收敛的定义

“收敛”是一个汉语词语，读音为shōuliǎn，意思是收获农作物；征收租税；聚敛；收集；归总；检点行为，约束身心；停止；消失；医学用语。谓通过药物作用，使肌体皱缩、腺液分泌减少；收殓。出自《庄子·让王》。

引证详解：

1、收获农作物。

《庄子·让王》：“春耕种，形足以劳动；秋收敛，身足以休食。”

陆游《晚晴》诗：“农家筑塲罢，竭作事收敛。”

2、征收租税。

《礼记·月令》：“﹝孟秋之月﹞命百官，始收敛。”

《北史·崔浩传》：“列置守宰，收敛租谷。”

3、聚敛；收集。

《墨子·尚贤中》：“收歛关市山林泽梁之利，以实官府。”

《宋书·王镇恶传》：“镇恶极意收敛，子女玉帛，不可胜计。”

4、归总。

周密《齐东野语·道学》：“朱公尤渊洽精诣，盖其以至高之才，至博之学，而一切收敛，归诸义理。”

5、检点行为，约束身心。现如今大多作为这个含义。

李渔《比目鱼·狐威》：“用豪奴，使狠仆，非是我不知收歛。”

浩然《艳阳天》第八六章：“反击马之悦，就能使落后的富裕中农收敛。”

6、停止；消失。

樊宗师《绛守居园池记》：“可四时合奇士，观风云霜露雨雪所为发生收敛，赋歌诗。”

刘过《沁园春·寿》词：“紫府真人，黑头元宰，收敛神功寂似无。”

7、医学用语。谓通过药物作用，使肌体皱缩、腺液分泌减少。

《医宗金鉴·外科心法要诀·枯筋箭》“枯筋箭由肝失荣、筋气外发赤豆形”注：“以月白珍珠散掺之，其疤收敛。”

8、收殓。

《东观汉记·桓典传》：“相王吉以罪被诛，故人亲戚莫敢至者，典独弃官收敛归葬。”

是指会聚于一点，向某一值靠近。

收敛数列，数学名词，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

函数收敛：定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

迭代算法的敛散性

1全局收敛

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X。

2局部收敛

若存在X在某邻域R={X| |X-X|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X。

无穷大时趋于某一个确定的值时这个函数就是收敛的，没有极限（极限为无穷）就是发散。

所以在判断是否是收敛的就只要求它们的极限就可以了。对于证明一个数列是收敛或是发散的只要运用定理就可以了。对于级数来说，它也是一个极限的概念，但不同的是这个极限是对级数的部分和来说的。

1、性质：无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。收敛和收敛性这两个词有时泛指函数或数列是否有极限的性质，或者按哪一种意义（什么极限过程）有极限。

2、有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。例如：f（x）=1/x 当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。f（x）= x 当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。

3、函数的收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。 收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛，局部收敛。

4、如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。

收敛的定义如下：

1、收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

2、收敛是一个汉语词语，读音为shōu liǎn，意思是收获农作物；征收租税；聚敛；收集；归总；检点行为，约束身心；停止；消失。出自《庄子·让王》。

函数收敛性质：

1、在x0处收敛，则必存在x0的一个去心领域，函数在这个去心领域内有界。

2、当x趋于无穷时收敛，以正无穷为例，则必存在M，使函数在[M,+∞)上有界。

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

收敛的定义是一个序列或函数会聚于一点，趋向于一个确定的极限值；发散的定义是一个序列或函数没有一个确定的极限值。

收敛和发散举例：

f（x）=1/x，当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。f（x）= x，当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。

收敛和发散的判断：

1、判断单调性

如果函数单调递增或者单调递减，并且无界，则函数发散。如果函数单调递增或者单调递减，并且有界，则函数收敛。

2、判断极限

如果函数的极限存在且有限，则函数收敛。如果函数的极限不存在或者是无穷大，则函数发散。

3、判断级数

如果级数的和有限，则函数收敛。如果级数的和为无穷大，则函数发散。

4、判断函数的特性

如果函数的性质和已知的收敛函数相同，则函数收敛。如果函数的性质和已知的发散函数相同，则函数发散。

5、判断函数的导数

如果函数的导数在某一区间内存在且有限，则函数在该区间内收敛。如果函数的导数在某一区间内不存在或者是无穷大，则函数在该区间内发散。

学好高数的方法：

1、课前预习

了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容（特别是已经学过的基础知识，因为大学老师讲课的进度很快，基础性的知识一般不会进行现场讲述，基础不好会影响新知识的理解）。

2、认真上课

注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。

3、课后复习

当天必须回忆一下老师讲的内容，看看自己记得多少，然后打开笔记、教材，完善笔记，沟通联系，最后完成作业。在记忆的基础上理解，在完成作业中深化，在比较中构筑知识结构的框架。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

级数：

指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。

级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

——收敛