圆锥曲线的知识点及解题方法？

解题思路：把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用韦达定理和一元二次方程的根的判别式和题目要求来做，这就是必须的。

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。

（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p

　圆锥曲线问题是高中数学教学的重、难点。你知道怎么写有关圆锥曲线的小论文吗下面我给你分享高中数学圆锥曲线论文，欢迎阅读。

　 高中数学圆锥曲线论文篇一：高中数学圆锥曲线的教学研究

　圆锥曲线问题是高中数学教学的重、难点每年的高考中，都会涉及圆锥曲线问题，出题形式多样，既有分值较低的选择题和填空题，也有分值很高的大题但是学生的得分率普遍不高圆锥曲线教学的综合性和系统性强这不仅要求学生理解最基本的知识点，提高运算的速度和准确性，还要求学生能够灵活运用数形结合的方法，找到解题的突破口，化简变形，准确解题本文主要分析研究高中数学圆锥曲线的教学现状及其相应的对策

　一、高中数学圆锥曲线教学现状

　1从教师角度分析

　高中数学教学大纲中对圆锥曲线的教学目标、重难点知识的说明非常清楚大多数教师都明白圆锥曲线的重要性，而且在课堂上讲解圆锥曲线知识点和解题思路的时候很清晰不过，学生数学基础是有差异的对于圆锥曲线的内容，有的学生接受起来容易，有的学生接受起来比较困难这就要求教师在教学过程中要注重培养学生的学习兴趣，不能单凭过去的教学经验圆锥曲线经常会用到数形结合思想，有的教师在教学时会告诉学生要运用数形结合的方法，但没有清楚地告诉学生是如何想到用这种解题思想的教师应当让学生知其然，也要让学生知其所以然很多学生做不到举一反三，就是因为在学习圆锥曲线知识的时候教师看重结果的正确而忽视了解题思路的理解

　考虑到圆锥曲线知识在高考中所占的比重较大，几乎每一年的高考题中都会有所涉及因而，在教学过程中教师应当有意识地渗透，让学生清楚圆锥曲线知识学习的重要意义;圆锥曲线与向量、概率等其他模块的数学知识有密切的关系在教学过程中，教师也要重视学生其他模块数学知识的掌握，从宏观角度提高圆锥曲线教学的效率

　2从学生角度分析

　圆锥曲线的学习对学生的数学运算能力、推理能力、逻辑思维能力等各种数学能力的要求都非常高，对于很多学生来说，圆锥曲线学习起来的难度较大有的学生对这部分知识有畏惧心理，思想上的负担导致学习的困难加大;有的学生学习方法落后，在学习过程中，只是记忆圆锥曲线的相关概念、结论，或者模仿教材和教师的解题思路，但并没有真正理解概念、结论的意义，没有掌握知识之间内在的关联，尤其是综合运用知识的能力不够，不会举一反三圆锥曲线的题型有很多种，教师在课堂上一般会对每一种题型都进行详细的讲解，但是有的学生没有及时总结或者总结的时候流于形式，导致在考试中遇到圆锥曲线方面的题目失分

　二、提升高中数学圆锥曲线教学效率的措施

　1培养学生学习圆锥曲线的兴趣

　众所周知，兴趣是最好的老师学生只有真正热爱圆锥曲线的学习，才能事半功倍所以，教师在圆锥曲线的教学中应当运用有效的方法激发学生的学习兴趣比如在课堂教学中，教师可以创设问题情境作为课堂导入学生都在新闻上了解过人造地球卫星运转轨道，教师可以以此为切入点引入圆锥曲线的知识学生发现了圆锥曲线知识在生活中的运用，学习兴趣就会大大提升

　2教师要重视演示数学知识的形成过程

　考试中的选择题和填空题不必要求学生将解题过程详细呈现出来，不管用何种解题方法，只要结果正确就可以但是对于试卷中的大题，解题过程相当重要，清晰明了的解题过程是得分的关键，尤其是圆锥曲线的大题解题过程更是如此因而，教师在进行圆锥曲线的教学时，不能只重视结果，而是应当重视从多方面来讲解解题步骤，通过清晰的演示让学生掌握圆锥曲线的知识比如圆锥曲线中“多动点”的问题，很多学生不知如何理解，这时教师应当进行演示，让学生知道怎样运用参数求解法、怎样画图等

