什么是正弦和余弦？

正弦是数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。古代说法，正弦是股与弦的比例。

余弦（余弦函数），三角函数的一种。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。

研究发展：

早在公元2世纪，正弦定理已为古希腊天文学家托勒密所知．中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼也知道该定理。但是，最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁。在欧洲，犹太数学家热尔松在其《正弦、弦与弧》中陈述了该定理，但他没有给出清晰的证明。

15世纪，德国数学家雷格蒙塔努斯在《论各种三角形》中给出了正弦定理，但简化了纳绥尔丁的证明。1571年，法国数学家韦达(F．Viete，1540一1603)在其《数学法则》中用新的方法证明了正弦定理，之后，德国数学家毕蒂克斯在其《三角学》中沿用韦达的方法来证明正弦定理  。

勾股定理是在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方

勾三股四玄五,就是两直角边分别为3、4,斜边为5

在△ABC中,∠A、∠B、∠C对应的三边分别为a、b、c

正弦定理：三角形三个边长与对应角正弦值的比值均相等,且均等于外接圆直径长

即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为△ABC外接圆的半径)余弦定理：a^2+b^2-2abcosC=c^2

a^2+c^2-2accosB=b^2

b^2+c^2-2bccosA=a^2

由此可见,勾股定理只是余弦定理的一个特殊情况,即其中有一个角,∠A、∠B或∠C等于90度的特殊情况

正弦定理和余弦定理可应用于所有三角形,而勾股定理只适用于直角三角形

正弦定理：设三角形的三边为a b c,他们的对角分别为A B C,外接圆半径为r,则称关系式a/sinA=b/sinB=c/sinC为正弦定理

余弦定理：设三角形的三边为a b c,他们的对角分别为A B C,则称关系式

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=c^2+a^2-2accosB

c^2=a^2+b^2-2abcosC

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）

正弦定理(Sine

theorem)

；正弦定理的应用：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形

公式的变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,a：b：c=sinA：sinB：sinC

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

sin:  指在直角三角形中，∠α（非直角）的对边与斜边的比叫做∠α的正弦，记作sinα，正弦是勾与弦的比例。 古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。 股就是人的大腿，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”。

运用：在直角三角形中，∠α（非直角），sinα=∠α的对边/∠α的斜边。

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

sin(2a)=2sinacosa

定理

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a/sin A=b/sin B=c/sin C

正弦函数的定理在三角形求面积中的运用-

S△=c2sinAsinB/2sin(A+B)（S△为三角形的面积，三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，）

S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC （三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数）

另外，当sin值在180~360之间会出现负数，在360以上则会重复。

余弦定理为:三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和,减去两边与他们夹角的余弦的积的2倍

公式为:a^2=b^2+c^2-2bccosA

正弦:

A/sina=B/sinb=C/sinc=2R(A

B

C为角a

b

c所对的三边,R为三角形外切圆半径)

余弦:

cosα=(B^2+C^2-A^2)/2BC

cosb=(A^2+C^2-B^2)/2AC

cosc=(A^2+B^2-C^2)/2AB三角形ABC中

正弦定理

BC/sinA=AB/sinC=AC/sinB=ABC外接圆的直径

余弦定理

AB平方＝AC平方+BC平方-2ACBCcosC

BC平方＝AC平方+AB平方-2ACBCcosA

AC平方＝AB平方+BC平方-2ACBCcosB