小刚上午写了26个大字，比下午多写6个，小刚一共写几个大字

例1计算：例2已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图)化简分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0解由数轴知，a0所以，=-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+c-b=-2a+c例3计算：分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便　　解原式==　例4计算：2-22-23-24-……-218-219+220　　分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）=2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）=2-22-23-24-……-217+218=……=2-22+23=6核心练习1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：的值（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1）2、代数式的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）参考答案1、2、3字母表示数篇核心提示用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法典型例题例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的解由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==例2已知代数式，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=-1时，代数式的值是分析当x=1时，可直接代入得到答案但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶解当x=1时，==3当x=-1时，==1例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25……752=5625=，852=7225=（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算20052的值　　分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变　　解(1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25(3)20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③S表示三角形的个数（1）当n=4时，S=，（2）请按此规律写出用n表示S的公式分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的解(1)S=13(2)可列表找规律：n123…nS159…4(n-1)+1S的变化过程11+4=51+4+4=9…1+4+4+…+4=4(n-1)+1所以S=4(n-1)+1(当然也可写成4n-3)核心练习1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，，，，，①填空：第11，12，13三个数分别是，，；②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？2、观察下列各式:1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:参考答案1、①，，;②;③02、1+n×(n+2)=(n+1)2平面图形及其位置关系篇核心提示平面图形是简单的几何问题几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便典型例题例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个　分析6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律列出表格会更清楚解找交点最多的规律：直线条数234…n交点个数136…交点个数变化过程11+2=31+2+3=6…1+2+3+…+(n-1)图形图1图2图3…例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线A．20B．36C．34D．22分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线故选D例3如图，OM是∠AOB的平分线射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______　分析求∠MON有两种思路可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON根据两条角平分线，想法和已知的∠AOC靠拢解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的解因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，　　　所以∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠COB　所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°例4如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC（1）求∠DOE的大小；（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论　　分析此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE，和OC在∠AOB内的位置无关解(1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB因为∠AOB=60°所以∠DOE=∠AOB=×60°=30°(2)由（1）知∠DOE=∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同核心练习1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分参考答案1、15条2、一元一次方程篇核心提示一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。典型例题例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入解由2x+3=2a，得2x=2a-3把2x=2a-3代入2x+a=2得2a-3+a=2，3a=5,所以例2解方程分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况解两边同时乘以6，得6x-3(x-1)=12-2(x+1)去分母，得6x-3x+3=12-2x-26x-3x+2x=12-2-35x=7x=例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了64%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为,原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得：+8%=解得y=117x故这种商品原来的利润率为=17%例4解方程│x-1│+│x-5│=4分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=51和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：1）当x5时，原方程可化为(x-1)+(x-5)=4，解得x=5因x>5，故应舍去所以，1≤x≤5是比不过的。核心练习1、已知关于x的方程3[x-2(x-)]=4x和有相同的解，那么这个解是（提示：本题可看作例1的升级版）2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时参考答案1、2、48生活中的数据篇核心提示生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的典型例题例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：（1）你是怎样设计统计图的？（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的解用复式条形统计图：（如下图）从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：（1）三幅统计图分别表示了什么内容？（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答解（1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比（2）折线统计图（3）80亿，折线统计图（4）扇形统计图核心练习1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）哪国金牌数最多？（2）中国可排第几位？（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？参考答案1、（1）美国（2）第3位（3）俄罗斯平行线与相交线篇核心提示平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了这部分另一核心知识是写证明过程有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了典型例题例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条A．7B．6C．9D．8分析与解这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线故选D例2已知∠BED=60°,∠B=40°,∠D=20°,求证：AB∥CD分析要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角因此可以考虑作辅助线让他们建立联系延长BE可用内错角证明平行过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD连接BD，利用同旁内角互补也可证明解延长BE交CD于O，∵∠BED=60°,∠D=20°，∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,∵∠B=40°，∴∠BOD=∠B，∴AB∥CD其他方法，可自己试试！例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF=∠BDF分析由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论解∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE∥DF∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠DCE，∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE，∴∠EDF=∠ACE∵CE是∠ACB的平分线，∴∠DCE=∠ACE，∴∠EDF=∠BDF例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数分析已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数解∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-（180°-∠C）=90°+∠C所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住）核心练习1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α(提示：本题可看作例2的升级版)2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F参考答案1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线2、先证BD∥CE，再证DF∥AC三角形篇核心提示三角形全等的核心问题是证全等根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等典型例题例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE求证：△ADB≌△DEC分析要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角由条件∠1=∠B知，找角比较容易通过外角可得到∠BDA=∠CED证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠1=∠B，∴∠1=∠C，∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1∴∠BDA=∠CED在△ADB和△DEC中，∴△ADB≌△DEC（AAS）例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD分析要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等下面给出第一种思路的过程证明在AB上截取AF=AC，连接EF，∵EA别平分∠CAB，∴∠CAE=∠FAE，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠BFE=∠D∵EB平分∠DBA,∴∠FBE=∠DBE在△BFE和△BDE中∴△BFE≌△BDE(AAS),∴BF=BD∵AB=AF+BF,∴AB=AC+BD例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ分析观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°证明（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，∴∠ABP=∠QCA在△ABP和△QCA中∴△ABP≌△QCA(SAS),∴AP=AQ（2）由（1）△ABP≌△QCA，∴∠P=∠QAC，∵∠P+∠PAD=90°，∴∠QAC+∠PAD=90°，∴AP⊥AQ核心练习1、如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠AFE=_____度2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=ACD为AC中点，AE⊥BD，垂足为E延长AE交BC于F求证：∠ADB=∠CDF参考答案1、602、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD生活中的轴对称篇核心提示轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用典型例题例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称分析与解根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的例2下列图形中对称轴条数最多的是()A正方形B长方形C等腰三角形D等腰梯形E等边三角形F角G线段H圆I正五角星分析与解有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H故选H例3如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根分析由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了解每添加一根钢管，就形成一个外角如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB可列表找规律：添加钢管数1234…8形成的外角度数20304050…90当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了故最多能添加这样的钢管8根例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？分析本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小也可作B的对称点确定C点解如图所示，C点即为所求饮水处的位置核心练习1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF这个图形是轴对称图形吗？为什么？参考答案1、略2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效