　3坚持学生的主体地位

　教学活动中，教师是引领者，学生是主体，任何情况下学生的主体地位都不能被削弱当学生学习圆锥曲线的知识遇到问题的时候，教师要认真解答;教学过程中，教师要了解学生的认知规律，鼓励学生探索，让学生带着浓厚的兴趣融入课堂;教师应当多肯定、赞扬学生，提高学生学习的主动性和积极性有的圆锥曲线的题目，不只有一种解题方法，对于这些题目，教师应当培养学生自主探究的能力，比较不同的解题方法，在考试中运用准确性和解题速度都高的方法

　三、结语

　高中圆锥曲线的难度较大，教师在教学的时候要把握好重难点，循序渐进，切忌急于求成，保证学生夯实基础的前提下，提高难度圆锥曲线教学过程中要因材施教，结合学生的接受能力来规划教学的进度和难易程度，对于学生提出的问题，教师要耐心认真的解答教师还应注重培养学生的数形结合思想，从而提高圆锥曲线教学的效率

　高中数学圆锥曲线论文篇二：圆锥曲线学习中的思考

　摘 要 根据教学中遇到的问题，尝试运用数学教育心理学的有关知识分析学生在学习椭圆时的问题和特点，分析产生的可能原因，根据这些特点将其迁移到双曲线的学习过程中。

　关键词 椭圆;双曲线;相似性质

　学生在学习椭圆和双曲线时，教师可能会更多的关注学生在学习中普遍存在的问题，虽然这些问题是导致学生学习困难的因素之一，但我觉得，因为这些问题在学生中比较普遍，也可以认为是他们学习这部分知识时所表现出的一种共性。归纳起来主要有以下几点：

　1、对椭圆的第一定义记忆太深刻，甚至有些机械化，以至于对后面将要讲的双曲线第一定义记忆不清，容易忘记“绝对值”的作用，或者说对“双曲线的一支”还是“两支”深感困惑。

　2、在推导椭圆的标准方程时，因为用到二次平方，虽然没有任何技巧性，但因为运算量大，学生就感觉难度很大，我曾经统计过将近有一半的学生自己当堂无法推导出结果。

　3、对教材中最后要求的标准形式有些困惑，因为二次平方后出现的是整式形式，这应该说是比较好的形式了，为什么还要画蛇添足，写成分式的形式呢

　4、研究椭圆的几何性质时，学生会感觉发现容易，结论漂亮，但记忆困难，变化多端，运用时想不起来，就是想起来了，也不知道该用哪一条性质，不能灵活应用，甚至有的学生感觉太神奇，摸不着。

　5、在学了双曲线之后，学生能发现椭圆与双曲线之间的关系比较密切，有关椭圆和双曲线的计算问题在解决过程中也有类似之处，但普遍感觉双曲线比椭圆难度大很多。

　我在接受本科教育时虽然学习过一些有关公共教育学和心理学的基本知识，但对教育心理学领域几乎没有接触。2010年在北京师范大学学习，院方给我们新疆班的教师们开了“数学教育心理学”这门课，时间很短，课时紧张，我也学的比较肤浅。但我还是想借助数学教育心理学的有关知识来尝试分析一下以上的问题。

　首先，有关椭圆的第一定义与双曲线的第一定义。

　“定义”属于概念的教学，“数学教育心理学”中有关“概念”的理解是：概念是指哲学、逻辑学、心理学等许多学科的研究对象。概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。由于数学的研究对象是事物的数量关系和空间形式，而这种关系和形式脱离了事物的具体属性，因此，数学概念有与此相对应的特点。学生的认知结构处于发展过程之中，他们的数学认知结构比较具体而简单、数学知识比较贫乏，在学习新的数学知识时，作为“固着点”的已有知识往往很少或者不具备。

