等比数列的求和公式是什么？

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 注：q=1 时，an为常数列。即a^n=a。

不妨设等比数列的首项a1=a，公比为q

其求和公式为：

若q=1，Sn=na

若q≠1，Sn=a×(q^n-1)/(q-1)

一、 等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。

，

且任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

和＝（首项＋末项）项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

项数=(末项－首项）/公差＋1

等差数列的应用：

日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，长安等差数列进行分级。

若为等差数列，且有ap=q,aq=p则a(p+q)＝－（p+q)。

若为等差数列，且有an=m,am=n则a(m+n)＝0。

等比数列：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

（1）等比数列的通项公式是：An=A1q^（n－1）

（2）前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)

且任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）若m，n，p，q∈N，则有：ap·aq=am·an，

等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质：

①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=apaq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，

在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金(1+利率)存期

1、等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

举例：

数列：2、4、8、16、······

每一项与前一项的比值：4÷2=8÷4=16÷8=2，所以这个数列是等比数列，而它的公比就是2。

2、等比数列的求和公示如下：

其中a1为首项，q为等比数列公比，Sn为等比数列前n项和。

还是以数列：2、4、8、16、······为例，a1=2，公比q=2，

假如是求前四项的和，即：Sn=2×（1-2^4）÷（1-2）=30，与2+4+8+16=30 相符。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期

等比数列的求和公式如下

对于有限项的等比数列，求和公式为：

Sn = a (1 - r^n) / (1 - r)

其中，

Sn 表示等比数列的前 n 项的和，

a 表示首项，

r 表示公比，

n 表示项数。

这个公式可以用来计算等比数列的前 n 项的和。

例如，如果我们要计算公比为 2，首项为 3 的等比数列的前 4 项的和，可以将公式中的 a 替换为 3，r 替换为 2，n 替换为 4，计算得到：

S4 = 3 (1 - 2^4) / (1 - 2) = 3 (1 - 16) / (-1) = -45

所以，该等比数列的前 4 项的和为 -45。

需要注意的是，这个求和公式仅在公比 r 的绝对值小于 1 时成立。若 r ≥ 1 或 r ≤ -1，等比数列的和将会趋向无穷大或无穷小，分别没有有限的结果。

等比数列的求和公式的应用

1 数学题目

在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。

2 财务和投资计算

在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。

3 等比缩放和增长率

在几何、地图绘制、模型设计等领域，经常需要进行等比缩放或计算增长率。通过等比数列的求和公式，可以确定每一级的尺寸或增长量，并计算总体的尺寸或增长量。

4 科学和工程问题

在科学和工程中，等比数列的求和公式可以用于建模和分析。例如，在电路分析中，可以使用等比数列的求和公式计算电阻、电感或电容网络的总阻抗。

这些只是等比数列求和公式的一些应用示例。实际上，等比数列的求和公式在各个领域都有广泛的应用，可以帮助解决许多与序列、累积和增长有关的问题。

等比数列的求和公式的例题

例题：计算等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项的和。

解法：

首先，观察给定的数列可以发现，公比 r = 3，首项 a = 2，项数 n = 5。

根据等比数列的求和公式：

Sn = a (1 - r^n) / (1 - r)

将具体的数值代入公式中，我们可以得到：

S5 = 2 (1 - 3^5) / (1 - 3)

计算结果为：

S5 = 2 (-242) / (-2) = 242

所以，等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项的和为 242。

通过这个例题，我们可以看到等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前 n 项的和，而不需要逐个相加。这在数学、财务和科学等领域的计算中非常实用。

等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有  ，即  为  与  的等比中项。

等差中项：G=（a+b）除以2

等比数列的通项公式是： 

若通项公式变形为  (n∈N),当q>0时，则可把  看作自变量n的函数，点(n,  )是曲线  上的一群孤立的点。

等比求和： 

①当q≠1时，  或 

②当q=1时， ，记  ，则有 

在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

扩展资料：

等比数列前n项之和：

①当q≠1时，  或 

②当q=1时， 

在等比数列中，首项a1与公比q都不为零

注意：上述公式中a^n表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期

等比数列的通项公式是：B n =q (n-1)b。

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

等比数列的特征：

1从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．

2由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0

等比数列的前n项和Sn：

1等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用。

2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误。

等比数列的判定方法：

1定义法：若an+1/an＝q(q为非零常数，n∈N)或an/an-1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N)，则{an}是等比数列．

2等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N)，则数列{an}是等比数列．

3通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列．

一、 等差数列

如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示

等差数列的通项公式为：

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0

在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项

,

且任意两项am,an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式

从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

若m,n,p,q∈N,且m+n=p+q,则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1

Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等

和＝（首项＋末项）项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

项数=(末项－首项）/公差＋1

等差数列的应用：

日常生活中,人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别

时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,长安等差数列进行分级

若为等差数列,且有ap=q,aq=p则a(p+q)＝－（p+q)

若为等差数列,且有an=m,am=n则a(m+n)＝0

等比数列：

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示

（1）等比数列的通项公式是：An=A1q^（n－1）

（2）前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)

且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

（4）若m,n,p,q∈N,则有：ap·aq=am·an,

等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的

性质：

①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=apaq；

②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零

注意：上述公式中A^n表示A的n次方

等比数列在生活中也是常常运用的

如：银行有一种支付利息的方式---复利

即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金,

在计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金(1+利率)存期