例1计算：

例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图)化简

分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0

解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0

所以， = -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c

例3 计算：

分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便

　　解 原式= =

　 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220

　　分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的

解 原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）

=2-22-23-24-……-218+219

=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）

=2-22-23-24-……-217+218

=……

=2-22+23

=6

核心练习

1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求： 的值

（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1）

2、代数式 的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个）

参考答案

1、 2、3

字母表示数篇

核心提示

用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法

典型例题

例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____

分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得 ,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案 这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的

解 由3x-6y-5=0，得

所以2x-4y+6=2(x-2y)+6= =

例2已知代数式 ，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=-1时，代数式的值是

分析 当x=1时，可直接代入得到答案但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶

解 当x=1时，

= =3

当x=-1时，

= =1

例3 152=225=100×1（1+1）+25， 252=625=100×2（2+1）+25

352=1225=100×3（3+1）+25， 452=2025=100×4（4+1）+25……

752=5625= ，852=7225=

（1）找规律，把横线填完整；

（2）请用字母表示规律;

（3）请计算20052的值

　　分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变

　　解 (1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25

(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25

(3) 20052=100×200（200+1）+25=4020025

例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③S表示三角形的个数

（1）当n=4时，S= ，

（2）请按此规律写出用n表示S的公式

分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的

解 (1)S=13

(2)可列表找规律：

n

1

2

3

…

n

S

1

5

9

…

4(n-1)+1

S的变化过程

1

1+4=5

1+4+4=9

…

1+4+4+…+4=4(n-1)+1

所以S=4(n-1)+1(当然也可写成4n-3)

核心练习

1、观察下面一列数，探究其中的规律：

—1， ， ， ， ，

①填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；

②第2008个数是什么？

③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？

2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,……请将你找出的规律用公式表示出来:

参考答案

1、① ， ， ;② ;③0

2、1+n×(n+2) = (n+1)2

平面图形及其位置关系篇

核心提示

平面图形是简单的几何问题几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便

典型例题

例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个　

分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律列出表格会更清楚

解 找交点最多的规律：

直线条数

2

3

4

…

n

交点个数

1

3

6

…

交点个数变化过程

1

1+2=3

1+2+3=6

…

1+2+3+…+(n-1)

图形

图1

图2

图3

…

例2 两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（ ）条直线

A．20 B．36 C．34 D．22

分析与解 让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线故选D

例3 如图，OM是∠AOB的平分线射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______

　 分析 求∠MON有两种思路可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON根据两条角平分线，想办法和已知的∠AOC靠拢解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的

解 因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，

　　　 所以∠MOB= ∠AOB，∠NOB= ∠COB

　 所以∠MON=∠MOB-∠NOB= ∠AOB- ∠COB= （∠AOB-∠COB）= ∠AOC= ×80°=40°

例4 如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC

（1）求∠DOE的大小；

（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论

　　分析 此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE， 和OC在∠AOB内的位置无关

解 (1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC

所以∠DOC= ∠BOC，∠COE= ∠COA

所以∠DOE=∠DOC+∠COE= ∠BOC+ ∠COA= （∠BOC+∠COA）= ∠AOB

因为∠AOB=60°

所以∠DOE = ∠AOB= ×60°=30°

(2)由（1）知∠DOE = ∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同

核心练习

1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条

2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分

参考答案

1、15条 2、

一元一次方程篇

核心提示

一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。

典型例题

例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值

分析 因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入

解 由2x+3=2a，得 2x=2a-3

把2x=2a-3代入2x+a=2得

2a-3+a=2，

3a=5,

所以

例2 解方程

分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况

解 两边同时乘以6，得

6x-3(x-1)=12-2(x+1)

去分母，得

6x-3x+3=12-2x-2

6x-3x+2x=12-2-3

5x=7

x=

例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了64%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率

分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程

解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为

,原进价降低后在销售时的利润率为 ,由题意得：

+8%=

解得 y=117x

故这种商品原来的利润率为 =17%

例4解方程 │x-1│+│x-5│=4

分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论

解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=51和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：

1）当x<1时，原方程可化为 –(x-1)-(x-5)=4，解得 x=1因x<1，所以x=1应舍去

2）当1≤x≤5时，原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4，解得 4=4，所以x在1≤x≤5范围内可任意取值

3）当x>5时，原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4，解得 x=5因x>5，故应舍去

所以， 1≤x≤5是比不过的。

核心练习

1、已知关于x的方程3[x-2(x- )]=4x和 有相同的解，那么这个解是 （提示：本题可看作例1的升级版）

2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时

参考答案

1、 2、48

生活中的数据篇

核心提示

生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的

典型例题

例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）

研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：

（1）你是怎样设计统计图的？

（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法

分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的

解 用复式条形统计图：（如下图）

从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场

例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：

（1）三幅统计图分别表示了什么内容？

（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？

（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？

（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？

分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答

解 （1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比

（2）折线统计图

（3）80亿，折线统计图

（4）扇形统计图

核心练习

1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）哪国金牌数最多？

（2）中国可排第几位？

（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？

参考答案

1、（1）美国 （2）第3位 （3）俄罗斯

平行线与相交线篇

核心提示

平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了

这部分另一核心知识是写证明过程有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了

典型例题

例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条

A．7 B．6 C．9 D．8

分析与解 这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线故选D

例2已知∠BED=60°, ∠B=40°, ∠D=20°,求证：AB∥CD

分析 要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角因此可以考虑作辅助线让他们建立联系延长BE可用内错角证明平行过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD连接BD，利用同旁内角互补也可证明

