(b/a)向量BO∴a向量OA=b向量BO+c向量CO

∴a向量OA+b向量OB+c向量OC=向量0

2

已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2sin2B)+AC/(|AC|＾2sin2C)},

求P点轨迹过三角形的垂心

OP=OA+入{(AB/|AB|＾2sin2B)+AC/(|AC|＾2sin2C)},

OP-OA=入{(AB/|AB|＾2sin2B)+AC/(|AC|＾2sin2C)},

AP=入{(AB /|AB|＾2sin2B)+AC /(|AC|＾2sin2C)},

AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2sin2C)},

AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2sin2C)},

AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾22sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾22sinC cosC)},

AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|2sinB ) +|BC|/(|AC|2sinC )},

根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC

∴-|BC|/ (|AB|2sinB ) +|BC|/(|AC|2sinC )=0，

即AP•BC=0，

P点轨迹过三角形的垂心

3

OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线

根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,

所以|AB|sinB=|AC|sinC,

所以AP与AB+AC共线

AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，

∴点P过三角形重心。

4

OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)

AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)

=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]

=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]

=0，

所以向量AP与向量BC垂直，

P点的轨迹过垂心。

5

OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)

AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，

向量AB与AC的单位向量的和向量，

因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，

向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，

易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心。

向量的表达方式

1代数表示

一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。

2几何表示

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。

3坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数(x,y)，这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

向量的运算

1加法：向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

2减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=00的反向量为0

OA-OB=BA即“共同起点。

3数乘

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同;当λ<0时，λa的方向与a的方向相反;当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

向量公式

向量部分

1平面向量知识结构表

2向量的概念

（1）向量的基本概念

①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。

②特定大小或特定关系的向量

零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。

③表示法：几何法：画有向线段表示，记为

或α。

④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量

,

作基底，则平面内作一向量

=x

+y

，记作：

=(x,

y)

称作向量

的坐标

=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)

（2）向量的运算

①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。

运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。

②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：

λa=λ(x,y)=(λx,

λy)

(1)︱

︱=︱

︱•︱

︱;

(2)

当

＞0时，

与

的方向相同；当

＜0时，

与

的方向相反；

当

=0时，

=0．

(3)若

=（

），则

•

=（

）．

运算律

λ（μa）=(λμ)a,(

λ+μ)a=λa+μa,

λ(a+b)=

λa+λb。

3平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：

（1）．向量的夹角：已知两个非零向量

与b，作

=

,

=

,则∠AOB=

（

）叫做向量

与

的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量

与

，它们的夹角为

，则

•

=︱

︱•︱

︱cos

．

其中︱

︱cos

称为向量

在

方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：

•

=

•

,(λ

)•

=

•(λ

)=λ（

•

），（

+

）•

=

•

+

•

。若

=（

）,

=（

）则

•

=

ⅰ）

⊥

•

=0

（

，

为非零向量）;

ⅱ）向量

与

夹角为锐角

ⅲ）向量

与

夹角为钝角

4定理与公式

①

共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ

a

结论：

∥

(



)的充要条件是x1y2-x2y1=0

注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1,

y2有可能为0，

∵



∴x2,

y2中至少有一个不为0

2充要条件不能写成

∵x1,

x2有可能为0

3向量共线的充要条件有两种形式：

∥

(



)

②平面向量基本定量：如果

，

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量

，有且只有一对实数λ1,λ2使

=λ1

+λ2

③两向量垂直的充要条件

(i)

⊥

•

=0

(ii)

⊥

x1•x2+y1•y2=0（

=(x1,y1),

=(x2,y2)）

④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使

=α

+β

，其中α+β=1，O为平面内的任一点。

⑤数值计算公式

两点间的距离公式：|

|=

，其中[P1(x1,y1),P2(x2,y2)]

P分有向线段

所成的比：

设P1、P2是直线

上两个点，点P是

上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数

使

=

，

叫做点P分有向线段

所成的比。

当点P在线段

上时，

＞0；当点P在线段

或

的延长线上时，

＜0；

分点坐标公式：若

=

；

的坐标分别为（

）,（

）,（

）；则：

中点坐标公式：

两向量的夹角公式：cosθ=

=

0≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)

⑥图形变换公式

平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′)，

则

⑦有关结论

(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则

(

+

);

一般地，若P是分线段AB成定比λ的分点（即

=λ

，λ≠-1）则

=

+

，此即线段定比分点的向量式

(ii)有限个向量，a1,a2,…,an,相加，可以从点O出发，逐一作向量

=a1,

=a2,…,

=an,则向量

即这些向量的和，即

a1+a2+…+an=

+

+…+

=

（向量加法的多边形法则）。

当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时），则和向量为零向量。

注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。

3向量的应用

（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用

如果觉得文字表白显得太过苍白，那么我们试试用数字表白。下面我们带来了一些学霸们向自己喜爱的对象表白的公式大全，助你们。下面带来数字表白公式大全和最浪漫的数字来为你表白。

一、数学表白公式大全：

1、九宫格数字表白。

（1）96 24 64 表白密码“我爱你”。

（2）969426464 表白密码“我想你”。

（3）96 94 4826 64 表白密码“我喜欢你”。

（4）964269426464 表白密码“我好想你”。

（6）9826944369694842632696832643462 表白密码“愿意跟我一条道走到黑吗”。

（5）6478628542874962474364749426494 表白密码“你若不离不弃我必生死相依”。

（7）94492664982694 7826744543766443464 表白密码“只要你愿意，全世界送给你”。

2、化学公式表白。

（1）H(氢)At(砹)Tc(锝)--亲爱的。

（2）Ga( 镓)Os(锇)Pd(钯) --嫁给我吧。

（3）Mg+ZnSO4=Zn+MgSO4--你的镁夺走了我的锌。

（4）Os(锇)As(砷)At(砹)Ge(锗)Nb(铌)--我深爱着你。

（5）B、Ca、Al、Si，元素周期表的编号连起来就是5,20,13,14。

（6）Nb(铌)Pu(钚)Kr(氪)Y(钇)Pu(钚)Li(锂)Os(锇)--你不可以不理我。

（7）Zn(锌)Li(锂)Pu(钚)Kr(氪)Y(钇)U(铀)Tl(铊)Ag(银)--心里不可以有他人。

二、用最浪漫的数学表白：

1、9对3说，除了你，还是你。

2、我是1，你是0。我们相加是我，我们相乘是你。

3、我们的心就像一个圆，因为它的离心率永远是零。

4、等量代换与辅助线，在你我之间蔓延，解其实很简单，有且只有爱。

5、我们就是抛物线，你是焦点，我是准线， 你想我有多深，我念你便有多真。

6、如果我的心是x轴，那你就是开口向上、Δ为负的抛物线，永远都在我的心上。

7、有了你，我的世界才有无穷大。因为任何实数，都无法表达，我对你深深的爱。

8、我每天带给你的惊喜和希望，就像无穷集合里的每个元素，虽然取之不尽，却又各不一样。

9、不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差， 相信波谷过了，波峰还会远吗？

10、零向量可以有很多方向，却只有一个长度，就像我，可以有很多朋友，却只有一个你，值得我来守护。

11、我对你的感情，就像以自然对数e为底的指数函数，不论经过多少求导的风雨，依然不改本色，真情永驻。

12、如果有一天我们分居异面直线的两头，那我一定穿越时空的阻隔，划条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留。

结语：

表白方式千千万，上面这种数字公式来表白，真的是别样的浪漫。其实，不管是那种表白方式，只要有真心，有真爱，用自己的真情，一定会打动那个你爱的人。