说说 数学家的浪漫

世界上浪漫的表达方式有很多很多，文学家玩转文字来展示浪漫，艺术家玩转图画或音乐来渲染浪漫，而数学家也有自己的浪漫方式。最为著名的便是大数学家笛卡尔与其发现的心形图曲线（也成为心脏图）。

 

勒内·笛卡尔（Rene Descartes，1596——1650），著名的法国哲学家、科学家和数学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。据说笛卡尔57岁时邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀，笛卡尔总共给她寄出过13封情书，也就是在最后一封信中，只有短短的一个数学公式：r=a(1－ sinθ)。而这正是著名的心形图曲线：

他/她的意思是说，空谈误人。有很多“哲理”只是心灵鸡汤，还有很多“哲理”经不起科学的验证。而科学的语言是数学。举个例子，古人有很多哲学论证地球是宇宙中心，如何如何和谐。可事实呢，牛顿的科学体系可以精确地计算地球围绕太阳的椭圆轨道参数，其中牛顿发明的微积分起了重要作用。牛顿之后，又有人哲学地论证牛顿时空观的天然成立，如何如何基础。可事实呢，爱因斯坦的相对论更准确地描述了宇宙，使得牛顿力学成了它的近似。这其中黎曼几何这门数学分支起了关键作用。总之，空谈“哲理”对于认识世界无益。现代人们对自然世界和人类社会的认识由各学科的努力而不断加深，不管是自然科学还是社会科学，都大量应用数学知识来达成这些认识。比如，经济学、政治学都在使用博弈论、回归分析等大量数学知识来完成更严谨的论断。

“科学大院”公众号

A：“我是数学家。”　

    B：“我是哲学家。”　

    C：“那你们两个可以说是相爱相杀啊！”

       数学和哲学，几乎同时诞生于遥远的古希腊，共同构成了那个时代文明的骄傲，它们在历史上有着千丝万缕的联系，也一直寄托着彼时人们对生活和精神的向往。

1 古希腊时代：数学与哲学的第一次相遇

       公元前三世纪，柏拉图在他的学园入口处写道：“不懂几何者，禁止入内。” 

柏拉图学园

        柏拉图学园作为古希腊的哲学先贤，柏拉图认为数学就是理性哲学的前提条件。数学和哲学，就这样第一次携手走进了柏拉图的理性乐园，也奠定了西方两千年理性文明的基础。柏拉图的影响波及后世无数杰出的数学家和哲学家，比如笛卡尔、斯宾诺莎、康德等等都是柏拉图信念坚定的支持者。　

       柏拉图之所以赋予数学如此重要的地位，将它视作理性主义的基石，其根源在于数学有着超越其他学科的先天优势。

       当时的人们认为，在数学的世界里，任何一句断言都可以得到肯定或者否定的论证，且这种论证不会随着时间的推进而更改。每一个数学定理就是一座历史的丰碑，一旦树立，就千载不倒，成为后世数学家的标杆。

       数学定理中展现的严谨结论更是穿越时空的通行证，以至于伽利略曾经盛赞“宇宙是用数学的语言书写而成“。这种绝对的真理观为数学确立了坚不可摧的理性基础，每一个数学证明从诞生起就经得起任何人的检验。

       这和古代的神话与宗教截然不同。神灵的存在与否无法证明，它本身是一种超越理性的信仰。人们只能屈从于宣传信仰的权威。数学恰恰相反，基于它的叙述只依赖于理性论证，完全独立于客观世界和精神家园，其原则可以接受任何的质疑和辩驳。那么，哲学将前提建立在数学之上，也就有了形式上的保障。从此，数学和哲学就紧密地联系在了一起。

        数学成了哲学的前提，但是它们又有本质的不同。哲学的基础是数学，却又高于数学。

柏拉图（公元前427年 - 公元前347年）　

       柏拉图将知识分为四个等级，人们在获取知识的过程中需要经历四个阶段。

       第一个阶段是基于感觉和想象表达的结合，其对象是可感事物的影像，比如影子、水中的倒影等等。　

       第二个阶段是信念。信念的对象是可感事物的影像原物，如找出影子的事物本身。　

       第三个阶段是思想。思想所处理的对象处于感性世界和理念世界之间，思想处理的知识处于感性认识和理性认识之间，比如数学。　

       第四个阶段就是理性。理性认知的对象是理念，理念就进入了纯哲学的层次。只要还追求对事物的更完满的解释，我们就永不会满足。但是拥有完善的知识将要求我们把握所有事物相互之间的关系——也就是看到实在之整体的统一性。有了完善的理智就能彻底地摆脱了感性事物的束缚。在这个层次上，我们直接和理念打交道。