解 延长BE交CD于O，

∵∠BED=60°, ∠D=20°，

∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,

∵∠B=40°，

∴∠BOD=∠B，

∴AB∥CD

其他方法，可自己试试！

例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证： ∠EDF=∠BDF

分析 由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论

解 ∵CE⊥AB，DF⊥AB，

∴CE∥DF

∴∠EDF=∠DEC， ∠BDF=∠DCE，

∵AC∥ED，

∴∠DEC=∠ACE，

∴∠EDF=∠ACE

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠DCE=∠ACE，

∴∠EDF=∠BDF

例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数

分析 已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数

解 ∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，

∴∠OAB= ∠CAB，∠OBA= ∠CBA，

∴∠OAB+∠OBA= ∠CAB+ ∠CBA= （∠CAB+∠CBA）= （180°-∠C）=45°，

∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°

（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°- （180°-∠C）

=90°+ ∠C

所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住）

核心练习

1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α(提示：本题可看作例2的升级版)

2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，

∠C=∠D，求证：∠A=∠F

参考答案

1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线

2、先证BD∥CE，再证DF∥AC

三角形篇

核心提示

三角形全等的核心问题是证全等根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等

典型例题

例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE求证：△ADB≌△DEC

分析 要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角由条件∠1=∠B知，找角比较容易通过外角可得到∠BDA=∠CED

证明 ∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠1=∠B，

∴∠1=∠C，

∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1

∴∠BDA=∠CED

在△ADB和△DEC中

，

∴△ADB≌△DEC （AAS）

例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD

分析 要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等下面给出第一种思路的过程

证明 在AB上截取AF=AC，连接EF，

∵EA别平分∠CAB，

∴∠CAE=∠FAE，

在△ACE和△AFE中

，

∴△ACE≌△AFE（SAS），

∴∠C=∠AFE

∵AC∥BD，

∴∠C+∠D=180°，

∵∠AFE+∠BFE=180°，

∴∠BFE=∠D

∵EB平分∠DBA,

∴∠FBE=∠DBE

在△BFE和△BDE中

∴△BFE≌△BDE(AAS),

∴BF=BD

∵AB=AF+BF,

∴AB=AC+BD

例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ

分析 观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°

证明 （1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，

∴∠AEC=∠ADB=90°，

∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，

∴∠ABP=∠QCA

在△ABP和△QCA中

∴△ABP≌△QCA(SAS),

∴AP=AQ

（2）由（1）△ABP≌△QCA，

∴∠P=∠QAC，

∵∠P+∠PAD=90°，

∴∠QAC+∠PAD=90°，

∴AP⊥AQ

核心练习

1、如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠AFE=_____度

2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=ACD为AC中点，AE⊥BD，垂足为E延长AE交BC于F求证：∠ADB=∠CDF

参考答案

1、60

2、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD

生活中的轴对称篇

核心提示

轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用

典型例题

例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称

分析与解 根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的

例2下列图形中对称轴条数最多的是( )

A正方形 B长方形 C等腰三角形 D等腰梯形

E等边三角形 F角 G线段 H圆 I正五角星

分析与解 有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H故选H

例3 如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根

分析 由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了

解 每添加一根钢管，就形成一个外角如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB可列表找规律：

添加钢管数

1

2

3

4

…

8

形成的外角度数

20

30

40

50

…

90

当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了故最多能添加这样的钢管8根

例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？

分析 本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位 置不容易本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小也可作B的对称点确定C点

解 如图所示，C点即为所求饮水处的位置

核心练习

1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意

2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF这个图形是轴对称图形吗？为什么？

参考答案

1、略

2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线

通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效

核心例题

例1计算：

分析 此题共有2006项，

是太麻烦有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成 ，可利用通项 ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解

解 原式=

=

=

=

例2 已知

a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图)化简

分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0

解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0

所以， = -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c

例3 计算：

分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便

　　解 原式= =

　 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220

　　分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的

解 原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）

=2-22-23-24-……-218+219

=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）

=2-22-23-24-……-217+218

=……

=2-22+23

=6

核心练习

1、已知│ab-2│与│b-1│互为

，试求： 的值

（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1）

2、

的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个）

参考答案

1、 2、3

篇

核心提示

用

部分核心知识是求

的值和找规律求

的值时，单纯代入一个数求值是很简单的如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法

典型例题

例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____

分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得 ,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案 这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的

解 由3x-6y-5=0，得

所以2x-4y+6=2(x-2y)+6= =

例2已知代数式 ，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=-1时，代数式的值是

分析 当x=1时，可直接代入得到答案但当x=-1时，n和(n-1)

怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶

解 当x=1时，

= =3

当x=-1时，

= =1

例3 152=225=100×1（1+1）+25， 252=625=100×2（2+1）+25

352=1225=100×3（3+1）+25， 452=2025=100×4（4+1）+25……

752=5625= ，852=7225=

（1）找规律，把横线填完整；

（2）请用字母表示规律;

（3）请计算20052的值

　　分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变

　　解 (1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25

(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25

(3) 20052=100×200（200+1）+25=4020025

例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③S表示三角形的个数

（1）当n=4时，S= ，

（2）请按此规律写出用n表示S的公式

分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的

解 (1)S=13

(2)可列表找规律：

n 1 2 3 … n

S 1 5 9 … 4(n-1)+1

S的变化过程 1 1+4=5 1+4+4=9 … 1+4+4+…+4=4(n-1)+1

所以S=4(n-1)+1(当然也可写成4n-3)

