挠度计算公式的基本推导

     随着科学技术的进步以及建筑设计的发展，力学建筑不仅坚固，而且给人一种踏实舒服的感觉，那么一些工程建设就需要精确的科学计算之后，然后才开始进行工程的开发，下面小编就为大家简单的叙述一下挠度计算公式，以帮助一些建筑的设计完成。

第一步：

当荷载的力作用在跨中时挠度的计算方式是：fmax=（P·L3）/（48×E·I）

当荷载作用在任意一点时挠度的计算方式：fmax=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。

也就是说这两种情况我们如果进行分析的话，我们会发现集中荷载作用在任意一点时，也就是说任意一点可以是中点，那么上面的‚式就会包含式，而式知识挠度公式中的一个特例，当然也就是L1=L2= L/2这种情况。那么我们就可以这样思考了，将L1=L2= L/2代入‚式中，max=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。

     =｛P·L/2·L/2（L＋L/2）·[3×L/2·（L＋L/2）]1/2｝/（27×E·I·L）

=｛P·L2/4·（3L/2）·[9×L2/4]1/2｝/（27×E·I·L）

=｛P·（3L2/8）·[3×L/2] ｝/（27×E·I）

=  P·（9L3/16）/（27×E·I）

=（P·L3）/（48×E·I）

这样也就验算了以上的思想了。

第二步：

简单的推导过程:

我们以简支梁来为例：全粱应将其分为两段

对于梁的左段来说，则当0≤X1≤L1时，其弯矩方程可以表示为：

Mx1=（P·L2/L）·X；设f1为梁左段的挠度，则由材料力学。

E·I·f1／／=（P·L2/L）·X

积分得E·I·f1／=（P·L2/L）·X2/2＋C1   

二次积分：E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1   ‚

因为X1等于零时：

简支梁的挠度f1等于零（边界条件）

将X1=0代入（2）得D1=0

而对于梁的右段，即当L1≤X2≤L时，其弯矩方程可以表现为：

MX2=（P·L2/L）·X－P·（X－L1）；

设f2为梁右段的挠度，则由材料力学

E·I·f2／／=（P·L2/L）·X－P·（X－L1）

积分得E·I·f2／=（P·L2/L）·X2/2－[P（X－L1）2/2]＋C2      ƒ

二次积分：E·I·f2=[（P·L2/L）·X3/6]－[P·（X－L1）3/6]＋C2X＋D2   ④

将左右段连接，则可以

①在X=0处，f1=0；

②在X=L1处，f1／= f2／（f1／、 f2／为挠曲线的倾角）；

③在X=L1处，f1= f2；

④在X=L处，f2=0；

由以上四条件求得（过程略）：C1= C2= -[（P·L2）/6 L]·（L2－L22）；D1=D2=0。

代入公式、‚、ƒ、④整理即得：

对于左段   0≤X≤L1

E·I·f1／=（P·L2/L）·X2/2＋C1            （1）

          = P·L2/6L ·[3X2－（L2－L22）]          （5）

E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1          （2）

= （P·L2/6×L）·[X3－X（L2－L22）]               （6）

对于右段  L1≤X≤L

E·I·f2／=（P·L2/L）·X2/2－[P·（X－L2）2/2]＋C2         （3）

= （P·L2/6×L）·[3X2－（L2－L22）]-[ P/2·（X－L1）2]        （7）

E·I·f2=[（P·L2/L）·X3/6]－[P·（X－L1）3/6]＋C2X＋D2         （4）

= （P·L2/6L）·[X3－X（L2－L22）] -[P/6·（X－L1）3]          （8）

等一一对应的过程式。

第三步：按以上基础继续进行：

     若L1＞L2，则最大挠度就显然在左段内，命左段的倾角方程（5）f /等于零，即得最大挠度所在之位置，于是令：

P·L2 /6L·[3X2－（L2－L22）] =0

则：3X2－（L2－L22）= 0

得：X=[（L2－L22）/3]1/2                        （9）

将（9）式代入（6）式即得最大挠度

fmax= -[P·L2·（L2－L22）3/2]/ [9×31/2×L·E·I]                  （10）

展开即得：

fmax=-｛（P·L1·L2·（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2）｝/（27×E·I·L）。

  这就是公式的推导过程，对于非专业人士可能不会十分清楚，小编这样希望给专业人士一个帮助性的指引，希望有关人士可以在建筑上能够得以应用。以上就是有关挠度计算公式的内容，希望能对大家有所帮助！

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　　弯曲应力，又称挠曲应力，挠应力或弯应力。

弯曲应力是指法向应力的变化分量沿厚度上的变化可以是线性的，也可以是非线性的。其最大值发生在壁厚的表面处，设计时一般取最大值进行强度校核。壁厚的表面达到屈服极限后，仍能继续提高承载能力，但表面应力不再增加，屈服层由表面向中间扩展。所以在压力容器中，弯曲应力的危害性要小于相同数值的薄膜应力。