求解答：初中数学题,非常感谢。

(那个，求证是不是写错了，应该是AB^2=AP^2+BP·PC)

证明： 如图，过A做AE⊥BC于E

            要证明AB^2=AP^2+BP·PC

            则只需证明AE^2+BE^2=AE^2+PE^2+BP·PC（勾股定理）

            即               BE^2-PE^2=BP·PC

            即      (BE+PE)(BE-PE)=BP·PC

            即               BP(BE-EP)=BP·PC

            即                      BE-EP=PC成立即可

            ∵AB=AC

            且AE⊥BC

            ∴BE=CE（等腰三角形三线合一）

            ∴BE-EP=CE-EP=PC

            ∴命题得证

三角形的三边长分别为3、4和5，可以看出这是一个勾股定理中的特殊直角三角形，所以这个三角形是直角三角形。

设直角三角形的直角边为a，另外两条边为b和c，根据勾股定理可知a^2 + b^2 = c^2。根据题目中给出的三角形边长可以得到：

a = 3，b = 4，c = 5。

根据三角形的面积公式S = 1/2 a b，可以计算出该直角三角形的面积为：

S = 1/2 3 4 = 6。

所以该直角三角形的最大面积为6。

题目已经提示是中线与全等三角形，根据求证又知要求成2AE与AC的关系，所以延长AE至F使得AF=2AE

所以△ABE≌△FDE

∴∠B=∠BDF，AB=DF

∴ ∠ADF=∠ADB+∠BDF

∠ADC=∠BAD+∠B（外角）

∴∠ADF=∠ADC

又AB=BD

∴DF=BD

又BD=DC

∴DF=DC

所以△AFD≌△ACD

所以AF=AC

即2AE=AC

图上不来了按照描述自己画图吧