核心练习

1、观察下面一列数，探究其中的规律：

—1， ， ， ， ，

①填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；

②第2008个数是什么？

③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？

2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,……请将你找出的规律用公式表示出来:

参考答案

1、① ， ， ;② ;③0

2、1+n×(n+2) = (n+1)2

及其位置关系篇

核心提示

是简单的几何问题几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便

典型例题

例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个　

分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律列出表格会更清楚

解 找交点最多的规律：

直线条数 2 3 4 … n

交点个数 1 3 6 …

交点个数变化过程 1 1+2=3 1+2+3=6 … 1+2+3+…+(n-1)

图形 图1 图2 图3 …

例2 两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（ ）条直线

A．20 B．36 C．34 D．22

分析与解 让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线故选D

例3 如图，OM是∠AOB的平分线射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______

　 分析 求∠MON有两种思路可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON根据两条

，想办法和已知的∠AOC靠拢解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的

解 因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，

　　　 所以∠MOB= ∠AOB，∠NOB= ∠COB

　 所以∠MON=∠MOB-∠NOB= ∠AOB- ∠COB= （∠AOB-∠COB）= ∠AOC= ×80°=40°

例4 如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC

（1）求∠DOE的大小；

（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论

　　分析 此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE， 和OC在∠AOB内的位置无关

解 (1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC

所以∠DOC= ∠BOC，∠COE= ∠COA

所以∠DOE=∠DOC+∠COE= ∠BOC+ ∠COA= （∠BOC+∠COA）= ∠AOB

因为∠AOB=60°

所以∠DOE = ∠AOB= ×60°=30°

(2)由（1）知∠DOE = ∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同

核心练习

1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条

2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分

参考答案

1、15条 2、

篇

核心提示

的核心问题是解方程和列方程

。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程

，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。

典型例题

例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值

分析 因为两

相同，可以先解出其中一个，把这个

代入另一个方程，即可求解认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入

解 由2x+3=2a，得 2x=2a-3

把2x=2a-3代入2x+a=2得

2a-3+a=2，

3a=5,

所以

例2 解方程

分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况

解 两边同时乘以6，得

6x-3(x-1)=12-2(x+1)

去分母，得

6x-3x+3=12-2x-2

6x-3x+2x=12-2-3

5x=7

x=

例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了64%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率

分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程

解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为

,原进价降低后在销售时的利润率为 ,由题意得：

+8%=

解得 y=117x

故这种商品原来的利润率为 =17%

例4解方程 │x-1│+│x-5│=4

分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论

解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=51和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：

1）当x<1时，原方程可化为 –(x-1)-(x-5)=4，解得 x=1因x<1，所以x=1应舍去

2）当1≤x≤5时，原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4，解得 4=4，所以x在1≤x≤5范围内可任意取值

3）当x>5时，原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4，解得 x=5因x>5，故应舍去

所以， 1≤x≤5是比不过的。

核心练习

1、已知关于x的方程3[x-2(x- )]=4x和 有相同的解，那么这个解是 （提示：本题可看作例1的升级版）

2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的

是____千米/小时

参考答案

1、 2、48

生活中的数据篇

核心提示

生活中的数据问题，我们要分清三种

的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的

典型例题

例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）

研究一下可以用哪些

来分析比较这两支球队，并回答下列问题：

（1）你是怎样设计

的？

（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法

分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定本题可以用复式

，达到直观、有效地目的

解 用复式

：（如下图）

从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场

例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：

（1）三幅统计图分别表示了什么内容？

（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？

（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？

（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？

分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答

解 （1）

表示世界人囗的变化趋势，

表示各洲人囗的多少，

表示各洲占世界人囗的百分比

（2）

（3）80亿，

（4）

核心练习

1、如下图为第27届奥运会金牌

，根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）哪国金牌数最多？

（2）中国可排第几位？

（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？

参考答案

1、（1）美国 （2）第3位 （3）俄罗斯

平行线与相交线篇

核心提示

平行线与相交线核心知识是

与判定单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了

这部分另一核心知识是写证明过程有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了

典型例题

例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条

A．7 B．6 C．9 D．8

分析与解 这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线故选D

例2已知∠BED=60°, ∠B=40°, ∠D=20°,求证：AB∥CD

分析 要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或

因此可以考虑作辅助线让他们建立联系延长BE可用

证明平行过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD连接BD，利用

互补也可证明

解 延长BE交CD于O，

∵∠BED=60°, ∠D=20°，

∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,

∵∠B=40°，

∴∠BOD=∠B，

∴AB∥CD

其他方法，可自己试试！

例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证： ∠EDF=∠BDF

分析 由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用

和同位角相等可得到结论

解 ∵CE⊥AB，DF⊥AB，

∴CE∥DF

∴∠EDF=∠DEC， ∠BDF=∠DCE，

∵AC∥ED，

∴∠DEC=∠ACE，

∴∠EDF=∠ACE

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠DCE=∠ACE，

∴∠EDF=∠BDF

例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数

分析 已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由

性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数

解 ∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，

∴∠OAB= ∠CAB，∠OBA= ∠CBA，

∴∠OAB+∠OBA= ∠CAB+ ∠CBA= （∠CAB+∠CBA）= （180°-∠C）=45°，

∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°

（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°- （180°-∠C）

=90°+ ∠C

所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住）

核心练习

1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α(提示：本题可看作例2的升级版)