2．近代数学与哲学：共同成长的热恋期

        在哲学家的思想深处里，他们的理念往往是通过数学的圆满来实现的，比如在哲学思辨中大名鼎鼎的反证法，就是一个源自数学创造的关键工具。

 笛卡尔（1596年 - 1650年）

        曾经提出“我思故我在”的法国大数学家笛卡尔，是现代哲学的奠基者。他同时也在现代数学史上有着自己独一无二的坐标，以发明“解析几何“而名垂青史。他基于悖谬推理的数学论证来逐步展开他的哲学蓝图。这种推理形式就是数学的本质。

 斯宾诺莎（1632年 - 1677年）

       17世纪的哲学家斯宾诺莎，认为哲学知识如果没有数学的辅助，人们将无法抵达理性的境界。他的名著《伦理学》采用了类似欧几里得的《几何原本》的结构，赋予其哲学严谨的公理体系和推理证明。从斯宾诺莎开始，哲学开始具有某种几何学的特征，其论证方式因为自然和严谨深受理性主义哲学家的喜爱。以《利维坦》奠定现代政治学基础的哲学家霍布斯也采用了相同的推理结构。他们的思想都受到牛顿通过数学建立自然哲学的启发，这再一次将数学和哲学紧密地联系在一起。

        一个世纪后，德国大哲学家康德在《纯粹理性批判》里更是强调了数学的重要作用。一如当年牛顿对数学的高度评价“没有数学，就不会有任何自然科学”一样，康德指出批判哲学的存在完全依赖于数学的理性推导。　

        后世很多杰出的数学家，也同样是伟大的哲学家，比如19世纪的大数学家戴德金、康托，以及庞加莱，他们都是从对数学的思考中绽放出哲学理性主义的光辉。

3．蜜月期的结束：巨大的分歧　

       尽管数学对哲学产生巨大的推动，人们在数学的概念上却产生了分歧，这一分歧导致了后世对数学于哲学的重要意义有了不同的解读。　

       第一种观点继承了柏拉图的实在论，人们认为数学是独立于我们而存在的对象。这也是自古希腊时代就被人们认可的理念。

维特根斯坦（1889年 - 1951年）

       另外一种观点则将数学归于形式论的范畴，这一派认为数学仅仅是一种纯粹的人为创造，尤其是形式语言的创造。典型的代表人物如维特根斯坦，他将数学视为众多语言游戏中的一种，并不具备真正的普遍性，人们不能把数学绝对化。

       这场思辨源于19世纪非欧几何的诞生。统治几何学两千多年的欧几里得公理一度被颠覆，给彼时的人们带来巨大的思想震撼。一时间，“公理都会改变“的事实动摇了人们对数学的信仰。这引起了一些人对数学普遍性更为深入的思考。基于此，维特根斯坦认定哲学并不依从于数学，数学中也并没有揭示人类存在的真理。　

      在维特根斯坦之前，持同样观点的哲学家黑格尔甚至更加激烈，走向了一个极端。黑格尔以极其冷漠的态度批判了数学中尚待澄清的概念，比如对严格无限概念的理解，一度走到了科学的对立面。随后，西方哲学的主流开始抛弃了柏拉图的实在哲学，不再将数学推理纳入其思考的体系。从黑格尔到尼采，直至萨特的存在主义，哲学上的浪漫主义远离了分析证明的理性。

康德（1724年－1804年）

       与此同时，很多哲学大家仍然支持数学对哲学不可替代的作用。康德尽管相信数学是某种先验的形式论，但他认为数学的普遍性毋庸置疑。他和笛卡尔、斯宾诺莎一样，坚持认为数学的出现为科学铺平了道路。

      

 时至今日，数学和哲学渐行渐远，构成了人们对生活认知的两级。

1 高冷的数学　

       大众对数学的态度是爱恨交织。人们发现它无所不在，却又对它一无所知。

       它是每个人成长过程中投入时间和精力最多的学科。数学成绩的好坏不仅影响着一个人的信心和选择，还关乎着前途和命运。数学成了个人鲤鱼跳龙门的工具。但大多数人会在完成大学的课程之后，最终和数学分道扬镳。　 

        同时，很多真正以数学为职业的精英数学家，却刻意保持了和大众的距离。他们拥有极富创造力的数学知识，以自己独有的方式进行着极其艰涩的研究，却并不屑于向世人诠释其精妙的意义。数学家的世界，俨然和公众完全隔离，人们无法了解他们的工作方式，更遑论他们的研究成果。双方的对立导致了公众对数学工作者的误解以及数学工作者的集体排外。

       随着研究的深入，当代数学已经建立起超过一百个分支的专业领域。不仅外人对数学家的研究成果无法理解，彼此不同领域的专家也逐渐有了深度的隔阂。极度的复杂性让数学成了一个遥不可及的领域。数学研究，也成了少部分精英的乐园，从而和大众渐行渐远。

