关于正弦定理和余弦定理的所有公式

正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，外接圆半径为r，则称关系式a/sinA=b/sinB=c/sinC为正弦定理。

余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为A B C，则称关系式

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=c^2+a^2-2accosB

c^2=a^2+b^2-2abcosC

扩展资料

证明： 

任意三角形ABC，作ABC的外接圆O。

作直径BD交⊙O于D，连接DA

因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度，

因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C。

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R。

类似可证其余两个等式。

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

—正弦定理

—余弦定理

余弦值指的是一种角度的函数。

余弦值是角度的函数，每个角度对应一个余弦值，该值等于相邻直角边与包含该角度的直角三角形的斜边之比。确定角度时，余弦值为固定值。例如：＜A的余弦值是k，意思是：cos<A=k！

余弦值是在直角三角形中，一个锐角邻边的长比上斜边的长的值。任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。

余弦值的应用学科：数学，物理，建筑学等。

三角形余弦定理的公式：

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

a2=b2+c2-bc·cosA。

b2=a2+c2-ac·cosB。

c2=a2+b2-ab·cosC。

以下是余弦定理变形常用的9种公式：

1、cos C = (a² + b² - c²) / 2ab

2、cos B = (a² + c² - b²) / 2ac

3、cos A = (b² + c² - a²) / 2bc

4、a² = b² + c² - 2bc cos A

5、b² = a² + c² - 2ac cos B

6、c² = a² + b² - 2ab cos C

7、cos A = (b² + c² - a²) / 2bc

8、cos² A + cos² B + cos² C + 2 cos A cos B cos C = 1

9、a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

这些变形公式在求解三角形问题时非常有用，可以根据具体情况选择适合的公式，以更高效地完成计算，得到准确的答案。

用余弦定理计算的注意事项：

1、掌握公式：余弦定理公式为c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中c为斜边，a、b为其他两边，C为c的对角度。

2、注意角度的度数：有些情况下需要使用弧度制，而不是角度制进行计算。一般来说，计算需根据问题情况选择适当的度数来操作。

3、注意精度误差：余弦定理公式中涉及到两个三角形中很小的夹角，计算时需要将其精度保留到足够的小数位数，以避免误差的影响。

4、优先解决已知条件：在求解时，应优先解决已知条件中的其他两个量，再通过余弦定理求出未知量。

5、特殊情况的考虑：如果给定的三角形不是普通三角形且存在特殊情况，如等边三角形、直角三角形等，需要针对特殊情况作出调整。

6、实际运用需谨慎：应该在实际运用中慎重使用余弦定理来求解角度或边长，因为计算复杂度比较高，容易引入误差，更适合在科研、工程、物理等领域进行数据计算。

正弦：

A/sina=B/sinb=C/sinc=2R(A B C为角a b c所对的三边，R为三角形外切圆半径）

余弦：

cosα＝(B^2+C^2-A^2)/2BC

cosb=(A^2+C^2-B^2)/2AC

cosc=(A^2+B^2-C^2)/2AB

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

定理意义：

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

以上内容参考 —正弦定理

正弦定理是指：在任意-一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，即a/sinA = b/sinB =c/sinC= 2r=D，其中r是外接圆的半径，D是直径。

余弦定理是指：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即: cos A=(b+c-a)/2bc。

相关介绍：

历史上，正弦定理的几何推导方法丰富多彩。根据其思路特征，主要可以分为两种。

第一种方法可以称为 “同径法 ”，最早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯所采用。“同径法 ”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线（16世纪以前，三角函数被视为线段而非比值），利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。

纳绥尔丁同时延长两个内角的对边，构造半径同时大于两边的圆。雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化，只延长两边中的较短边，构造半径等于较长边的圆。17~18世纪，中国数学家、天文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了“同径法”。

18世纪初，“同径法”又演化为“直角三角形法”，这种方法不需要选择并作出圆的半径，只需要作出三角形的高线，利用直角三角形的边角关系，即可得出正弦定理。19世纪，英国数学家伍德豪斯开始统一取R=1，相当于用比值来表示三角函数，得到今天普遍采用的 “作高法”。

第二种方法为“外接圆法”，最早为16世纪法国数学家韦达所采用。韦达没有讨论钝角三角形的情形，后世数学家对此作了补充。

在直角三角形中,一个锐角的余弦＝它的邻边 / 斜边,一个锐角的正弦＝它的对边 / 斜边

比如一个三角形ABC中,∠C＝90°则AB叫做斜边,AC叫做∠A的邻边,BC叫做∠A的对边所以,cosA＝AC/AB,sinA=BC/AB同理cosB＝BC/AB,sinB=AC/AB

余弦定理是针对任意三角形的比如三角形ABC中,如果∠A,∠B,∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：

a²＝b²＋c²－2bccosA

b²＝a²＋c²－2accosB

c²＝a²＋b²－2abcosC

扩展资料：

判定定理一 两根判别法：

若记m（c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值。

①若m（c1,c2）=2,则有两解；

②若m（c1,c2）=1,则有一解；

③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

—余弦定理

两余弦波合成为余弦波的推导过程如下：

如果是不同振幅的话，最简单的方法是考虑复正弦。

A是复数，余弦是它的实部，按工科的习惯我们用j表示复数单位（数学中的i）。两个复正弦相加显然有：

两个复数相加，模和相角可以用正弦定理、余弦定理计算。

对于：

所以：

介绍

余弦曲线或余弦波（cosinwave）是一种来自数学三角函数中的余弦比例的曲线。也是模拟信号的代表，与代表数字信号的方波相对。

余弦曲线的形状就像完美的海上波浪般，以三角函数余弦比例改变而形成。即使是其它不规则的非余弦波，其实亦能够以不同周期和波幅的余弦波集合来表示。这类将复杂波段化成余弦波的技术称为傅立叶分析。

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

实际应用

在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话:"向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。" "当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复(用这个办法可以删除重复的网页);当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类;夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。 "同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。