2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，

∠C=∠D，求证：∠A=∠F

参考答案

1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线

2、先证BD∥CE，再证DF∥AC

三角形篇

核心提示

三角形全等的核心问题是证全等根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等

典型例题

例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE求证：△ADB≌△DEC

分析 要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角由条件∠1=∠B知，找角比较容易通过

可得到∠BDA=∠CED

证明 ∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠1=∠B，

∴∠1=∠C，

∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1

∴∠BDA=∠CED

在△ADB和△DEC中

，

∴△ADB≌△DEC （AAS）

例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD

分析 要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等下面给出第一种思路的过程

证明 在AB上截取AF=AC，连接EF，

∵EA别平分∠CAB，

∴∠CAE=∠FAE，

在△ACE和△AFE中

，

∴△ACE≌△AFE（SAS），

∴∠C=∠AFE

∵AC∥BD，

∴∠C+∠D=180°，

∵∠AFE+∠BFE=180°，

∴∠BFE=∠D

∵EB平分∠DBA,

∴∠FBE=∠DBE

在△BFE和△BDE中

∴△BFE≌△BDE(AAS),

∴BF=BD

∵AB=AF+BF,

∴AB=AC+BD

例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ

分析 观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°

证明 （1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，

∴∠AEC=∠ADB=90°，

∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，

∴∠ABP=∠QCA

在△ABP和△QCA中

∴△ABP≌△QCA(SAS),

∴AP=AQ

（2）由（1）△ABP≌△QCA，

∴∠P=∠QAC，

∵∠P+∠PAD=90°，

∴∠QAC+∠PAD=90°，

∴AP⊥AQ

核心练习

1、如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠AFE=_____度

2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=ACD为AC中点，AE⊥BD，垂足为E延长AE交BC于F求证：∠ADB=∠CDF

参考答案

1、60

2、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD

生活中的

篇

核心提示

核心问题是轴

质和等腰三角形

问题我们要会画对称点和

，会通过对称点找最短线路等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用

典型例题

例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称

分析与解 根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的

例2下列图形中对称轴条数最多的是( )

A正方形 B长方形 C等腰三角形 D

E等边三角形 F角 G线段 H圆 I正五角星

分析与解 有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H故选H

例3 如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根

分析 由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了

解 每添加一根钢管，就形成一个

如添加EF形成

∠FEA，添加FG形成外角∠GFB可列表找规律：

添加钢管数 1 2 3 4 … 8

形成的外角度数 20 30 40 50 … 90

当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了故最多能添加这样的钢管8根

例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？

分析 本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小也可作B的对称点确定C点

解 如图所示，C点即为所求饮水处的位置

核心练习

1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个

，并用简练的语言文字说明你的创意

2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF这个图形是

吗？为什么？

参考答案

1、略

2、是

，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线

通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，

，灵活应变不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效

例1计算：例2已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图)化简分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0解由数轴知，a0所以，=-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+c-b=-2a+c例3计算：分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便　　解原式==　例4计算：2-22-23-24-……-218-219+220　　分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）=2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）=2-22-23-24-……-217+218=……=2-22+23=6核心练习1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：的值（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1）2、代数式的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）参考答案1、2、3字母表示数篇核心提示用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法典型例题例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的解由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==例2已知代数式，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=-1时，代数式的值是分析当x=1时，可直接代入得到答案但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶解当x=1时，==3当x=-1时，==1例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25……752=5625=，852=7225=（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算20052的值　　分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变　　解(1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25(3)20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③S表示三角形的个数（1）当n=4时，S=，（2）请按此规律写出用n表示S的公式分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的解(1)S=13(2)可列表找规律：n123…nS159…4(n-1)+1S的变化过程11+4=51+4+4=9…1+4+4+…+4=4(n-1)+1所以S=4(n-1)+1(当然也可写成4n-3)核心练习1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，，，，，①填空：第11，12，13三个数分别是，，；②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？2、观察下列各式:1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:参考答案1、①，，;②;③02、1+n×(n+2)=(n+1)2平面图形及其位置关系篇核心提示平面图形是简单的几何问题几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便典型例题例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个　分析6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律列出表格会更清楚解找交点最多的规律：直线条数234…n交点个数136…交点个数变化过程11+2=31+2+3=6…1+2+3+…+(n-1)图形图1图2图3…例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线A．20B．36C．34D．