　比如：学生在初中学习过圆的定义是“平面内到顶点的距离等于定长的点的轨迹”，此时涉及到的定点只有一个，定长就是所谓的“半径”。而椭圆和双曲线的第一定义中涉及到的定点有两个，并且还有“距离之和”与“距离之差的绝对值”的问题。由圆的图形容易联想到椭圆，但双曲线就比较困难。虽然初中学习过反比例函数，但这个内容也是难点，不太容易和双曲线联系起来。其实，这就是所谓的“经验”，它是概念学习的影响因素之一。

　其次，有关用二次平方法化简方程。

　在推导椭圆和双曲线的标准方程时，“化简”是必须要过的一关，在这一过程中，用到“二次平方法”以达到去除根号的目的。这种方法应该是学生必备的一种数学技能。

　数学技能是从数学知识掌握到数学能力形成和发展的中心环节，它分为“智慧技能”和“动作技能”，而“运算技能”是指能正确运用各种概念、公式、法则进行数学运算，做代数变换等。在此过程中正确运用“数学符号语言”也是必不可少的。在数学学习过程中，数学技能的形成非常重要，数学技能以数学知识的学习为载体，通过实际操作获得动作经验而逐渐形成。

　根据学生的学习经历，以往接触比较多的是一次方程，比较复杂的二次函数也只是在一个字母中出现了二次方。但椭圆的方程中，x、y的次数都是二次，从形式上看就比较难，学生在心理接受程度上难。加之，学生虽然会用平方法去根式，但局限在一次平方，像这样的二次平方法不太适应，甚至怀疑自己做错了。另外，由于我们学校是自治区重点中学，生源相对来说比较好，教师在授课时对学生的基础和能力估计过高也是一个不容忽视的因素。

　最后，椭圆与双曲线的相关性质。

　在教学中我发现，因为椭圆和双曲线的第一定义、第二定义都有类似的部分，学生已经能够感觉到二者的几何性质应该也有相似的地方。我也试图用椭圆的几何性质引导学生类比得出双曲线的相关性质，引导学生的思维自发的“迁移”，但对于那些比较简单的、一般的性质学生可以自行推出。比如：椭圆中的特殊三角形、椭圆的焦半径、椭圆的通径等。而对于稍微复杂一些的性质，学生就有些束手无策了。

　通过数学教育心理学的学习，我发现数学学习的迁移不是自动发生的，它受制于许多因素，其中最主要的有数学学习材料的因素、数学活动经验的概括水平以及数学学习定势。

　1、迁移需要对新旧学习中的经验进行分析、抽象，概括其中共同的经验成分才能实现，因此，数学学习材料在客观上要有相似性。心理学的研究表明，相似程度的大小决定着迁移效果和范围的大小。

　例如：椭圆和双曲线的定义中都有两个定点和一个定长，由这些条件推导出的有关椭圆特殊三角形和焦半径公式的相关性质，学生就比较容易类推到双曲线的，还有可能在焦半径的公式中发现：椭圆的焦半径公式只有一个，而双曲线要根据具体情况(左、右支;上、下支)区别对待。

　又如：椭圆的几何性质中有一条是：设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF;这条性质从叙述上比较长，学生可能直觉上认为推不出双曲线的类似性质。实际上，只要教师给学生一些勇气，鼓励他们大胆猜想，容易得出：设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF。再作出图形证明即可。可以说，椭圆和双去想的这条性质相似程度极高。　2、数学学习的迁移是一种学习中习得的数学活动经验对另一种学习的影响，也就是已有经验的具体化与新课题的类化过程或新、旧经验的协调过程。因此，概括水平越低，迁移范围越小，效果越差;反之，迁移的可能性就越大，效果也越好。

　例如：在探究椭圆的几何性质中有一条是：以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离;学生类比这条性质，可以得到双曲线以焦点弦PQ为直径的圆可能必与对应准线存在着某种关系。而圆与直线的位置关系不外乎有三种：相交、相离、相切。判断圆与直线的位置关系有两种常用的方法：一是用点到直线的距离判断;一种是用方程的根的情况判断。这些知识和技能学生是具备的，因此不难得出双曲线的相关性质，即：以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交。

　3、定势现象是一种预备性反应或反应的准备，它是在连续活动中发生的。在活动过程中，先前活动经验为后面的活动形成一种准备状态。它使学生倾向于在学习时以一种特定的方式进行反应。由于定势是关于选择活动方向的一种倾向性，因此对迁移来说，定势的影响既可以起促进作用也可以起阻碍作用。

