数学和哲学之间是什么关系？

世界上数字逻辑推理学，从0十0到1十1至之几％的华陆坚分数发展为代数与牛屯的数字力学的推算法设计出当代最有价值的《数字力学能》。这些算不算是与哲学有所牵连呢。

数字逻辑与哲学论理从整体来说是有关系的。原因是哲学论理就是科学与 科技 研究发明创造成果的过程！而在研究某种高 科技 产品的过程中，必需要有数据数学原理去论证，才能有依据实现完成所研发的项目。这是自然发展中的必然！

因此，数学与哲学互相有关系的“情侣”。缺一就不能成就现代高 科技 产品的产生。这就是问题回答了。

数学是一切科学的基础，数学也是哲学的基础。

为什么说数学是一切科学的基础？不管是物理、化学、生物等所有科学分科，都要用到数学。物理要计算力的大小，需要数学知识，化学、生物进行实验，也要精确计算实验材料，其他的如温度、重量、密度等，都需要数字来表示，或用数学来计算。

为什么说数学是哲学的基础，因为哲学也属于科学的一种，根据三段论自然可以推导出数学也是哲学的基础。但今天我不打算用三段论的逻辑来推理。我认为哲学的核心是：怎么理解“人之所以为人”，人怎么来看待这个世界，所以说哲学是一门人怎么看待世界的学问。我认为人是通过数学来看世界的，所以数学是哲学的基础。

数学是哲学的婢女

在古希腊，哲学家大都格外重视数学。很多伟大的人物既是哲学家又是数学家，比如，毕达哥拉斯，他在当时的哲学家当中是最推崇数学，在数学上成就最大的人。他和他的学派认为，1是最神圣的数字，一生二，二生诸数，数生点，点生线，线生面，面生体，体生万物，也就是说数是万物的本源，数的规律统治万物。其实我们古代也有“一生二、二生三、三生万物”的说法，也是万物皆数的哲学思想，当然，“万物皆数”在今天看来，是片面不严谨的，但在一定程度上也体现了，数学跟这个世界，跟人生哲学的关系。

历史 上很多知名的数学家也是有影响的哲学家，他们既研究数学也研究哲学。

古希腊的泰勒斯（约公元前624一前547），他是著名的哲学家，希腊几何学的鼻祖，也是天文学家。

古希腊的毕达哥拉斯（约公元前580一前497），他是古希腊数学家、天文学家、哲学家，还是音乐理论家。他的学派发现了毕达哥拉斯定理（即勾股定理），他们的哲学基础是“万物皆数”，在他们的精神世界里，不能没有数学。

哲学家柏拉图（前428一前348）对严密定义和逻辑证明的坚持，促进了数学的科学化。哲学家亚里士多德（前384一前322），他也是逻辑学的创始人，却为几何学奠定了巩固的基础。他的公理化思想促进了几何学的诞生和发展。

法国的笛卡儿（1596—1650），他是数学家、哲学家、物理学家，解析几何的奠基人之一。他于17世纪上半叶划时代地在数学中引进了变量的概念和运动的观点，被恩格斯赞誉为是“数学的转折点”，它导致了微积分的诞生，进而推动了自然科学的发展。《几何学》虽是这位著名哲学家唯一的一篇数学著作，然而它的 历史 价值却使笛卡儿的名字在数学史卷上写下了重重的一笔。

德国的莱布尼兹（(1646—1716），他是世界著名的数学家、哲学家、逻辑学家，是 历史 上少见的通才，被誉为是“十七世纪的亚里士多德”。在数学上，他独立创建了微积分，并发明了优越的微积分符号。在哲学上，莱布尼兹的乐观主义最为著名，比如他认为，“我们的宇宙，在某种意义上是上帝所创造的最好的一个。”他和笛卡尔、巴鲁赫·斯宾诺莎被认为是十七世纪三位最伟大的理性主义哲学家。我们常说的“世界上没有两片完全相同的树叶”即是他的名言。