22分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线故选D例3如图，OM是∠AOB的平分线射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______　分析求∠MON有两种思路可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON根据两条角平分线，想法和已知的∠AOC靠拢解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的解因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，　　　所以∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠COB　所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°例4如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC（1）求∠DOE的大小；（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论　　分析此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE，和OC在∠AOB内的位置无关解(1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB因为∠AOB=60°所以∠DOE=∠AOB=×60°=30°(2)由（1）知∠DOE=∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同核心练习1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分参考答案1、15条2、一元一次方程篇核心提示一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。典型例题例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入解由2x+3=2a，得2x=2a-3把2x=2a-3代入2x+a=2得2a-3+a=2，3a=5,所以例2解方程分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况解两边同时乘以6，得6x-3(x-1)=12-2(x+1)去分母，得6x-3x+3=12-2x-26x-3x+2x=12-2-35x=7x=例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了64%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为,原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得：+8%=解得y=117x故这种商品原来的利润率为=17%例4解方程│x-1│+│x-5│=4分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=51和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：1）当x5时，原方程可化为(x-1)+(x-5)=4，解得x=5因x>5，故应舍去所以，1≤x≤5是比不过的。核心练习1、已知关于x的方程3[x-2(x-)]=4x和有相同的解，那么这个解是（提示：本题可看作例1的升级版）2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时参考答案1、2、48生活中的数据篇核心提示生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的典型例题例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：（1）你是怎样设计统计图的？（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的解用复式条形统计图：（如下图）从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：（1）三幅统计图分别表示了什么内容？（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答解（1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比（2）折线统计图（3）80亿，折线统计图（4）扇形统计图核心练习1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）哪国金牌数最多？（2）中国可排第几位？（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？参考答案1、（1）美国（2）第3位（3）俄罗斯平行线与相交线篇核心提示平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了这部分另一核心知识是写证明过程有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了典型例题例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条A．7B．6C．9D．8分析与解这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线故选D例2已知∠BED=60°,∠B=40°,∠D=20°,求证：AB∥CD分析要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角因此可以考虑作辅助线让他们建立联系延长BE可用内错角证明平行过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD连接BD，利用同旁内角互补也可证明解延长BE交CD于O，∵∠BED=60°,∠D=20°，∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,∵∠B=40°，∴∠BOD=∠B，∴AB∥CD其他方法，可自己试试！例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF=∠BDF分析由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论解∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE∥DF∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠DCE，∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE，∴∠EDF=∠ACE∵CE是∠ACB的平分线，∴∠DCE=∠ACE，∴∠EDF=∠BDF例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数分析已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数解∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-（180°-∠C）=90°+∠C所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住）核心练习1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α(提示：本题可看作例2的升级版)2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F参考答案1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线2、先证BD∥CE，再证DF∥AC三角形篇核心提示三角形全等的核心问题是证全等根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等典型例题例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE求证：△ADB≌△DEC分析要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角由条件∠1=∠B知，找角比较容易通过外角可得到∠BDA=∠CED证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠1=∠B，∴∠1=∠C，∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1∴∠BDA=∠CED在△ADB和△DEC中，∴△ADB≌△DEC（AAS）例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD分析要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等下面给出第一种思路的过程证明在AB上截取AF=AC，连接EF，∵EA别平分∠CAB，∴∠CAE=∠FAE，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠BFE=∠D∵EB平分∠DBA,∴∠FBE=∠DBE在△BFE和△BDE中∴△BFE≌△BDE(AAS),∴BF=BD∵AB=AF+BF,∴AB=AC+BD例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ分析观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°证明（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，∴∠ABP=∠QCA在△ABP和△QCA中∴△ABP≌△QCA(SAS),∴AP=AQ（2）由（1）△ABP≌△QCA，∴∠P=∠QAC，∵∠P+∠PAD=90°，∴∠QAC+∠PAD=90°，∴AP⊥AQ核心练习1、如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠AFE=_____度2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=ACD为AC中点，AE⊥BD，垂足为E延长AE交BC于F求证：∠ADB=∠CDF参考答案1、602、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD生活中的轴对称篇核心提示轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用典型例题例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称分析与解根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的例2下列图形中对称轴条数最多的是()A正方形B长方形C等腰三角形D等腰梯形E等边三角形F角G线段H圆I正五角星分析与解有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H故选H例3如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根分析由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了解每添加一根钢管，就形成一个外角如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB可列表找规律：添加钢管数1234…8形成的外角度数20304050…90当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了故最多能添加这样的钢管8根例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？分析本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小也可作B的对称点确定C点解如图所示，C点即为所求饮水处的位置核心练习1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF这个图形是轴对称图形吗？为什么？参考答案1、略2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效