       进入21世纪，每年的年度科技进展成了科学界的一件盛事。物理、化学、生物、信息等等学科都是其中最耀眼的明星。历史最为悠久、理论源远流长的数学，却常常沦为冷板凳上的看客，孤独地目睹科技盛宴上众星捧月的热闹。

2．尴尬的哲学

        对于哲学，问题却变得复杂起来。　

        那些艰深的哲学研究在今天也处于极为尴尬的位置。属于西方哲学史的黄金时代也已经落幕，原本哲学关注的核心问题渐渐融入到其他学科的范畴。比如研究“宇宙的本源”的重担转移到了物理学的前沿，研究“我们从哪里来”的问题被生物和遗传学家接手。甚至那些偏向文科的哲学内容，也逐渐被逻辑学、政治学和心理学瓜分。哲学的生命，注入到了新兴学科的血管里。

        与此同时，哲学在人们的生活中更多地融入了功利主义的考量。这样的哲学逐渐和伦理学并轨，进入了人们的生活。没有人会自称是数学家，但是每个人却可以被视为哲学家。随着民主化和个性化的社会风潮，每个人都拥有了一套个体的生存哲学，并且对彼此不同的观点要么针锋相对，要么保留沉默。这一套观念和昔日哲学先驱们的思想大相径庭，而后者在当代已经被束之高阁，成为极少数人的思想阵地。

1．孤独的数学家

       数学家在媒体上出现的形象，往往以天才和怪异著称。　

       俄罗斯的天才数学家佩雷尔曼就是最近的典型。他解决了世界七大数学难题之一的庞加莱猜想，却拒绝了随之而来的菲尔兹奖和100万美元的奖金。他性格孤傲，选择了退隐山林，过上了与世隔绝的生活。　

       另外一位法国大数学家，被誉为代数几何教皇的格罗腾迪克，也选择了在年富力强的时候归隐田园。

约翰·纳什（1928年 - 2015年）

       2001年上映的**《美丽心灵》讲述了数学家纳什的故事，他罹患精神分裂，却做出了举世无双的贡献，他和妻子阿丽莎的一生跌宕起伏，几度分离别合，在晚年领奖回家的途中遭遇车祸，一起魂归天国。

 陈景润（1933年 - 1996年）

       1978年因为徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》而驰名大江南北的数学家陈景润，也给人留下了不食人间烟火的传奇。　

       历史上这样的故事不断在数学家这个群体重复。大抵数学的创造是孤独的，每一个伟大的灵感都需要数学家离群索居的独立思考，并且长期处于孤僻的状态。　

       对数学家而言，一个问题常常久思不得其解是家常便饭。没有人能许诺数学家：经历过风雨，就能见彩虹。寻找数学问题的答案好像探索未知的迷宫，只有他们自己在孤独地寻找那条通往中心的道路，却全然不知等待他们的，是馅饼还是陷阱。经历了绝望、希望，再绝望、再希望，每个人的神经都会处于紧张和松弛的反复交替中。探索的过程如果受到外界的干扰，则更容易迷途难返。　

       因此，数学家的路是注定是一条孤独的小径，数学家也在寻找真理的路途中形成了自己独特的性格。这种性格，在大众看来，就是无法理喻的古怪。

2．忧郁的哲学家

       反观哲学家，他们则大多具有诗人的忧郁气质。　

       从古希腊的源头看，哲学的本质就是追求超脱和爱智求真。哲学家的问题往往具有全世界的普适性。他们追问人生的根本问题，通过自己对人生困境的观察来反思这个世界。哲学家在寻求解决途径的同时，付出过痛苦而又百折不挠的努力。他们带着泪水和欢笑去感受和思考人生，最终提炼出充满人生智慧的哲学思想。这样的哲学也闪耀着人性的光辉。这和诗人的气质不谋而合。

 梁漱溟（1893年－1988年）

       好的诗人，能写出独具眼光和深度的文字；好的哲学家，能留下遍洒激情和灵性的思想。在这个意义上来看，哲学家与诗人往往心灵相通，他们在寻求一个谜底的同时，承受着相同的煎熬。　

       那些流传了千百年的诗词，无数次走进过人们的内心。被人们世代传颂后，每个人或多或少都有诗人的冲动，这也构成了人们理解哲学的基础。哲学家用理性勾画的蓝图，其实深藏在每个人的基因里。人们即便无法诉说，却能感同身受。这也构成了人们能够独立表达个体哲学的基础。　

        只不过，那些被用于解构人性本源、世界本质的哲学词汇和推理，太过深奥，它们和艰深的数学定理一样，成了人们无法逾越的思想鸿沟。庆幸的是，哲学的诗人气质被人们继承了下来，从而形成了个体哲学的百花齐放。