数学史上的三次“数学危机”都与哲学有关：

哲学家芝诺于公元前5世纪提出了几个著名的悖论，加之西帕索斯对无理数的发现，使人们对于数学能否成为一门科学产生怀疑，这就是第一次“数学危机”；由于初期的微积分逻辑上的缺陷，围绕微积分基础开始了大论战。英国的唯心主义者大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，数学家、哲学家和神学家都纷纷介入，引起了第二次“数学危机”；哲学家罗素在集合论中发现的“罗素悖论”，震动了整个数学界，引起了数学界、哲学界激烈的争论，史称第三次“数学危机”。

物理的尽头是数学，数学的尽头是哲学，哲学的尽头是神学？

物理和数学，它们有个本质性的区别：物理是经验性的真理体系，可以被实验推翻；数学是先验的真理体系，不可能被实验推翻。

数学最明显的本质，就是它是一种先验的真理体系，不是经验科学。物理、化学、生物等科学门类，正确性是由实验来判定的，公认多年的“真理”被进一步的实验证伪是经常发生的事，如牛顿力学被相对论与量子力学否定。数学却跟实验没有关系，你不可能通过数一数，看1个苹果加1个苹果是不是等于2个苹果，来判断1+1是否等于2。

数学本身是一个具象化的东西，它是对实际存在的一个统计、演示过程，但是人类科学的发展，除了需要这种具象化的工具和手段，同时也需要抽象思考来对任何未知可能进行诠释和预设。抽象的思考要超前于现有数据模型，去假设未知模型，这是一种数字宇宙发展的前瞻性设计，这种超越当下、现实，透过现象 探索 本质的天马行空又依之有据的思辨性思考，可以引领数学的发展。但是由于哲学的唯心主义特征，它的本质是脱离现象和具象化，天地万物和宇宙规律这样一个看上去的数学模型实体，在不受物理定律约束的精神世界里，本身变得毫无意义。因为哲学的本质就是拨云见日，撕掉一切表象去发现人生意义的本质，当数学建构的一切模型和轨迹，被哲学思辨追根溯源后，就显得无比虚妄和毫无意义。

神学不同于哲学的地方是，哲学是超脱现实、怀疑一切的精神世界；神学是超脱现实，万念归一的精神世界。当哲学越深入越漫无目的时，精神陷入枯竭疲惫，就容易走向有皈依、有目的的神学之境。世界原本就是一个返璞归真的过程，宋代禅宗大师青原行思提出参禅的三重境界：参禅之初，看山是山，看水是水；禅有悟时，看山不是山，看水不是水；禅中彻悟，看山仍然山，看水仍然是水。其实就是人类发展的铁律。

在人类 探索 物理时，神学既荒谬又可笑，当物理的发展步伐跟不上人类的精神需要时，人类开始更高境界的哲学思考。当哲学思考到了无路可走时，才发现神学原来是人类精神和生命意义的最后归属。

数学与哲学的关系：是对立统一关系

数学和哲学，几乎同时诞生于遥远的古希腊，共同构成了那个时代文明的骄傲，它们在 历史 上有着千丝万缕的联系，也一直寄托着彼时人们对生活和精神的向往。

1曾经，它们唇齿相依

公元前三世纪，柏拉图在他的学园入口处写道：“不懂几何者，禁止入内。”

作为古希腊的哲学先贤，柏拉图认为数学就是理性哲学的前提条件。数学和哲学，就这样第一次携手走进了柏拉图的理性乐园，也奠定了西方两千年理性文明的基础。柏拉图的影响波及后世无数杰出的数学家和哲学家，比如笛卡尔、斯宾诺莎、康德等等都是柏拉图信念坚定的支持者。

柏拉图之所以赋予数学如此重要的地位，将它视作理性主义的基石，其根源在于数学有着超越其他学科的先天优势。数学成了哲学的前提，但是它们又有本质的不同。哲学的基础是数学，却又高于数学。