　例如：在椭圆的概念中说的是到两定点的距离之和为定长的点的轨迹，而双曲线则是到两定点的距离之差的绝对值为定长的点的轨迹。由于思维定势，容易把“绝对值”忘掉，从而丢失一支双曲线。

　鉴于本人所学有限，分析的可能不是很准确，我会在今后的教学中反复思考，逐步改进。

　通过以上的分析，我认为：椭圆和双曲线的相关知识有许多共同的切入点，根据学生的学习特点，要抓准这些相似点，教师除了丰富的教学经验外，如果还能运用一定的心理学知识，找到学生学习时的心理活动，可能会带来更好的教学效果。

　在全国推进素质教育的今天，在新一轮国家基础教育课程改革实施之际，只关注教师“如何教”的问题显然已经远远不够，于是，对新的教材与学生新的学习方式的研究与探讨就显得十分迫切与必要。只有充分发挥数学教育的功能，全面提高年轻一代的数学素养，每一位数学教师才能为提高全民族素质，造就一代高质量的新型人才贡献自己的一份力量。

　参考文献

　[1]曹才翰，章建跃数学教育心理学[M]北京：北京师范大学出版社，2007

　[2]朱文芳中学生数学学习心理学[M]浙江教育出版社，2005

　[3] ISBN978-7-107-18662-2，数学[S]人民教育出版社，2008

高中数学圆锥曲线论文篇三：浅谈高考圆锥曲线中的存在性问题

　摘 要：在新课标、新考纲和新考试说明的精神指导下，高考数学科解析几何试题与以往大纲课程背景下考查形式和内容，有了显著的变化，这些试题不论在考试评价、命题研究还是高考复习，都成为专家、教师探讨的重点、热点，也是高考命题改革的一块试验田本文通过对近几年高考数学解析几何试题存在性问题的探究来揭示这些试题是如何贯彻课程标准，反应考试说明的意图，进而思考教师在解析几何的教学与高三复习策略。

　关键词：课程标准 数学高考 解析几何 存在性问题 思考

　前言

　最近几年的高考试题中，存在性问题出现的频率非常高，存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线定圆的问题。希望能够为老师的教学、高考复习提供有益的思考[1]

　一、是否存在这样的常数

　例1：(2009福建理)已知AB分别为曲线 与轴的左、右两个交点，直线I过点B，且与X轴垂直，S为I上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T

　(Ⅰ)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标;

　(II)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

　二、是否存在这样的点

　命题立意：第二问难度较大，是一个探究性的开放试题，判断是否存在满足题设的定点解决此题要突破两个关键：一是由图形的几何特征，判断出若定点存在，则必在 轴上，二是，题设要求“以PQ为直径的圆恒过点M”应转化为“ 对满足一定关系的m，k恒成立”，这里一定关系是指l与椭圆相切 本题主要考查运算求解能力、推理论证力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般的思想本题的亮点是体现代数方法对解决几何问题的作用，同时体现图形的几何性质对代数运算的方向和运算量的减小的作用，在推理论证上，体现不同思维方式引发不同的解题方法，对区分不同数学思维层次的学生有很好的作用

　三、是否存在这样的直线

　命题立意：第二问是开放性问题，判断满足题设的直线是否存在从逻辑思维的角度考虑，假设直线l存在，则l应满足三个条件① (可求k);②l与椭圆有公共点(可建立k与b的不等关系);③l与OA的距离等于4(可建立k与b的相等关系)，而确定一条直线只需两个条

　件即可因此，可利用l满足其中两个条件求出，再检验是否满足第三个条件，从而得出l是否存在这样，本题有多种不同的解法本题主要考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想本题的亮点是，背景学生熟悉，试题入口宽，可以用不同的想法和解法解决，使不同思维方式的学生都能做题，提供给学生充分展示自己的平台[3]