例1计算：例2已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图)化简分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0解由数轴知，a0所以，=-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+c-b=-2a+c例3计算：分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便　　解原式==　例4计算：2-22-23-24-……-218-219+220　　分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）=2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）=2-22-23-24-……-217+218=……=2-22+23=6核心练习1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：的值（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1）2、代数式的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）参考答案1、2、3字母表示数篇核心提示用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法典型例题例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的解由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==例2已知代数式，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=-1时，代数式的值是分析当x=1时，可直接代入得到答案但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶解当x=1时，==3当x=-1时，==1例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25……752=5625=，852=7225=（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算20052的值　　分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变　　解(1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25(3)20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③S表示三角形的个数（1）当n=4时，S=，（2）请按此规律写出用n表示S的公式分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的解(1)S=13(2)可列表找规律：n123…nS159…4(n-1)+1S的变化过程11+4=51+4+4=9…1+4+4+…+4=4(n-1)+1所以S=4(n-1)+1(当然也可写成4n-3)核心练习1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，，，，，①填空：第11，12，13三个数分别是，，；②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？2、观察下列各式:1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:参考答案1、①，，;②;③02、1+n×(n+2)=(n+1)2平面图形及其位置关系篇核心提示平面图形是简单的几何问题几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便典型例题例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个　分析6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律列出表格会更清楚解找交点最多的规律：直线条数234…n交点个数136…交点个数变化过程11+2=31+2+3=6…1+2+3+…+(n-1)图形图1图2图3…例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线A．20B．36C．34D．22分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线故选D例3如图，OM是∠AOB的平分线射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______　分析求∠MON有两种思路可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON根据两条角平分线，想法和已知的∠AOC靠拢解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的解因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，　　　所以∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠COB　所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°例4如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC（1）求∠DOE的大小；（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论　　分析此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE，和OC在∠AOB内的位置无关解(1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB因为∠AOB=60°所以∠DOE=∠AOB=×60°=30°(2)由（1）知∠DOE=∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同核心练习1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分参考答案1、15条2、一元一次方程篇核心提示一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。典型例题例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入解由2x+3=2a，得2x=2a-3把2x=2a-3代入2x+a=2得2a-3+a=2，3a=5,所以例2解方程分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况解两边同时乘以6，得6x-3(x-1)=12-2(x+1)去分母，得6x-3x+3=12-2x-26x-3x+2x=12-2-35x=7x=例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了64%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为,原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得：+8%=解得y=117x故这种商品原来的利润率为=17%例4解方程│x-1│+│x-5│=4分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=51和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：1）当x5时，原方程可化为(x-1)+(x-5)=4，解得x=5因x>5，故应舍去所以，1≤x≤5是比不过的。核心练习1、已知关于x的方程3[x-2(x-)]=4x和有相同的解，那么这个解是（提示：本题可看作例1的升级版）2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时参考答案1、2、48生活中的数据篇核心提示生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的典型例题例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：（1）你是怎样设计统计图的？（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的解用复式条形统计图：（如下图）从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：（1）三幅统计图分别表示了什么内容？（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答解（1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比（2）折线统计图（3）80亿，折线统计图（4）扇形统计图核心练习1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）哪国金牌数最多？（2）中国可排第几位？（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？参考答案1、（1）美国（2）第3位（3）俄罗斯平行线与相交线篇核心提示平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了这部分另一核心知识是写证明过程有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了典型例题例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条A．7B．6C．9D．8分析与解这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线故选D例2已知∠BED=60°,∠B=40°,∠D=20°,求证：AB∥CD分析要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角因此可以考虑作辅助线让他们建立联系延长BE可用内错角证明平行过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD连接BD，利用同旁内角互补也可证明解延长BE交CD于O，∵∠BED=60°,∠D=20°，∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,∵∠B=40°，∴∠BOD=∠B，∴AB∥CD其他方法，可自己试试！例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF=∠BDF分析由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论解∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE∥DF∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠DCE，∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE，∴∠EDF=∠ACE∵CE是∠ACB的平分线，∴∠DCE=∠ACE，∴∠EDF=∠BDF例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数分析已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数解∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-（180°-∠C）=90°+∠C所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住）核心练习1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α(提示：本题可看作例2的升级版)2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F参考答案1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线2、先证BD∥CE，再证DF∥AC三角形篇核心提示三角形全等的核心问题是证全等根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等典型例题例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE求证：△ADB≌△DEC分析要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角由条件∠1=∠B知，找角比较容易通过外角可得到∠BDA=∠CED证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠1=∠B，∴∠1=∠C，∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1∴∠BDA=∠CED在△ADB和△DEC中，∴△ADB≌△DEC（AAS）例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD分析要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等下面给出第一种思路的过程证明在AB上截取AF=AC，连接EF，∵EA别平分∠CAB，∴∠CAE=∠FAE，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠BFE=∠D∵EB平分∠DBA,∴∠FBE=∠DBE在△BFE和△BDE中∴△BFE≌△BDE(AAS),∴BF=BD∵AB=AF+BF,∴AB=AC+BD例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ分析观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°证明（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，∴∠ABP=∠QCA在△ABP和△QCA中∴△ABP≌△QCA(SAS),∴AP=AQ（2）由（1）△ABP≌△QCA，∴∠P=∠QAC，∵∠P+∠PAD=90°，∴∠QAC+∠PAD=90°，∴AP⊥AQ核心练习1、如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠AFE=_____度2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=ACD为AC中点，AE⊥BD，垂足为E延长AE交BC于F求证：∠ADB=∠CDF参考答案1、602、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD生活中的轴对称篇核心提示轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用典型例题例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称分析与解根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的例2下列图形中对称轴条数最多的是()A正方形B长方形C等腰三角形D等腰梯形E等边三角形F角G线段H圆I正五角星分析与解有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H故选H例3如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根分析由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了解每添加一根钢管，就形成一个外角如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB可列表找规律：添加钢管数1234…8形成的外角度数20304050…90当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了故最多能添加这样的钢管8根例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？分析本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小也可作B的对称点确定C点解如图所示，C点即为所求饮水处的位置核心练习1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF这个图形是轴对称图形吗？为什么？参考答案1、略2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效

