如何用matlab解决线性代数问题？

练习1：

1、对矩阵进行行约减，即每一行数据减去本行数据中的最小数，得矩阵二；

2、检查矩阵二，若矩阵二各行各列均有0，则跳过此步，否则进行列约减，即每一列数据减去本列数据中的最小值，得矩阵三；

注意：也可先进行列约减再进行行约减。

3、画“盖0”线，即画最少的线将矩阵三中的0全部覆盖，得矩阵四；

操作技巧：从含0最多的行或列开始画“盖0”线。

4、数据转换。若“盖0”线的数目等于矩阵的维数则跳过此步，若“盖0”线的数目小于矩阵的维数则进行数据转换。本题属于后者，则直接求最优解。对n维矩阵，找出不同行、不同列的n个0，对每个0的位置代表一对配置关系，具体步骤如下。

（1）先找只含有一个0的行（或列），将该行（或列）中的0打“√”。

（2）将带“√”的0所在行（或列）中的其他0打“×”

（3）重复第（1）步和第（2）步至结束。若所有行和列均含有多个0，则从0的数目最少的行或列中任选一个0打“√”。

练习2：（和练习1一样的解法）

1、对矩阵进行行约减，即每一行数据减去本行数据中的最小数，得矩阵二；

2、检查矩阵二，若矩阵二各行各列均有0，则跳过此步，否则进行列约减，即每一列数据减去本列数据中的最小值，得矩阵三；

注意：也可先进行列约减再进行行约减。

3、画“盖0”线，即画最少的线将矩阵三中的0全部覆盖，得矩阵四；

操作技巧：从含0最多的行或列开始画“盖0”线。

4、数据转换。若“盖0”线的数目等于矩阵的维数则跳过此步，若“盖0”线的数目小于矩阵的维数则进行数据转换。本题属于后者，则直接求最优解。对n维矩阵，找出不同行、不同列的n个0，对每个0的位置代表一对配置关系，具体步骤如下。

（1）先找只含有一个0的行（或列），将该行（或列）中的0打“√”。

（2）将带“√”的0所在行（或列）中的其他0打“×”

（3）重复第（1）步和第（2）步至结束。若所有行和列均含有多个0，则从0的数目最少的行或列中任选一个0打“√”。

-匈牙利法

1、首先原矩阵A的特征值和其伴随矩阵A的特征值是有关系的，因此我们不必先算出A矩阵，再求其特征值；仅需求出A的特征值，就可得A的特征值了

2、其实线性代数的本质是解方程组，如果你理解这句话，那么线性代数也就学好了。

3、下面是A特征值的推理

设 λ 是A的特征值,α是A的属于特征值λ的特征向量

则 Aα = λα

等式两边左乘 A,得

AAα = λAα

由于 AA = |A|E 所以

|A| α = λAα

当A可逆时,λ 不等于0

此时有 Aα = (|A|/λ)α

所以 |A|/λ 是 A 的特征值

1 把第n列加到第n-1列上，最后一行就只有最后一个不是0了，除了第一行和最后一行其他行没变

2 再把第n-1列加到第n-2列上，倒数第二行就只有倒数第二个不是0了，除了第一行和最后一行其他行没变

依次类推

最后把第2列加到第1列上，第二行就只有第2个不是0了

这时候第一行第一个变成了a1+a2++an

所以行列式是(a1+a2++an)x2x3xn

(1) 证明:行列式记为Dn

按第1列展开得: Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2)

下用归纳法证明

当n=1时, D1=2cosθ

sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ

所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ

假设k<n时结论成立, 则k=n时

Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2)

=2cosθsin(n-1+1)θ/sinθ - sin(n-2+1)θ/sinθ

=2cosθsinnθ/sinθ - sin(n-1)θ/sinθ

=[2cosθsinnθ - sin(n-1)θ]/sinθ

=

= sin(n+1)θ/sinθ

所以k=n时结论也成立

综上可知, 对任意自然数n, Dn=sin(n+1)θ/sinθ

(2) 按最后一行展开, 再按最后一列展开即得:

Dn = 2cosθ D(n-1) - D(n-2)

用归纳法证明如下:

D1 = cosθ 显然

D2 = 2(cosa)^2 - 1 = cos2θ

假设k<n时有 Dk = 2cosθ D(k-1) - D(k-2)

则当k=n时有

Dn = 2cosθ D(n-1) - D(n-2)

= 2cosθcos(n-1)θ - cos(n-2)θ

= cosnθ + cos(n-2)θ - cos(n-2)θ

= cosnθ

命题得证

特征多项式 有了，则－1 1 1是A的三个特征值，－3 －1 －1就是A－2E的特征值，行列式为(－3)×(－1)×(－1)=-3。

由题知a1 a2 a3是基础解系，与基础解系等价的任一向量组也是基础解系。B中前两个向量之和是第三个，线性相关。C中三个向量之和是0，线性相关。D中第一个向量减去第二个向量+第三个向量是0，线性相关。只有A中三个向量是无关的，是基础解系。

(A^2-4E)=[(A+2E)(A-2E)]^(-1)=(A-2E)^(-1)(A+2E)^(-1)，因此乘后得(A+2E)^(-1)

11

D2=|a b|

|c d|=ad-bc

D4=|a 0 0 b|

|0 a b 0|

|0 c d 0|

|c 0 0 d|=(ad-bc)^2

……

D2n=(-1)^[2(2n-2)]D2D2(n-1)

D2n=(ad-bc)^n