　四、是否存在这样的圆

　命题立意：本题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系

　结束语：1从教学的角度思考：在教学中要扎扎实实地讲好直线、圆、圆锥曲线及其几何性质等基础知识教学中要学生先通过画图，直观地理解要解决的几何问题的几何意义，再转化为代数问题求解，通过这个过程学生很容易体会数形结合的思想，体会解析几何的方法;在研究圆锥曲线时，弄清楚曲线方程和参变量的几何意义是第一位的，在此基础上，运用代数方程的方法解决几何问题，在解决几何问题之后，要回到几何意义的理解上几何是解决问题的出发点也是问题解决之后的落脚点，要避免让学生陷入代数的恒等变形而不理解其几何含义在分析问题、解决问题中要突出几何要素，注重几何要素的代数化，要在几何要素的引导下进行代数的恒等变形，要让几何图形帮助我们思考问题、确定恒等变形的方向、简化计算，体会几何直观给我们带来的好处

　2从高三复习备考的角度思考：①认真研读《考试大纲》、《考试说明》明确高考对解析几何基础知识、基本技能、基本思想、基本方法的要求，使复习工作有的放矢;②重视解决解析几何问题通法的训练从试题分析中可以看出，直线方程、圆的方程，圆锥曲线的方程和基本性质(基本量)是重点考查的知识点，一定要熟悉基本方法，而直线与圆锥曲线的位置关系及其引发的各类问题是主观题的考查热点，要通过典型例题的操作、讲解，帮助学生总结解题思路，思考策略和通行通法，此外，要注意解析几何与其他数学内容的交汇，加强知识整体性的认知，锻炼学生在对参数的运算处理和面对繁杂的数学式子变形时应有的沉着心理和坚强毅力;

　参考文献：

　[1]中华人民共和国教育部制订普通高中数学课程标准(实验)[M]北京：人民教育出版社2003

　[2福建省教育考试院编2012年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明[M]福建：福建教育出版社2012

　[3]王尚志数学教学研究与案例[M]北京：高等教育出版社2006

　三、常规七大题型：

　(1)中点弦问题

　具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为　　，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。

　如：(1)　　与直线相交于A、B，设弦AB中点为　　，则有　　。

　(2)　　与直线　　相交于A、B，设弦AB中点为　　,则有

　(3)　　与直线　　相交于A、B设弦AB中点为　　,则有　　,即　　

　(2)焦点三角形问题

　椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点　　构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

　(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

　直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

　(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

　圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

　<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

　<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

　<1>可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围;对于<2>首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

　最值问题的处理思路：

　1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围;

　2、数形结合，用化曲为直的转化思想;

　3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值;

　4、借助均值不等式求最值。

　(5)求曲线的方程问题

　1曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

　2曲线的形状未知-----求轨迹方程

　(6)存在两点关于直线对称问题

　在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

　(7)两线段垂直问题

　圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用　　来处理或用向量的坐标运算来处理。

　四、解题的技巧方面：

　在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

　(1)充分利用几何图形

　解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

　(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

　我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

　(3) 充分利用曲线系方程

　利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

　(4)充分利用椭圆的参数方程

　椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。

　(5)线段长的几种简便计算方法

　① 充分利用现成结果，减少运算过程

　一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程　　代入圆锥曲线方程中，得到型如　　的方程，方程的两根设为　　，判别式为△，则　　，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

　② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

　在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

　③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。

圆锥曲线硬解定理，又称圆锥曲线联立公式，其实是一套求解椭圆（或双曲线）与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦长的结果公式，常应用于解析几何。

在将圆锥曲线的方程与直线方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性，且一直无法用一个简洁的形式表示。

注意：

圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。

圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆。

　　数学圆锥曲线解题技巧

　1客观题部分

　例1 (新课标2·2015)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )。

　A。5 B。2 C。3 D。2

　解析 该题的核心知识点有两个：等腰三角形的性质;双曲线的标准方程和性质。①将双曲线方程设定为x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，如图;②因为AB=BM，∠ABM=120°，过点M作MN垂直于X轴，垂足为N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M点的坐标为(2a，3a)，③根据双曲线方程、c2=a2+b2以及离心率e=ca(e>1)，可以求的c2=2a2，e=2，因此本题选D。本题涉及的基本思想方法是待定系数法。