        人们害怕数学，因为它过于复杂，也不能指出明确的生存意义，更不能带来明显的幸福感。这就给哲学留出了空间。而柏拉图曾经认为任何献身于积极生活、参与到真理过程中的人，一定比那些寻欢作乐的人更加幸福。数学就提供了这样一种可能。

        数学的单纯性和纯粹性，杜绝了语言中的欺骗和模棱两可，不受客观世界和人为的干扰，成为了清晰无误的自由表达。任何人都可以在其中体验到追求真理的幸福。昔日的人们痛恨数学带来的痛苦，却忽视了数学最重要的不是知识，而是思想。数学的理性推理和思考方式为人们提供了科学解决问题的思路。

       哲学则应担负起精神启迪和鼓舞的重责。在商业至上的社会里，个人的幸福往往和物质的多寡紧密相连。失去了哲学引导的人生，就好像在黑夜里独自寻找人生的归宿。物质的丰盈只能成为个人当下安全的保障，却不能带人看清前进的道路。哲学就好像远方照射的一束光，指引着我们人生行动的方向。

       数学和哲学，应该再度携起手来，为世人共同带来更多理性的光芒，更多灵魂的护航。让我们再回头看看柏拉图的学园入口，“不懂几何者，禁止入内”。其实，柏拉图想告诉人们的，不懂数学的人不能进入的，不是他的学园，而是哲学的殿堂。

参考文献：　

[1]严春友 著《西方哲学新论》上卷 （中国社会科学出版社2001）　

[2]洪汉鼎 陈治国·主编《知识论读本》 （中国人民大学出版社 2010）　

[3]泰勒·主编 《从开端到柏拉图》 韩东晖 聂敏里 冯俊 程鑫·译 （中国人民大学出版社 2003）　[4]撒母耳·伊诺克·斯通普夫 詹姆斯·菲泽著 《西方哲学史》 匡宏 邓晓芒等译 邓晓芒翻译策划 何兆武作序 （世界图书出版公司 修订第八版 2009）

　塞凯赖什夫妇的故事

　　1933 年，匈牙利数学家乔治·塞凯赖什（George Szekeres）还只有 22 岁。那时，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——保罗·埃尔德什（Paul Erds）大神。不过当时，埃尔德什只有 20 岁。

　　在一次数学聚会上，一位叫做爱丝特·克莱恩（Esther Klein）的美女同学提出了这么一个结论：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。塞凯赖什和埃尔德什等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。

　　平面上五个点的位置有三种情况

　　众人大呼精彩。之后，埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边形。埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个问题让乔治·塞凯赖什和美女同学爱丝特·克莱恩之间迸出了火花，两人越走越近，最终在 1937 年 6 月 13 日结了婚。

　　对于一个给定的 n ，不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此 f(3) = 3 。爱丝特·克莱恩的结论则可以简单地表示为 f(4) = 5 。利用一些稍显复杂的方法，我们可以证明 f(5) 等于 9 。2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证明了 f(6) = 17。对于更大的 n，f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬而未解的难题之一。几十年过去了，幸福结局问题依旧活跃在数学界中。

　　不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日，乔治和爱丝特相继离开人世，相差不到一个小时。

　 伽罗瓦的故事

　　伽罗瓦（évariste Galois），19 世纪最伟大的法国数学家之一，唯一被我称为“天才数学家”的人。他 16 岁时就参加了巴黎综合理工学院的入学考试，结果面试时因为解题步骤跳跃太大，搞得考官们不知所云，最后没能通过考试。

　　在数学历史上，伽罗瓦毫无疑问是最富传奇色彩与浪漫色彩的数学家，没有“之一”。18 岁时，伽罗瓦漂亮地解决了当时数学界的顶级难题：为什么五次及五次以上的多项式方程没有一般的解。他把这一研究成果提交给了法国科学院，由大数学家柯西 （Augustin-Louis Cauchy）负责审稿；然而，柯西建议他回去仔细润色一下（此前一直认为柯西把论文弄丢了或者私藏起来，最近的法国科学院档案研究才让柯西平反昭雪）。后来伽罗瓦又把论文交给了科学院秘书傅立叶（Joseph Fourier），但没过几天傅立叶就去世了，于是论文被搞丢了。1831年伽罗瓦第三次投稿，当时的审稿人是泊松，他认为伽罗瓦的论文很难理解，于是拒绝发表。

 

 

