计算不定积分∫(arcsin√x +lnx√x) dx 十万火急

计算不定积分∫[arcsin√x +(lnx)/√x)]dx

解：原式=∫(arcsin√x )dx+∫(lnx)/√x)]dx

先作第一个积分：令arcsin√x=u，则√x=sinu，x=sin²u，dx=2sinucosudu=sin(2u)du；

故∫(arcsin√x )dx=∫usin(2u)du=-(1/2)∫udcos(2u)=-(1/2)[ucos2u-∫cos2udu]

=-(1/2)[ucos2u-(1/2)∫cos2ud(2u)]=-(1/2)ucos2u+(1/4)sin2u

=-(1/2)[u(cos²u-sin²u)]+(1/2)sinucosu=-(1/2)[(1-2x)(arcsin√x)]+(1/2)√[x(1-x)]

再作第二个积分：令√x=u，则x=u²，lnx=lnu²=2lnu， dx=2udu，故

∫(lnx)/√x)]dx=4∫lnudu=4[ulnu-∫du]=4(ulnu-u)=4u(lnu-1)=4(√x)[ln(√x)-1]

于是得∫(arcsin√x )dx+∫(lnx)/√x)]dx=-(1/2)[(1-2x)(arcsin√x)]+(1/2)√[x(1-x)]+4(√x)[ln(√x)-1]+C

具体回答如下：

令y=xu，则y'=u+xu'

代入原方程：x(u+xu')=xulnu

得xu'=ulnu-u

du/(ulnu-u)=dx/x

d(lnu)/(lnu-1)=dx/x

积分：ln|lnu-1|=ln|x|+C1

得lnu-1=Cx

即ln(y/x)-1=Cx

y=xe^(cx+1)

微分方程通解：

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解

求不定积分∫cosx/(a+bcosx)dx，

可用万能公式代换，

设tan(x/2)=u,x=2arctanu,

dx=2du/(1+u^2),

cosx=(cosx/2)^2-(sinx/2)^2

=[1-(tanx/2)^2]/(secx/2)^2

=[1-(tanx/2)^2]/ [1+(tanx/2)^2]

=(1-u^2)/(1+u^2),

∫cosx/(a+bcosx)dx

=∫[(1-u^2)(2du)/(1+u^2)^2]/[a+b(1-u^2)/(1+u^2)]

=-2∫(u^2-1)du/[(1+u^2)(a+b+au^2-bu^2)]，

设m=a+b,n=a-b,

原式=-2∫(1+u^2-2)du/[(1+u^2)(m+nu^2)]

=-2∫du/(m+nu^2)+4∫du/[(1+u^2)(m+nu^2)]

=-2∫du/(m+nu^2)+4∫[du/(m-n)]/(1+u^2)

+4∫[-n/(m-n)]du/(m+nu^2)

=[-2(m+n)/(m-n)]∫du/(m+nu^2) +4∫[du/(m-n)]/(1+u^2)

=-2(m+n)/[√(mn)(m-n) ]∫d[√（n/m）u]/[1+(u√n/m)^2]+4∫[du/(m-n)]/(1+u^2)

=-2(m+n)/[(m-n)√（mn）]arctan(√n/m)u+[4/(m-n)]arctanu]+C

=-2a/[b√(a^2-b^2)]arctan[√(a-b)/(a+b)]tan(x/2)+(2/b)arctan(tanx/2)+C

y'=(y/x)ln(y/x)，

令u=y/x，dy=udx+xdu，

udx+xdu=ulnudx，

du/(ulnu-u)=dx/x

ln|lnu-1|=lnx+lnC

lnu-1=Cx，u=e^(Cx+1)，y=ux=xe^(Cx+1)