2近代数学与哲学：共同成长的热恋期

在哲学家的思想深处里，他们的理念往往是通过数学的圆满来实现的，比如在哲学思辨中大名鼎鼎的反证法，就是一个源自数学创造的关键工具。曾经提出“我思故我在”的法国大数学家笛卡尔，是现代哲学的奠基者。他同时也在现代数学史上有着自己独一无二的坐标，以发明“解析几何“而名垂青史。他基于悖谬推理的数学论证来逐步展开他的哲学蓝图。这种推理形式就是数学的本质。

17世纪的哲学家斯宾诺莎，认为哲学知识如果没有数学的辅助，人们将无法抵达理性的境界。他的名著《伦理学》采用了类似欧几里得的《几何原本》的结构，赋予其哲学严谨的公理体系和推理证明。从斯宾诺莎开始，哲学开始具有某种几何学的特征，其论证方式因为自然和严谨深受理性主义哲学家的喜爱。以《利维坦》奠定现代政治学基础的哲学家霍布斯也采用了相同的推理结构。他们的思想都受到牛顿通过数学建立自然哲学的启发，这再一次将数学和哲学紧密地联系在一起。

一个世纪后，德国大哲学家康德在《纯粹理性批判》里更是强调了数学的重要作用。一如当年牛顿对数学的高度评价“没有数学，就不会有任何自然科学”一样，康德指出批判哲学的存在完全依赖于数学的理性推导。

后世很多杰出的数学家，也同样是伟大的哲学家，比如19世纪的大数学家戴德金、康托，以及庞加莱，他们都是从对数学的思考中绽放出哲学理性主义的光辉。

3蜜月期的结束：巨大的分歧

尽管数学对哲学产生巨大的推动，人们在数学的概念上却产生了分歧，这一分歧导致了后世对数学于哲学的重要意义有了不同的解读。

第一种观点继承了柏拉图的实在论，人们认为数学是独立于我们而存在的对象。这也是自古希腊时代就被人们认可的理念。另外一种观点则将数学归于形式论的范畴，这一派认为数学仅仅是一种纯粹的人为创造，尤其是形式语言的创造。典型的代表人物如维特根斯坦，他将数学视为众多语言 游戏 中的一种，并不具备真正的普遍性，人们不能把数学绝对化。 西方哲学的主流开始抛弃了柏拉图的实在哲学，不再将数学推理纳入其思考的体系 。从黑格尔到尼采，直至萨特的存在主义，哲学上的浪漫主义远离了分析证明的理性。

与此同时，很多哲学大家仍然支持数学对哲学不可替代的作用。康德尽管相信数学是某种先验的形式论，但他认为数学的普遍性毋庸置疑。他和笛卡尔、斯宾诺莎一样，坚持认为数学的出现为科学铺平了道路。

后来，它们分道扬镳时至今日，数学和哲学渐行渐远，构成了人们对生活认知的两级。

一点感悟

可以说，哲学是研究世界观的学问，是自然知识和 社会 知识的总结，当然离不开自然科学; 而自然科学是一种认识活动，离不开理论思维，离不开世界观的指导。数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学作为自然科学中的一支，它逻辑的严密性、高度的抽象性、应用的广泛性，决定了与哲学有着更为密切的联系。

哲学和自然科学具有一般和个别、普遍和特殊的关系，二者是辩证的统一而又有区别。二者相互依赖，相互影响，不能互相替代。数学作为自然科学中的一支，它的逻辑的严密性、高度的抽象性、应用的广泛性，决定了与哲学有着更为密切的联系。不仅 社会 科学及其它科学中充满着矛盾，数学中也充满着矛盾。哲学作为世界观，为数学提供正确的指导思想; 哲学作为方法论，为数学提供伟大的认识工具和 探索 工具。

数学和哲学，应该再度携起手来，为世人共同带来更多理性的光芒，更多灵魂的护航。让我们再回头看看柏拉图的学园入口，“不懂几何者，禁止入内”。其实，柏拉图想告诉人们的，不懂数学的人不能进入的，不是他的学园，而是哲学的殿堂。