因为一些极端的政治行动，伽罗瓦被捕入狱。即使在监狱里，他也不断地发展自己的数学理论。他在狱中结识了一名医生的女儿，并很快坠入爱河；但好景不长，两人的感情很快破裂。出狱后的第二个月，伽罗瓦决定替自己心爱的女孩与女孩的一个政敌进行决斗，不幸中枪，第二天便在医院里死亡。伽罗瓦死前的最后一句话是对他的哥哥艾尔弗雷德（Alfred）说的：“不要哭，我需要足够的勇气在 20 岁死去。”

　　仿佛是预感到了自己的死亡，在决斗的前一夜，伽罗瓦通宵达旦奋笔疾书写下了自己所有的数学思想，并把它们和三篇论文手稿一同交给 了他的好友谢瓦利埃（Chevalier）。在信的末尾，伽罗瓦留下遗嘱，希望谢瓦利埃能把论文手稿交给当时德国的两位大数学家雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）和高斯（Carl Friedrich Gauss），让他们就这些数学定理公开发表意见，以便让更多的人意识到这个数学理论的重要性。

　　谢瓦利埃遵照伽罗瓦的遗愿，将论文手稿寄给了雅可比和高斯，不过都没有收到回音。直到 1843 年，数学家刘维尔（Joseph Liouville）才肯定了伽罗瓦的研究成果，并把它们发表在了他自己主办的《纯数学与应用数学杂志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées）上。人们把伽罗瓦的整套数学思想总结为了“伽罗瓦理论”。伽罗瓦用群论的方法对代数方程的解的结构做出了独到的分析，多项式方程的 根、尺规作图的不可能性等一系列代数方程求解问题都可以用伽罗瓦理论得到一个简洁而完美的解答。伽罗瓦理论对今后代数学的发展起到了决定性的作用。

　　笛卡尔的故事

　　笛卡尔（René Descartes），17 世纪著名的法国哲学家，曾经提出“我思故我在”的哲学观点，有着“现代哲学之父”的称号。笛卡尔对数学的贡献也是功不可没，中学时大家学到的平面直角坐标系就被称为“笛卡尔坐标系”。

　　传闻，笛卡尔曾流落到瑞典，邂逅美丽的瑞典公主克里斯蒂娜（Christina）。笛卡尔发现克里斯蒂娜公主聪明伶俐，便做起了 公主的数学老师， 于是两人完全沉浸在了数学的世界中。国王知道了这件事后，认为笛卡尔配不上自己的女儿，不但强行拆散他们，还没收了之后笛卡尔写给公主的所有信件。后来，笛卡尔染上黑死病，在临死前给公主寄去了最后一封信，信中只有一行字：r=a(1-sinθ)。

　　自然，国王和大臣们都看不懂这是什么意思，只好交还给公主。公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，终于解开了这行字的秘密——这就是美丽的心形线。看来，数学家也有自己的浪漫方式啊。

　　a=1时的心形线

　　事实上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。不过，笛卡尔是 1649 年 10 月 4 日应克里斯蒂娜邀请才来到的瑞典，并且当时克里斯蒂娜已经成为了瑞典女王。并且，笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题。有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。天气寒冷加上过度操劳让笛卡尔不幸患上肺炎，这才是笛卡尔真正的死因。

　　心形线的故事究竟几分是真几分是假，还是留给大家自己判断吧。

上面这句话，是复旦大学中文系副教授严锋为刘慈欣《三体》系列小说所做的评价。我相信凡是看过这部小说的人们看到这样的评价，都会觉得此话精准无比。

不记得自己最初为什么想要看这部系列小说，只知道当我开始读他的时候，就始终处在一种间歇性震惊的状态。每读一部分都好像是被开启了一扇通向异世界的大门，惊喜，意外，震惊，接踵而至，不停的撞击着我的大脑，我的思维。以至于在阅读期间，我甚至梦到星空就在我的脚下，我所在的城市被这片广阔星空吸入漩涡中，惊醒后陷入一阵迷失和失落。

刘慈欣在书中，为我们呈现了一个时间，空间都无限宽广的宇宙（对，是“宇宙”，都不能用“世界”来形容，“世界”太小了，甚至“宇宙”都有点小），而人类，仅仅是这广阔空间里的一只小虫子。全系列共分为三部：《三体 I：地球往事》、《三体 II：黑暗森林》、《三体 III：死神永生》。在一步步的阅读过程中，我的感觉从震惊变为压抑，从压抑变为绝望，从绝望变为不甘心，又从不甘心变为平静。这本汇集了不少金句的书，可最后留在我脑海里反复回味的，竟是那句“大多数人，到死都没有向尘世之外瞥一眼”。

全书涉及大量的物理学，数学知识，但这些最终都上升到一个哲学层面。通读下来，除了对那广阔的时间和空间的震撼之外，更是产生了对宇宙和文明的思考。人如蝼蚁，宇宙又何尝不是？万物终有因，万物终有果，因果循环，死又何尝不是永生？