2主观题部分

　首先，是数形结合的思想方法，这种思想方法特点在于将圆锥曲线从平面的角度视为一种运动中的轨迹，在此背景下，题目的考核目标往往是与轨迹相关的边缘域问题、定值问题、最值问题等。

　例2 (山东·2015)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24a2+y24b2=1(a>b>0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1和F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。

　(Ⅰ)求椭圆C的方程。

　(Ⅱ)设椭圆E;x24a2+y24b2=1，p为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A和B两点，射线PO交椭圆E于点Q。

　(ⅰ)求OQOP的值。

　(ⅱ)求△ABQ面积的最大值。

　解析 本题的核心知识点有：椭圆的定义;韦达定理与最值问题;椭圆与直线的位置关系问题。①根据椭圆的定义2a是定值，以及e=32，结合椭圆的标准方程求的a=2，b=1，因此椭圆的方程为C：x24+y2=1。②根据题意，设OQOP=λ，P(x0，y0)，则Q(-λx0，-λy0)。又x24a2+y24b2=1，所以将P和Q带入方程解得，λ=2，所以OQOP=2。③根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)。将y=kx+m带入方程x216+y24=1得到(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，根据韦达定理，由Δ>0，m2<4+16k2(Ⅰ);x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因为直线y=kx+m与轴焦点的坐标为(0，m)，所以△ABO的面积为S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2(Ⅱ)。由(Ⅰ)和(Ⅱ)可得，0　　与数形结合的思想方法相适应的题目类型有：圆锥曲线通过构造出的三角形关系，与直线、韦达定理、函数的最值问题等建立起逻辑关联，依靠代数法或几何法解题，其中涉及例如联立方程法、整体消元法等解题技巧，强化计算能力，助力高考。

　其次，是化归、分类讨论以及函数与方程的思想方法，将这几种思想方法综合起来看，它主要强调考生通过建立起圆锥曲线与方程之间的关联，在简化思想模型的基础上，进行有效地推理与论证。建立在数形结合的基础上，分类锁定知识背景中的相关考点，化归简化思想路径，最终用代数转方程来表达圆锥曲线与关联对象之间的相互关系(例题略)。

总 结

　在对圆锥曲线问题的解答中，需要考生灵活运用相关知识，综合性的考虑各种可行性方案与可能的因素，配合一定的解题技巧和计算能力给出答案。

　圆锥曲线公式大全

　1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质

　2、判断椭圆是 x型还是y型只要看x对应的分母大还是y2对应的分母大，若x对应的分母大则x型，若y2对应的分母大则y型x2y2

　3、求椭圆方程一般先判定椭圆是x型还是y型，若为x型则可设为221，若为yaby2x222

　型则可设为221，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mxny1ab

　4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质

　2、判断双曲线是 x型还是y型只要看x前的符号是正还是y前的符号是正，若x前的符号为正则x型，若y前的符号为正则y型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为a22x2y2

　3、求双曲线方程一般先判定双曲线是x型还是y型，若为x型则可设为221，若aby2x2

　为y型则可设为221，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：abmx2ny21(mn0)

　6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程ymx，则可设双曲线方程为y2m2x2(0)，而后把点坐标代入求解

　7、椭圆、双曲线、抛物线与直线l:ykxb的弦长公式：AB 8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法

　9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：

　(1)假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y或x

　(2)求出判别式，并设点使用伟大定理

　(3)使用弦长公式

　1、抛物线的定义：平面内有一定点F及一定直线l (F不在l上)P点是该平面内一动点，当且仅当点P到F的距离与点P到直线l距离相等时，那么P的轨迹是以F为焦点，l为准线的一条抛物线————见距离想定义!!!

　2、(1)抛物线标准方程左边一定是x或y的平方(系数为1)，右边一定是关于x和y的一次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程!

　(2)抛物线的一次项为x即为x型，一次项为y即为y型!

　(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数!一次项为x，则准线为”x=多少”， 一次项为y，则准线为”y=多少”!

　(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴!

　(5)抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相!

　23、求抛物线方程，如果只知x型，则设它为yax (a0),a>o,开口朝右;a<0,开口朝左;2如果只知y型，则设它为xay(a0),a>o,开口朝上;a<0,开口朝下。

　4、抛物线简单的几何性质：

　(尤其对称性的性质要认真研究应用，经常由线对称挖掘出点对称，从而推出垂直平分等潜在条件!)