数学和哲学，几乎同时诞生于遥远的古希腊，共同构成了那个时代文明的骄傲，

它们在 历史 上有着千丝万缕的联系，也一直寄托着彼时人们对生活和精神的向往。

1古希腊时代：数学与哲学的第一次相遇

公元前三世纪，柏拉图在他的学园入口处写道：“不懂几何者，禁止入内。”

柏拉图学园

作为古希腊的哲学先贤，柏拉图认为数学就是理性哲学的前提条件。数学和哲学，就这样第一次携手走进了柏拉图的理性乐园，也奠定了西方两千年理性文明的基础。柏拉图的影响波及后世无数杰出的数学家和哲学家，比如笛卡尔、斯宾诺莎、康德等等都是柏拉图信念坚定的支持者。

从此，数学和哲学就紧密地联系在了一起。 数学成了哲学的前提，但是它们又有本质的不同。哲学的基础是数学，却又高于数学。

2近代数学与哲学：共同成长的热恋期

在哲学家的思想深处里，他们的理念往往是通过数学的圆满来实现的 ，比如在哲学思辨中大名鼎鼎的反证法，就是一个源自数学创造的关键工具。

笛卡尔（1596年 - 1650年）

曾经提出“我思故我在”的法国大数学家笛卡尔，是现代哲学的奠基者。他同时也在现代数学史上有着自己独一无二的坐标，以发明“解析几何“而名垂青史。他基于悖谬推理的数学论证来逐步展开他的哲学蓝图。这种推理形式就是数学的本质。

17世纪的哲学家斯宾诺莎，认为哲学知识如果没有数学的辅助，人们将无法抵达理性的境界。以《利维坦》奠定现代政治学基础的哲学家霍布斯也采用了相同的推理结构。他们的思想都受到牛顿通过数学建立自然哲学的启发，这再一次将数学和哲学紧密地联系在一起。

一个世纪后，德国大哲学家康德在《纯粹理性批判》里更是强调了数学的重要作用。一如当年牛顿对数学的高度评价“没有数学，就不会有任何自然科学”一样，康德指出批判哲学的存在完全依赖于数学的理性推导。

后世很多杰出的数学家，也同样是伟大的哲学家，比如19世纪的大数学家戴德金、康托，以及庞加莱，他们都是从对数学的思考中绽放出哲学理性主义的光辉。

3蜜月期的结束：巨大的分歧

尽管数学对哲学产生巨大的推动，人们在数学的概念上却产生了分歧，这一分歧导致了后世对数学于哲学的重要意义有了不同的解读。

第一种观点继承了柏拉图的实在论，人们认为 数学是独立于我们而存在的对象 。这也是自古希腊时代就被人们认可的理念。

另外一种观点则将数学归于形式论的范畴，这一派认为 数学仅仅是一种纯粹的人为创造，尤其是形式语言的创造 。典型的代表人物如维特根斯坦，他将数学视为众多语言 游戏 中的一种，并不具备真正的普遍性，人们不能把数学绝对化。这场思辨源于19世纪非欧几何的诞生。统治几何学两千多年的欧几里得公理一度被颠覆，给彼时的人们带来巨大的思想震撼。一时间，“公理都会改变“的事实动摇了人们对数学的信仰。这引起了一些人对数学普遍性更为深入的思考。基于此， 维特根斯坦认定哲学并不依从于数学，数学中也并没有揭示人类存在的真理 。

后来，数学与哲学，它们分道扬镳。

时至今日，数学和哲学渐行渐远，构成了人们对生活认知的两级。

作者 ：黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）

出品 ：科学大院

哲学是隐性的数学；数学是显性的哲学！

哲学是对事物最基础的普遍性的抽象；数学是对事物最基础的普遍性的抽象的直观。

当“事物”处于抽象时，人们的思绪可以天马行空自由驰骋，因此也就有了起劲发现“不足、毛病”的欲望；抽象的“事物”一旦“直观”显发出来时，人们却又立马羞涩得不好意思了！