可当我想要为这本书写点评价的时候，却发现角度太多，无从下笔。清晰易懂的概述每本书的主要内容吗，意义不大；分析里面的逻辑漏洞吗，太不自量力；深挖书中提到的各类专业术语及相关知识吗？工程浩大，可能一辈子都未必能将其中的一点研究透彻。索性都作罢，只谈最震撼我的内容。

1、虚拟游戏——《三体》

在《三体 I：地球往事》中，作者为我们虚构了一个虚拟的游戏，这个游戏所塑造的世界，是一个遥远星际文明二百次的毁灭与重生。那里有三个太阳，两个纪元：恒纪元、乱纪元。那里的人们根据纪元的更迭，来选择脱水（将自己体内的水分完全排出，变成干燥的纤维状物体）或泡水苏醒。以适应不同纪元下的环境。在这里你会发现孔子、墨子、秦始皇 、伽利略、牛顿、爱因斯坦这些古今中外的人，跨越历史年代，文化背景聚集在一起，构成一个崭新的世界。

2、红岸基地

在《三体》这一虚拟游戏设计的背后，隐藏着一个女人的野心。这个名叫叶文洁的女性，利用红岸基地对于外星文明的探寻，发现了除地球外，宇宙中的另一个文明体——“三体文明”。于是，她以太阳为中心，向宇宙中的“三体”文明，发出了第一道信号。在这个过程中，她不惜杀死了自己的领导和丈夫，以达成这一目的。可正是这一发射，彻底改变了地球，乃至整个宇宙的命运。

3、智子

在“三体文明”接收到“地球文明”发送的信号后，便派出“智子”来对地球科学进行封锁。这些“智子”能够清楚的看到地球上的人们在做什么，并能够在人类的眼球上显示出字幕。而以叶文洁为首的地球叛军也已成为智子的棋子。

1、面壁计划、面壁人、破壁人

在被“智子”锁死科学技术后，地球文明陷入了前所未有的危机当中。经历了磨难的人们建立起了太空舰队，并利用“三体人”思维透明这一特点，制定了“面壁计划”。这项计划由行星防御理事会（PDC）负责，推选出4位面壁人，这4位面壁人由于需要躲避智子的监视，其想法与做法无需让任何人知道理由。这注定是一场孤独的战斗。而这时，为“智子”工作的地球叛军地球三体组织（ETO）也选出了4位破壁人，以打击面壁计划。

2、猜疑链

即在宇宙这个茫茫的大环境中，任何文明在一开始的时候都无法确定其他文明的善与恶，这就导致了猜疑的出现。而在无法判断对方是安全还是充满恶意的情况下，形成的猜疑链会被延伸的很长。所以，一旦发现，就会选择去打击对方。

3、技术爆炸

在宇宙所有的文明当中，当某个文明收到另外一个外星文明交流的信息，经对比后发现了自身的弱小，那就建立了猜疑链，这期间就会从其他文明得到信息，从而发生技术上的爆炸性突破。

4、黑暗森林

宇宙中的每个文明都是带枪的猎人，像幽灵般潜行于林间，轻轻拨开挡路的树枝，竭力不让脚步发出一点儿声音，连呼吸都小心翼翼；他必须小心，因为林中到处都有与他一样潜行的猎人。如果他发现了别的生命，能做的只有一件事：开枪消灭之。在这片森林中，他人就是地狱，就是永恒的威胁，任何暴露自己存在的生命都将很快被消灭。这就是黑暗森林法则，也就是宇宙文明的图景，就是对费米悖论的解释。

1、阶梯计划

人类将一个人的大脑送入太空，此脑被“三体文明”截获，并用此大脑还原出了此人生前的全身。

2、掩体世界

人类建立太阳系联邦，在木星、土星、海王星、天王星背后共建立64座太空城。来躲避外星文明打击太阳系后释放的巨大能量的毁灭。

3、黒域

将太阳系转化位低光速黑洞。即将太阳系与宇宙的其余部分完全隔绝，相当于置身的宇宙直径从一百六十亿光年缩小至五十个天文单位，在光速为每秒167千米的世界里生活。电子计算机和量子计算机只能以极低的速度运行，退回到低技术社会，永远失去飞出低光速区域的能力。

4、二向箔

高级外星文明用来打击其他文明的武器。

5、降维打击

将三维世界变成二维世界。所有立体的一切都将成为薄薄的一片纸。

6、回归宇宙

小宇宙中的物质归还至大宇宙。

以上。

最后，附上三本书的思维导图，希望能做一个梳理。如有错误之处，还请大家批评指正。

罗素说：“在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西”

高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登”

波利亚说：“从最简单的做起”