例1计算：例2已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图)化简分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0解由数轴知，a0所以，=-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+c-b=-2a+c例3计算：分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便　　解原式==　例4计算：2-22-23-24-……-218-219+220　　分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）=2-22-23-24-……-218+219=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）=2-22-23-24-……-217+218=……=2-22+23=6核心练习1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：的值（提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1）2、代数式的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）参考答案1、2、3字母表示数篇核心提示用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法典型例题例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的解由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==例2已知代数式，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=-1时，代数式的值是分析当x=1时，可直接代入得到答案但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶解当x=1时，==3当x=-1时，==1例3152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25……752=5625=，852=7225=（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律;（3）请计算20052的值　　分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变　　解(1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25(3)20052=100×200（200+1）+25=4020025例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③S表示三角形的个数（1）当n=4时，S=，（2）请按此规律写出用n表示S的公式分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的解(1)S=13(2)可列表找规律：n123…nS159…4(n-1)+1S的变化过程11+4=51+4+4=9…1+4+4+…+4=4(n-1)+1所以S=4(n-1)+1(当然也可写成4n-3)核心练习1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，，，，，①填空：第11，12，13三个数分别是，，；②第2008个数是什么？③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？2、观察下列各式:1+1×3=22,1+2×4=32,1+3×5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:参考答案1、①，，;②;③02、1+n×(n+2)=(n+1)2平面图形及其位置关系篇核心提示平面图形是简单的几何问题几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便典型例题例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个　分析6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律列出表格会更清楚解找交点最多的规律：直线条数234…n交点个数136…交点个数变化过程11+2=31+2+3=6…1+2+3+…+(n-1)图形图1图2图3…例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线A．20B．36C．34D．22分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线故选D例3如图，OM是∠AOB的平分线射线OC在∠BOM内，ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON的大小等于_______　分析求∠MON有两种思路可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+∠CON也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON根据两条角平分线，想法和已知的∠AOC靠拢解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的解因为OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，　　　所以∠MOB=∠AOB，∠NOB=∠COB　所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=（∠AOB-∠COB）=∠AOC=×80°=40°例4如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC（1）求∠DOE的大小；（2）当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线，问此时∠DOE的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论　　分析此题看起来较复杂，OC还要在∠AOB内绕O点旋转，是一个动态问题当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说要求的∠DOE，和OC在∠AOB内的位置无关解(1)因为OC是∠AOB的平分线，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC所以∠DOC=∠BOC，∠COE=∠COA所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=（∠BOC+∠COA）=∠AOB因为∠AOB=60°所以∠DOE=∠AOB=×60°=30°(2)由（1）知∠DOE=∠AOB，和OC在∠AOB内的位置无关故此时∠DOE的大小和（1）中的答案相同核心练习1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分参考答案1、15条2、一元一次方程篇核心提示一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错解含参数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。典型例题例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入解由2x+3=2a，得2x=2a-3把2x=2a-3代入2x+a=2得2a-3+a=2，3a=5,所以例2解方程分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况解两边同时乘以6，得6x-3(x-1)=12-2(x+1)去分母，得6x-3x+3=12-2x-26x-3x+2x=12-2-35x=7x=例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了64%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程解：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为,原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得：+8%=解得y=117x故这种商品原来的利润率为=17%例4解方程│x-1│+│x-5│=4分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x进行讨论解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=51和5两个“零点”把x轴分成三部分，可分别讨论：1）当x5时，原方程可化为(x-1)+(x-5)=4，解得x=5因x>5，故应舍去所以，1≤x≤5是比不过的。核心练习1、已知关于x的方程3[x-2(x-)]=4x和有相同的解，那么这个解是（提示：本题可看作例1的升级版）2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时参考答案1、2、48生活中的数据篇核心提示生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的典型例题例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：（1）你是怎样设计统计图的？（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的解用复式条形统计图：（如下图）从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：（1）三幅统计图分别表示了什么内容？（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答解（1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比（2）折线统计图（3）80亿，折线统计图（4）扇形统计图核心练习1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）哪国金牌数最多？（2）中国可排第几位？（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？参考答案1、（1）美国（2）第3位（3）俄罗斯平行线与相交线篇核心提示平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了这部分另一核心知识是写证明过程有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了典型例题例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条A．7B．6C．9D．8分析与解这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线故选D例2已知∠BED=60°,∠B=40°,∠D=20°,求证：AB∥CD分析要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角因此可以考虑作辅助线让他们建立联系延长BE可用内错角证明平行过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB∥CD连接BD，利用同旁内角互补也可证明解延长BE交CD于O，∵∠BED=60°,∠D=20°，∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°,∵∠B=40°，∴∠BOD=∠B，∴AB∥CD其他方法，可自己试试！例3如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF=∠BDF分析由CE、DF同垂直于AB可得CE∥DF，又知AC∥ED，利用内错角和同位角相等可得到结论解∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE∥DF∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠DCE，∵AC∥ED，∴∠DEC=∠ACE，∴∠EDF=∠ACE∵CE是∠ACB的平分线，∴∠DCE=∠ACE，∴∠EDF=∠BDF例4如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数分析已知∠C=90°，由此可知∠CAB与∠CBA的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB与∠OBA和为45°，所以可得∠AOB的度数解∵OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线，∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=∠CAB+∠CBA=（∠CAB+∠CBA）=（180°-∠C）=45°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=135°（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-（180°-∠C）=90°+∠C所以∠AOB的度数只和∠C的度数有关，可以作为结论记住）核心练习1、如图，AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α(提示：本题可看作例2的升级版)2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F参考答案1、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线2、先证BD∥CE，再证DF∥AC三角形篇核心提示三角形全等的核心问题是证全等根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等典型例题例1如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1=∠B，AD=DE求证：△ADB≌△DEC分析要证△ADB和△DEC全等，已具备AD=DE一对边，由AB=AC可知∠B=∠C，还需要一对边或一对角由条件∠1=∠B知，找角比较容易通过外角可得到∠BDA=∠CED证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠1=∠B，∴∠1=∠C，∵∠BDA=∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1∴∠BDA=∠CED在△ADB和△DEC中，∴△ADB≌△DEC（AAS）例2如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD分析要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等下面给出第一种思路的过程证明在AB上截取AF=AC，连接EF，∵EA别平分∠CAB，∴∠CAE=∠FAE，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠BFE=∠D∵EB平分∠DBA,∴∠FBE=∠DBE在△BFE和△BDE中∴△BFE≌△BDE(AAS),∴BF=BD∵AB=AF+BF,∴AB=AC+BD例3如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ分析观察AP和AQ所在的三角形，明显要证△ABP和△QCA全等证出全等AP=AQ可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°证明（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°，∴∠ABP=∠QCA在△ABP和△QCA中∴△ABP≌△QCA(SAS),∴AP=AQ（2）由（1）△ABP≌△QCA，∴∠P=∠QAC，∵∠P+∠PAD=90°，∴∠QAC+∠PAD=90°，∴AP⊥AQ核心练习1、如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠AFE=_____度2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°AB=ACD为AC中点，AE⊥BD，垂足为E延长AE交BC于F求证：∠ADB=∠CDF参考答案1、602、提示：作∠BAC的平分线交BD于P，可先证△ABP≌△CAF，再证△APD≌△CFD生活中的轴对称篇核心提示轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用典型例题例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称分析与解根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的例2下列图形中对称轴条数最多的是()A正方形B长方形C等腰三角形D等腰梯形E等边三角形F角G线段H圆I正五角星分析与解有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H故选H例3如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根分析由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了解每添加一根钢管，就形成一个外角如添加EF形成外角∠FEA，添加FG形成外角∠GFB可列表找规律：添加钢管数1234…8形成的外角度数20304050…90当形成的外角是90°时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了故最多能添加这样的钢管8根例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？分析本题A（外公家）和B（草场）的距离已确定，只需找从B到l（小河）再到A的距离如何最小因A和B在l的同侧，直接确定饮水处（C点）的位置不容易本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小也可作B的对称点确定C点解如图所示，C点即为所求饮水处的位置核心练习1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF这个图形是轴对称图形吗？为什么？参考答案1、略2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效