数学和哲学是：数理关系。它们是谁也离不谁的，有时侯是很微妙的，如物理化学。

数学和哲学看似没有联系 ,其实并非如此。当我们回顾数学史和哲学史的时候 , 就会发现一些有趣的现象: 一是很多人既是数学家又是哲学家，例如 毕达哥拉斯、柏拉图、笛卡儿、莱布尼 兹、罗素、希尔伯特等人 。 二是有些哲学家虽然不是数学家 ,但也会精通数学知识,例如 ,黑格尔、马克思、恩格斯等。这些有趣的现象说明数学和哲学有着密切的关系。

首先，在古代 ,数学其实是哲学的一部分。在古代 ,哲学和科学还没有分开 ,它们处于浑然一体之中 ,哲学是包括一切理论科学在内的知识总汇，是笼统的直观感觉。 数学从哲学中分离出来 ,比其他科学分离时间要早。 在亚历山大时期几何学开始脱离哲学，导致这种分离的原因是数学在工程方面的应用。

其次，数学和哲学都有高度的抽象性。

数学有高度的抽象性，它仅仅从量的方面进行研究。 例如，直线的概念 ,并不是指现实世界中拉紧的线 , 而是把现实的线的质量、 弹性、粗细等具体性质都撇开 ,只留下了“向两方无限伸长”这一抽象的属性。数学的抽象性包含三个特点: 首先 ,它舍弃了事物的具体内容 ,而只保留了空间形式和数量关系。 其次 ,数学的抽象是经过一系列的阶段而形成的。 再次 ,不仅数学概念是抽象的 ,而且数学方法也是抽象的。数学研究方法主要是思维方法 ,而且 表述数学的研究成果即数学理论只能用演绎方法。

哲学也是高度抽象的学科 , 它的提象性主要表现在: 第一 ,从哲学研究的对象是关于世界观的学问 ,是系统化、理论化的世界观，是经过了抽象、概括的东西。哲学不仅要对关于整个世界的一般问题作出回答 ,提出一定的观点，还要对这些观点作出理论的解释和逻辑的论证。所以哲学的研究对象是抽象的。 第二 ,从哲学和具体科学的关系来看 ,哲学是自然知识、 社会 知识和 思维知识的概括与总结。具体的自然知识、 社会 知识和思维知识只是关于世界某一局部领域的规律性知识 ,哲学则是从这些具体科学知识中抽象概括出来的最一般的知识。 所以哲学比具体科学更抽象。第三 ,从哲学的基本问题来看 ,哲学的基本问题是物质和意识的关系问题。 数学和哲学都有高度的抽象性 ,这是它们共同的特点 ,也是它们相通之处，哲学比数学的抽象化程度更高。

再次，从古代、近代到现代 ,数学始终影响着哲学，哲学家用数学的成果来论证哲学思想 , 或者对数学的成果进行抽象概括 ,建立哲学理论。 在古代 ,哲学家的任务是探求宇宙本体的奥秘。古代哲学的中心问题是本体论。毕达哥拉斯认为 ,世界万物的本原是数，他的数本说的哲学思想明显受到了数学的影响。 在近代 ,哲学家的任务是 探索 认识规律和人的认识界限。 近代哲学的中心问题是认识论对认识规律的不同认识 ,产生了唯理论和经验论两大学派 ,但这两大学派都受到了数学的影响。 唯理论的哲学家笛卡儿和莱布尼兹都是卓越的数学家。与唯理论相对立的经验论哲学学派 ,也受到了数学的影响。总之数学始终影响着哲学的发展 ,数学以其成果推动着人类哲学思想的发展。

最后，哲学对数学有着巨大的影响。 数学的发生和发展 ,归根结底是由生产决定的-。 哲学思想通过数学家而影响其研究成果的获得。正确的哲学思想对数学的发展起促进作用 ,错误的哲学思想对数学的发展起阻碍作用。

