【材料力学】外伸梁端部受集中荷载，证明其挠曲线方程为w=（Fx^2）(x-3l)6EI

首先，你把概念弄错了，这个挠曲线方程应该是悬臂梁的，不是外伸梁的。

　　悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁。

　　外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁。具体看图。

　　证明过程由于有公式，所以也在图上。其实这就是附表“梁的挠度与转角”的第一种情况，这个挠曲线方程可以不作公式来记忆，但B端挠度和转角应该记一下。记住基本的情况有助于用叠加法或逐段刚化法来解题。不过如果用能量法（卡式第二定理或单位载荷发）就基本不需要记这些东西了。

左端为原点，x沿梁轴线向右，y轴向上为正，转角逆时针为正。

设梁曲线方程y=f(x),转角≈y',（近似公式tanα≈α）

取dx长微段，M(x)=qLx/2-qx²/2,

微段的转角增量=y''dx=M(x)/EI=(qLx/2-qx²/2)dx/EI

积分：y'=(qLx²/4-qx³/6)/EI+C，x=L/2时，y'=0

0=(qL³/16-qL³/48）/EI+C

C=(-qL³/16+qL³/48）/EI

=-qL³/24EI

y'=(qLx²/4-qx³/6)/EI-qL³/24EI

y=(qLx³/12-qx^4/24-qL³x/24)/EI+D

x=0，y=0

D=0

y=(qLx³/12-qx^4/24-qL³x/24)/EI

x=L/2,y最大：

ymax=y=(qL^4/96-qL^4/384-qL^4/48)/EI

=-5qL³/384EI

x=0,L时，梁转角最大：

y'=(qLx²/4-qx³/6)/EI-qL³/24EI

x=0，转角-qL³/24EI

x=L，转角=qL³/24EI