　1、 抛物线的焦点弦，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，且P,Q为抛物线y22px经过焦点的一条弦：p2

　(1)P(x1,y1),Q(x2,y2)两点坐标的关系：y1y2p,x1x2 42

　(2)焦点弦长公式：PQ(x1x2)p=2p(其中为直线PQ的倾斜角大小) 2sin

　(3)垂直于对称轴的焦点弦称为是通径，通径长为2p

　5、(1)直线与椭圆一个交点，则直线与椭圆相切。

　(2)直线与双曲线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与双曲线相切;第二种是直线与双曲线的渐近线平行。

　(3)直线与抛物线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与抛物线相切;第二种是直线与抛物线的对称轴平行。

　(4)直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不同两点>0;直线与抛物线交于一点0 (相切)或直线平行于抛物线的对称轴; 直线与抛物线不相交0

　6、判断点与抛物线、椭圆位置关系：先把方程化为标准式，而后把点代入，若大于，线外，等于线上，小于线内。

　7、在研究直线与双曲线，直线与椭圆，直线与抛物线位置关系时，若已知直线过一个点(x0,y0)时，往往设为点斜式：yy0k(xx0)，但是尤其要注意讨论斜率不存在的情况!!!斜率不存在则设为xx0

　11、用点差法解决双曲线的弦的中点问题，一定要记得把所求出的直线方程与双曲线方程联立消去y求出判别式，检验判别式如果小于0，则直线不存在!!!

　1、 椭圆上的一点到椭圆焦点的最大距离为ac，最小距离为ac，椭圆上取得最大

　距离和最小距离的点分别为椭圆长轴的两个顶点。

　2、 判断过已知点的直线与抛物线一个交点直线条数：

　(1) 若已知点在抛物线外，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有三条：相切两条，与对称轴平行一条。

　(2) 若已知点在抛物线上，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有两条：相切一条，与对称轴平行一条。

　(3) 若已知点在抛物线内，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有一条：相切0条，与对称轴平行一条。

　(1) 动点的轨迹方程。

　3、 求点的轨迹的五个步骤：

　(1) 建立直角坐标系(在不知点坐标的情况下)。

　(2) 设点：求什么点的轨迹就只能把该点设为(x,y),不能设为其它形式的坐标!!!

　(3) 根据直接法、代入法、定义法列出x和y的关系式。

　(4) 化简关系式。

　(5) 看看题目有没有什么限制条件，根据限制条件写出x或y 的范围!!!易错!!!

　7、过椭圆内部的一个点的直线必与椭圆相交，过双曲线或抛物线内部的一个点的直线与双曲线或抛物线至少有一个交点：与双曲线的渐近线平行，一个交点;不平行，两个交点;与抛物线的对称轴平行，一个交点;不平行，两个交点。

　导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。

　第一、圆锥曲线的解题方法：

　一、求圆锥曲线方程

　（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。

　例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2。求动点P的轨迹方程。

　解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。

　（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。

　上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。

　（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。

　例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。

　解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4。

　例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。

　解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。

　二、圆锥曲线最值问题

　（1）化为求二次函数的最值

　根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。

　例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。

　解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。

　（2）利用圆锥曲线性质求最值

　先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。

　例题：已知双曲线{C}的右焦点为F，有一点A（9，2）。试在双曲线上求一点M，使{C}的值最小。

　解析：设点M到对应准线的距离为d，由双曲线的第二定义有d={C}，{C}》点A到点M对应准线的距离{C}（点A在对应准线上的投影为点A’）。所以当且仅当点M为AA’与双曲线右支的交点时，{C}的值最小。

　（3）化为一元二次方程，用根的判别式求最值

　将最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用根的判别式求未知量范围求解。

　例题：直线y=x+9，椭圆C焦点为F1（—3，0），F2（3，0），求与直线有公共点M的椭圆中最短长轴。

　解析：直线与椭圆有公共点，根据题意可联立方程组{C}

　{C}，

　由条件得{C}，所以椭圆的最短长轴为{C}。

　（4）利用不等式求最值

　列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要取正值；②不等式的一边为常数；③等号能够成立。

　例题：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线{C}上移动，M为AB的中点，则M到y轴的最短距离。

