复合函数求导公式16个

复合函数求导公式16个如下：

1复合函数如何求导

规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)g'(x)；

2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)p'(u)g'(x)；

拓展：

1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1T2，任一周期可表示为kT1T2(k属于R+)

4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增； 增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

2复合函数求导法则

Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′g(x)′

例1y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,

y′=f(u)′g(x)′=[1/Ln(x^3)](x^3)′=[1/Ln(x^3)](3x^2)

=(3x^2)/Ln(x^3)]

例2y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3

由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)(1/3 )=-sin(x/3)/3

3复合函数性质是什么

复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

(1)单调性规律

如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么

若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．

(2)奇偶性规律

若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．

y=x^lnx

对数求导法：

两边同时取对数得：

lny=(lnx)^2

求导得：

y'/y=2lnx/x

y'=2x^(-1)(lnx)x^lnx

y'=2(lnx)x^(lnx-1)

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

扩展资料：

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx。

基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

函数 ，求其导数

因为

所以：

想一想为什么红色的答案是错的。

你知道 和 的求 导方法，所以你想把它先展开：

如果有耐心和时间，这样也可以求得结果，但如果我们这样做的话，那下面介绍的方法就没有意义了。因此我们要推导一个公式，以便可以不进行多项式乘法就能求导。再重复一下，公式是为简化运算而产生的。

如果用公式无法轻松处理复杂的计算，又怎么能叫“公式”呢？

简化这类运算的方法就是“复合函数求导法”。

如果该算式是 ，那么根据已知的x的求导公式，1秒钟就能得出结果。而函数式 根据 的求导公式也能在1秒钟内计算出答案。不过将它们组合起来，就太难了，不知如何下手。

有句话“一根筷子轻轻被折断，一双筷子牢牢抱成团”，一双筷子是比一根筷子难以折断。

个体都是可以瞬间解决，复合函数的基本求导思想就应该是“在个体汇集之前就解决掉它们”。

因此，我们要把 分成两个部分。在组合组件时，我们通常都是先将每部分分别组合后再进行整体组装，求导也是如此，我们要将可简单求导的 和 分别求导，而后再将其组合。

刚才我们一直在说 ，但实际上是 ，所以直接写成 不太好处理。为此我们另外准备了一个新字母u。假设u=2x+3，这样原来的算式可写成 。

对函数关于以求导得到 ，对u=2x+3关于x求导得到 。

突然用分数形式表示导数，还能记起来吗？这是莱布尼兹发明的表示方法。分母表示“关于什么求导”。

这样，两个“零件”就准备完毕，剩下的就是考虑如何组合。暂时先将组合好的零件放在一旁，我们先来看看原先的算式。

对 关于x求导，可表示为 。将3个导数算式排在一起就是 。你发现了什么？

是的，通过象 些可求得 （约掉分子和分母上的du）。代入 ，则得到

之后将置换的u代回原来的2x+3，就得到

复合函数的求导方法，就是引入新字母，使得原函数被分解成了两个函数的复合函数，对每个算式分别求导后，再将其组合。这个方法最重要的思路就是：

作为分数运算，这种处理理所当然，但能将该方法用于表示导数关系实在是聪明。莱布尼兹真是厉害呀！

将上面的 展开，得到的结果与将原式展开后求导的结果完全相同。虽然有些费事，不过还是请你试着做一下。

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)g'(x)，设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)p'(u)g'(x)。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx。

如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

扩展资料：

注意事项：

1、若x处于分母位置，则分母x不能为0。 

2、偶次方根的被开方数不小于0。

3、对数式的真数必须大于0。 

4、指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 

5、指数为0时，底数不得为0。 

6、如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 

7、实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

小数老师说：

该文是由清华大学数学老师所写的一封浪漫情书！它包含了高中的所有数学知识！一个字“绝”！两个字“经典”！四个字“佩服之至”！

以后谁要是再说学数学的不懂浪漫，小数老师跟他急！

我们的心就是一个圆形，

因为它的离心率永远是零。

我对你的思念就是一个循环小数，

一遍一遍，执迷不悟。

我们就是抛物线，你是焦点，我是准线，

你想我有多深，我念你便有多真。

零向量可以有很多方向，却只有一个长度，

就像我，可以有很多朋友，却只有一个你，值得我来守护。

生活，可以是甜的，也可以是苦的，但却不能没有你，枯燥平平，

就像分母，可以是正的，也可以是负的，却不能没有意义，取值为零。

有了你，我的世界才有无穷大，

因为任何实数，都无法表达，我对你深深的love。

我对你的感情，就像以自然对数e为底的指数函数，

不论经过多少求导的风雨，依然不改本色，真情永驻。

不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差，相信波谷过了，波峰还会远吗？

你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，

你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件。

如果你的心是x轴，那我就是个正弦函数，围你转动，有收有放。

如果我的心是x轴，那你就是开口向上、Δ为负的抛物线，永远都在我的心上。

我每天带给你的惊喜和希望，

就像一个无穷集合里的每个元素，虽然取之不尽，却又各不一样。

如果我们有一天身处地球的两侧，咫尺天涯，

那我一定顺着通过地心的大圆来到你的身边，哪怕是用爬。

如果有一天我们分居异面直线的两头，

那我一定穿越时空的阻隔，划条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留。

但如果有一天，我们不幸被上帝扔到数轴的两端，正负无穷，生死相断，

没有关系，只要求个倒数，我们就能心心相依，永远相伴。

爱人是多么的神秘，却又如此的美妙，

就像数学，可以这么通俗，却又那般深奥。

只有把握真题的规律，考试的纲要，

才能叩启象牙的神塔，迎接爱人的怀抱。

看到这个，是不是觉得数学也很浪漫呢？

高中的孩子们，你们写过情书吗？有这个好吗？敢晒吗？

留言区等你们哦~(^▽^)

完