高斯说：“宁可少些，但要好些”　“二分之一个证明等于0”

希尔伯特说：“当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。”

广中平佑（日本得菲尔兹奖数学家）说：“在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的”

华罗庚说：“下棋要找高手…。。只有不怕在能者面前暴露自己的弱点，才能不断进步”“自学，不怕起点低，就怕不到底”

牛顿说：“如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上”

“我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸”

牛顿说：“每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一到曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止”

爱因斯坦说：“每当我的头脑没有问题思考时，我就喜欢将已经知道的定理重新验证一番。这样做并没有什么目的，只是让自己有个机会充分享受一下专心思考的愉快”

华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”又说“要打好数学基础有两个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄””

苏步青（大陆数学家）说：“学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然”

拉码努扬（印度的数学国宝）说：“天才？请你看看我的臂肘吧”

卡拉吉奥多里（希腊函数论数学家）说：“学数学，绝不会有过份的努力”

爱因斯坦说：“圆圈的里面代表我现在学到的知识，圆圈的外面仍然有着无限的空白，而且随着圆愈来愈大，圆周所接触的空白也愈来愈大”。“在天才与勤奋之间，我毫不迟疑的选择了勤奋，因为它是世间一切成就的催生者”。“我反复思索好几个月，好几年；有九十九次都是错的，而第一百次我对了”

牛顿说：“我并无过人的智能，有的只是坚持不屑的思索精力而已。今天尽你最大的努力去做好，明天也许能做的更好”

韦达说（代数学之父）：“没有不能解决的问题”数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。　——克莱因《西方文化中的数学》

数学是除了语言与音乐之外，人类心灵自由创造力的主要表达方式之一，而且数学是经由理论的建构成为了解宇宙万物的媒介。因此，数学必需保持为知识，技能与文化的主要构成要素，而知识与技能是得传授给下一代，文化则得传承给下一代的。——录自德国数学家HermannWeyl语

数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后高斯（Gauss）音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。——克莱因数学的本质在於它的自由。－－－康扥尔（Cantor）

在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。康扥尔（Cantor）

没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。——希尔伯特（Hilbert）

数学是无穷的科学。－－赫尔曼外尔

问题是数学的心脏。－－PRHalmos

只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。－－Hilbert

数学中的一些美丽定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。－－－高斯

哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。……又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。－－－柏拉图　

高斯（数学王子）说：“数学是科学之王”

罗素说：“数学是符号加逻辑”

毕达哥拉斯说：“数支配着宇宙”

哈尔莫斯说：“数学是一种别具匠心的艺术”

米斯拉说：“数学是人类的思考中最高的成就”

培根（英国哲学家）说：“数学是打开科学大门的钥匙”

布尔巴基学派（法国数学研究团体）认为：“数学是研究抽象结构的理论”

黑格尔说：“数学是上帝描述自然的符号”

魏尔德（美国数学学会主席）说：“数学是一种会不断进化的文化”

柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式”

考特说：“数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠”

笛卡儿说：“数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。”

恩格斯（自然辩证法哲学家）说：“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学

克莱因（美国数学家）说：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度”

伽利略说：“给我空间、时间、及对数，我可以创造一个宇宙”“自然界的书是用数学的语言写成的”牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，哈尔莫斯说：“数学的创作绝不是单靠推论可以得到的，首先通常是一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下了不十分有把握的结论。然后整理想法，直到看出事实的端倪，往往还要费好大的劲儿，才能将一切付诸逻辑式的证明。这过程并不是一蹴可几的，要经过许多失败、挫折，一再地猜测、揣摹，在试探中白花掉几个月的时间是常有的。”

拉普拉斯说：“在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟”

维特根斯坦说：“数学是各式各样的证明技巧”

华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”

纳皮尔说：“我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算”

开普勒说：“以我一生最好的时光追寻那个目标……书已经写成了。现代人读或后代读都无关紧要，也许要等一百年才有一个读者”

拿破仑说：“一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关”

陈省身说：“早晨醒来，想的第一件事就是数学。我的生活就是数学；终生不倦地追求就是数学，数十年如一日，从没有懈怠过，现在依然如此。”又说“用功不是指每天在房里看书，也不是光做习题，而是要经常想数学。一天至少有七、八个小时在思考数学。”

厄多斯说：“坟墓里有的时间去休息”

保罗。朗之万（法数学家）说：“在数学教学中，加入历史是有百利而无一弊的”

牛顿说：“一个例子比十个定理有效”

康多塞说：“尤拉讲课时喜欢给学生寻点开心，让学生感到惊异”

黄武雄说（台大教授）：“导引定义，经常可以从反例着手”

魏尔斯特拉斯说：“如果不在某种程度上成为一个诗人，就永远不会成为一个完美的数学老师”

