三角函数公式推导过程

三角函数是数学中一种常见的关于角度的函数，对于很多同学来说有点难度，下面我整理了三角函数公式推导过程，希望对大家有所帮助！

万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，

(因为cos2(α)+sin2(α)=1)

再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

和差化积公式推导过程

首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

同理，若把两式相减，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

同理，两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

这样，我们就得到了积化和差的公式：

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式

我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]

上下同除以cos3(α)，得：

tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)

=3sinα-4sin3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)

=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]

=4cos3(α)-3cosα

即：

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

n倍角三角函数公式的推导

利用欧拉公式推导

事实上，对于任意n倍角三角函数公式还可以由欧拉公式推导：

cosnA+isinnA=einA=e（iA）n=（cosA+isinA）n

分别由左右两边实部和虚部相等，可以推导出n倍角余弦和正弦三角函数公式。以三倍角余弦公式为例，cos3A=C（30）cos3A-C（32）sin2AcosA=cos3A-3sin2AcosA=4cos3A-3cosA

其余的任意n倍角三角函数公式（包括正弦、余弦、正切）则都可以由二项式定理相应地写出来。

　三角函数是高中函数中很常见的一种，那么关于三角函数的知识点大家都了解吗下面是由我为大家整理的“三角函数常见的求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　 三角函数常见的求导公式

　1锐角三角函数公式

　sinα=∠α的对边/斜边

　cosα=∠α的邻边/斜边

　tanα=∠α的对边/∠α的邻边

　cotα=∠α的邻边/∠α的对边

　2倍角公式

　Sin2A=2SinACosA

　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

　tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

　(注：SinA^2是sinA的平方sin2(A))

　3三倍角公式

　sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)

　cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)

　tan3a=tana•tan(π/3+a)•tan(π/3-a)

　4三倍角公式推导

　sin3a=sin(2a+a)

　=sin2acosa+cos2asina

　5辅助角公式

　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

　tant=B/A

　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

　6四倍角公式

　sin4a=-4[cosasina(2sina^2-1)]

　cos4a=1+(-8cosa^2+8cosa^4)

　tan4a=(4tana-4tana^3)/(1-6tana^2+tana^4)

　7降幂公式

　sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

　cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

　tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

   常见公式集锦反三角函数：

　y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]

　y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]

　y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)

　sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域-π/2,π/2

　反三角函数公式:

　arcsin(-x)=-arcsinx

　arccos(-x)=π-arccosx

　arctan(-x)=-arctanx

　arccot(-x)=π-arccotx

　arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

　sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

　当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x

　当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x

　x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

　x∈(0，π),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似

　若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),

　则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

　和差化积公式：

　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

拓展阅读：导数的求导法则

　由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

　1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

　2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导(即②式)。

　3、两个函数的商的导函数也是一个分式：(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

　4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

无论给出的角多大，三角函数值都是小于或者等于1的，关于三角函数的这一认识你得记住，如果你在解三角函数过程中，如果出现大于1的情况，那么只能说明一点，解题过程中，出错了。

这一题的话，正弦值等于2分之根号2，说明角为45°或者135°，如果最大角为45°的话，那么其余两个角最大也是为45°，那么三角形内角和就为45°+45°+45°=135°<180°，错误，所以只能为135°。选C。

对于一些特殊角的三角函数值应该记得，比如15°，45°，75°，90°，135°等。

首先来说，三角函数在初中是为了让学生知道角度这个概念的前提下延伸出来的一个数学分支。

由于现实生活中角度的测量相比线段长度，时间等要复杂一些，所以我先考虑的是尝试用长度的测量过后，再用换算得到角度。这是第一个应用，也是初中时候需要掌握的基础。

关于三角函数成为数学的重要分支，是因为当我们在高中的时候，将角度的概念推广到了任意数值的角度过后，研究三角函数图像时，发现了它与我们一般的其他基本函数在特点上有很大的差别。而且三角函数这些特有的性质，还能够用来分析和刻画生活中很大一部分的规律和性质，所以，三角函数的研究就变得十分重要。至于你说的现实生活中那些运用，等你在高中物理学习了往复运动，周期运动过后，会对三角函数有更深刻的认识。到大学，等你学习基础物理的时候，会知道它来刻画波的很多用法。所以，这是它成为了数学的重要分支的又一个原因吧。