不定积分的积分公式

注：以下的C都是指任意积分常数。

1、 ，a是常数

2、 ，其中a为常数，且a ≠ -1

3、

4、

5、 ，其中a > 0 ，且a ≠ 1

6、

7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、

15、

全体原函数之间只差任意常数C

证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x),那么,对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)即对任何常数C,函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

一、原函数

如果在区间上， ，则 称为 的一个原函数

注如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中任何两个原函数之间只相差一个常数．对于不同描述形式的原函数，相差的常数可以通过取特定变量值来得到 比如

, 都是 的原函数，则

令 ，得 ，即

二、原函数存在定理

原函数存在定理：

(1)若函数 在区间 上连续，则 在区间 上存在原函数

(2)如果在区间 上函数 有第一类间断点和第二类无穷间断点，则函数在该区间 上没有原函数；如果函数在区间 上仅仅具有第二类振荡间断点，则有可能存在有原函数

例1包含振荡间断点的区间内定义的函数可能存在有原函数 如

为 的振荡间断点， 在全体实数范围内有原函数

例2包含第一类间断点的区间内函数不存在原函数

在 点出分别为函数 的第一类跳跃间断点和可去间断点，它们在区间 上都不存在原函数 对于 ，在 处对应着分段函数的尖点位置；对于 ，假设有原函数 ，则在 时，有 ，由可导必定连续，则 ，所以在 内 ，从而有 ，从而与所设 为 的原函数矛盾

例3包含第二类无穷间断点的区间内函数不存在原函数 如

在区间 上不存在原函数，其中 为函数 的无穷间断点 虽然通常记

但这仅仅是一种形式上的记法，并不代表 在区间 上存在原函数，因为对数函数 在 处根本没有定义，当然也就不可能存在导数

三、不定积分

函数 在区间 上所有原函数的一般表达式称为 在 上的不定积分，并且有

其中

称为积分常数或任意常数

是 的在区间 上的任意一个原函数

称为被积函数，

称为被积表达式，计算中就为原函数的微分，即

称为积分变量，即仅仅对 变量求导数或微分，其余符号对于积分而言为常数．

注不定积分是所有原函数的集合，结果一定不能缺少 ！没有 则仅仅是原函数集合中的一个元素

四、不定积分基本性质

1、求导、微分与积分的互逆运算

注不定积分与求导、微分互为逆运算，交替使用相互“抵消” 最后的一个运算决定结果形式，最后运算为不定积分，则结果不能忽略任意常数 ；为微分运算，则结果不能缺少

2、不定积分线性运算性质

如果 与 的原函数存在，则

其中 和 为常数．

五、基本不定积分公式

由基本初等函数的导数基本公式，逆向推导有基本初等函数的不定积分基本计算公式，它们是求不定积分的基础，必须熟记和掌握！具体基本积分表参见后面的课件或教材！

注1基本不定积分基本公式表中的公式中的d就为微分运算符 其中的积分变量符号x可以直接替换为任意可导函数表达式不过记得一定是等式两端所有x都换成相同的表达式 如

由此可知 是 的一个原函数 这个结果的应用直接得到后面不定积分的“凑微分”法或第一类换元法

注2对于不定积分结果在计算出来以后，一定要通过求导运算验证其结果是否就为被积函数 只要求导结果为被积函数，则不管结果的描述形式如何都为正确结果

注3有理函数的积分一般拆分成部分分式计算积分，有理函数的部分分式分解参见推荐阅读列表中的“

关于不定积分、定积分与多元函数积分计算正确性的验证和思路、方法的有效性的验证与确认，可以参见如下的推文给出的方法：

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参考课件

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基本公式

1、∫0dx=c

2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c

3、∫1/xdx=ln|x|+c

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5、∫e^xdx=e^x+c

6、∫sinxdx=-cosx+c

7、∫cosxdx=sinx+c

8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

不定积分：

不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2） （a>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分。

含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

答案给你：

∫1/sinx dx+cosx

=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx+sinx

=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)+sinx

=∫1/tan(x/2)sec²(x/2) d(x/2)+sinx

=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)]+sinx

=ln|tan(x/2)|+sinx+C

积分发展的动力来自于实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量对另一个物理量的累积效果，这时也需要用到积分。

设为函数的一个原函数，我们把函数的所有原函数叫做函数的不定积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。

也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数。

积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段，而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。

回答如下：

∫1/(1-x^2)dx

=1/2∫[1/(1-x)+1/(1+x)]dx

=1/2[-ln(1-x)+ln(1+x)]+C

=1/2ln[(1+x)/(1-x)]+C

不定积分的公式：

1、∫adx=ax+C，a和C都是常数

2、∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1

3、∫1/xdx=ln|x|+C

4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1

5、∫e^xdx=e^x+C

6、∫cosxdx=sinx+C

7、∫sinxdx=-cosx+C

8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C