欧几里德说：“浮光掠影的东西终就会过去，但是天体图案却是巍然不动永世长存的”，华罗庚说：“最大的希望是工作到生命的最后一刻”，对这些把一辈子完全投入数学的数学家们，即使当他们走到人生旅程的最后一点，他们是否仍坚持当初的愿望呢﹖

阿贝尔说：“我要活下去！我还有许多工作没有做完…。。”

挪威数学家阿贝尔17岁便开始解五次方程式，22岁成为证明了五次方程没有公式解的第一人，在椭圆函数论有出色的表现，27岁与世长辞。他是多么想活下去，想多解决一些数学上的难题。

柯西说：“人总是要死的。但是，他们的业绩永存”。

波利亚说：“我的数学兴趣还没完。”

爱因斯坦说：“数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。…。数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。”

邱成桐说：“现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量”

伦琴说：“第一是数学，第二是数学，第三是数学”

华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”

冯纽曼说：“数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。”

皮娄（加拿大生物学家）说：“生态学本质上是一门数学”

开普勒说：“数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的”

傅立叶说：“数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释”

罗巴切夫斯基说：“不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上”

莱布尼兹说：“用一，从无，可生万物”

亚里士多德说：“思维自疑问和惊奇开始”

努瓦列斯说：“数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学”

柯普宁（前苏联哲学家）说：“当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐”

1、纯数学是魔术家真正的魔杖。——诺瓦列斯

　　2、数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。——高斯

　　3、数学支配着宇宙。——毕达哥拉斯

　　4、数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。——笛卡儿

　　5、数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。——克莱因

　　6、数学是一种会不断进化的文化。——魏尔德

　　7、数学是一种别具匠心的艺术。——哈尔莫斯

　　8、数学是一切知识中的最高形式。——柏拉图

　　9、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。——恩格斯

　　10、数学是研究抽象结构的理论。——布尔巴基学派

　　11、数学是无穷的科学。——赫尔曼外尔

　　12、数学是上帝描述自然的符号。——黑格尔

　　13、数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠。——考特

　　14、数学是人类的思考中最高的成就。——米斯拉

　　15、数学是科学之王。——高斯

　　16、数学是各式各样的证明技巧。——维特根斯坦

　　17、数学是符号加逻辑。——罗素

　　18、数学是打开科学大门的钥匙。——培根

　　19、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。——努瓦列斯

　　20、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。——冯纽曼

　　21、数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。——德摩

　　22、数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的。——开普勒

　　23、数学的本质在於它的自由。——康扥尔

　　24、数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。——C·F·高斯

　　25、数统治着宇宙。——毕达哥拉斯

　　26、数缺形时少直观，形缺数时难入微“又说”要打好数学基础有两个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄”。——华罗庚

　　27、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。——史密斯

　　28、上帝是一位算术家——雅克比

　　29、上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。——L·克隆内克

　　30、如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。——柏拉图

　　31、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根

　　32、给我五个系数，我讲画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。——A·L·柯西

　　33、非数学归纳法在数学的研究中，起着不可缺少的作用。——舒尔（I

　　34、发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。——达尔文

　　35、第一是数学，第二是数学，第三是数学。——伦琴

　　36、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。——柯普宁

　　37、纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。——怀德海

　　38、天才？请你看看我的臂肘吧。——拉码努扬

　　39、问题是数学的心脏。

　　40、我们能够期待，随着教育与娱乐的发展，将有更多的人欣赏音乐与绘画。但是，能够真正欣赏数学的人数是很少的。——贝尔斯

　　41、我曾听到有人说我是数学的反对者，是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学，因为它完成了我不曾得到其成就的业绩。――哥德

　　42、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。——纳皮尔

　　43、无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——D·希尔伯特

　　44、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。——华罗庚

　　45、学数学，绝不会有过份的努力。——卡拉吉奥多里

　　46、学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。——苏步青

　　47、一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。——拿破仑

　　48、一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。——维尔斯特拉斯

　　49、以我一生最好的时光追寻那个目标……书已经写成了。现代人读或后代读都无关紧要，也许要等一百年才有一个读者。——开普勒

　　50、宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。——华罗庚

　　51、在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。――康托尔

　　52、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。——广中平佑

　　53、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。——罗素

　　54、哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。……又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。——柏拉图

　　55、这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道。——A·N·怀德海

　　56、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——G·D·伯克霍夫

　　57、只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。——

每个科目都会给我们很多的道理，科目一会交给我们怎么样遵守交通规则？科目二会教我们一些倒车入库，侧方位停车，还有半坡起步这些东西，科目三教我们在马路上行车，科目四是在我们正式拿驾照之前再进行学习交通规则