　解析：设点A{C}，点B{C}，{C}，

　{C}，当且仅当{C}时取得最小值。所以{C}，点M到y轴距离最小值为{C}。

　三、直线与圆锥曲线位置关系问题

　直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判

　别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

　例题1：过点（2，4）作直线与抛物线{C}只有一个公共点，这样的直线有____条。

　解析：由于点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，和抛物线交于一点的直线，故有2条。

　例题2：直线y=kx+1与椭圆{C}恒有公共点，则m的取值范围是_____。

　解析：直线与椭圆恒有公共点，所以联立方程{C}恒成立，即{C}恒成立，所以{C}且{C}。

　四、求参数的取值范围

　与圆锥曲线有关的参数范围问题常用两种解法：

　（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。

　（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围。

　例题：已知点A（2，0）和抛物线{C}上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C纵坐标的取值范围。

　解析：由于B、C是抛物线上两个相关的点，所以可通过B点纵坐标的'范围建立关于C点纵坐标的不等式求解。设点B{C}，点C{C}，{C}，{C}，

　{C}，{C}，{C}，{C}，{C}。

　解得{C}或{C}。

　五、动点轨迹方程

　（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系{C}；

　如：已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求P点的轨迹方程。根据题意直接列式：{C}。

　（2）待定系数法：已知所有曲线的类型，根据条件设出所求曲线的方程，再由已知条件确定其待定系数。

　如：线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求此抛物线的方程。

　（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。

　（4）代入转移法：动点{C}依赖于另一动点{C}的变化为变化，并且{C}又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示{C}，再将{C}代入已知曲线求得轨迹方程。

　（5）参数法：当动点{C}坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得到参数方程，再消去参数得轨迹方程。

　六、定点定值问题

　在几何问题中，有些几何量和参数无关，从而构成定值问题，解决这类问题长用取参数和特殊值来确定定值的多少，或将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。这类问题通常有两种出来方法：

　（1）从特殊入手，求含变量定点定值，再证明这个定点定值与变量无关。

　（2）直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点定值。

　例题：过抛物线{C}的焦点F作直线l交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则{C}的值必等于_____。

　解析：

　①令直线与x轴垂直，则直线l：{C} {C}，{C}。

　②设{C}，{C}且PM，QN分别垂直于准线于M，N。

　{C}，{C}，{C}的焦点{C}，准线{C}，所以直线l：{C}，又因为直线l与抛物线相交，故联立方程组得：{C}，{C}，{C}

　{C}，{C}，{C}。

　第二、圆锥曲线的七种题型归纳：

　（1）中点弦问题

　（2）焦点三角形问题

　（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

　（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

　（5）求曲线的方程问题

　（6）存在两点关于直线对称问题

　（7）两线段垂直问题

　第三、 圆锥曲线的八大解题方法：

　1、定义法

　2、韦达定理法

　3、设而不求点差法

　4、弦长公式法

　5、数形结合法

　6、参数法（点参数、K参数、角参数）

　7、代入法中的顺序

　8、充分利用曲线系方程法

从现实来讲，用平面从不同角度横截圆锥，可以得到三类曲线：椭圆、双曲线、抛物线，自己想想该怎么截。。。

解析集合的角度，圆锥曲线统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

如果你会用集合画板或者别的软件作图，按照这个定义分别画个图就会得到你想要的曲线。

解：

联立方程组y=kx+b和x^2/4+y^2=/1

得（4k^2+1）x^2+8kbx+4b^2…………………………（你应该会化吧- -）

判别式=16（4k^2-b^2+1）

AB=根号下（1+k^2）|x1-x2|=2………………………………①

又∵O到AB得距离d=|b|/根号下(1+k^2)=2S/|AB|=1∴b^2=k^2+1………………………………②

把②代入①，得4k^4-4k^2+1=0

解得k^2=1/2，b^2=3/2

经检验判别式＞0（这部必须写！！！！！！！！！！！！）

∴直线方程是…………………………你应该会了吧