总而言之 ,数学和哲学有着密切的联系，没有哲学 ,固然难以得知数学的深度 ,然而没有数学 ,也同样无法探知哲学的深度 ,两者互相依存。

人类进化齐眼耳口鼻大脑皮肤之前，是靠的那六种感官凭条件反射觅的食。

这也是动物活着的方法。

当能初步果腹，有了多余的食物吃不完扔了可惜(由大脑指挥的一一哲思)，剩余可互换所需，结绳节计数定多少(数学登台了)， 社会 形成了。

这是人类第一次伟大的和平，交换剩余价值，不打抢，不战争(推翻了弱肉强食邪说)。

人类第一次将集体力量，对向了大自然。

哲学与数学离不开，同时产生的。共同引导了人类战胜大自然。

哲学引导了数学，数学以及各学科验证了哲学。

哲学是导航塔，科学是护航人。

我想简短的说这一关系，数学是哲学的低级表现，哲学是数学和其它任何学科的指导。例如，在数学里，众多的数可以组成一条延伸的线，这就是哲学里的量变到质变的定律。又如，数学里，1+1=2，这是不变的。而在哲学里可以等于2，也可大于2，也可小于2，这里就出现了矛盾的多样性，数学是不能解决的。所以这时就体现了哲学的全面性。

所以数学是哲学的低级表现，哲学起指导和决定的作用。

1数学和哲学即存在联系又相互区别：因为他们都是对客观事物的反应,因此,数学和哲学都是对物质世界的一种发现,必然存在联系；而他们之间又有区别,因为客观事物在发展,客观事物的表象也不仅相同,因此反映到数学和哲学上,必然有所不同；

2说数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科,是不尽然的,数学中的有的研究方法也适用于哲学；同样的,哲学中的方法论也对研究数学又所启迪和帮助；因此,数学和哲学在某种程度上是可以互补和转化的,因为客观事物之间也是可以互补和转化的 数学和哲学即存在联系又相互区别：因为他们都是对客观事物的反应,因此,数学和哲学都是对物质世界的一种发现,必然存在联系；而他们之间又有区别,因为客观事物在发展,客观事物的表象也不仅相同,因此反映到数学和哲学上,必然有所不同；

3 说数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科,是不尽然的,数学中的有的研究方法也适用于哲学；同样的,哲学中的方法论也对研究数学又所启迪和帮助；因此,数学和哲学在某种程度上是可以互补和转化的,因为客观事物之间也是可以互补和转化的

数学是绝对的，1+1=2，也只能是1加1等于2，而哲学可以把1加1说成等于任何数！

数学研究的目的，数学是人类探究世界，研究自然界任何事物的核心。没有数学就没有物理学，化学，生物学，人类将永远停滞不前。是关于秩序的科学，人们都在用数学来规范他们的人生、社会和世界。想想柏拉图的例子吧——这位古希腊哲学家曾经在自己的学园门口刻上这样的字样：“不懂几何者，不得入内。”他对几何学如此热爱，以至于不仅将它视为获得最高真理的典范，也视为获得他崇尚的政治秩序的基础。几何学中的每一件事都有着清晰、理性、不可动摇的位置，而柏拉图的理想国也是如此，在国家的阶级体系中，每一个人都有明确的位置。柏拉图设想的由哲学家统领的、等级严明的寡头政治体系放到今天或许会让大家感到排斥，然而从他所在的时代一直到今天，他的理想国对改革者们来说一直都是一个文明有序的社会范本。

数学研究的目的是使用几何学中的原理来构建有序社会和国家，这种想法到后世仍然有人采用。17世纪，耶稣会试图用几何原理的模型来改革天主教会体系，并以此支持教皇集权和不可动摇的等级制度。法国的路易十四国王也建造了如下充满各式各样几何图形、令人眼花缭乱的凡尔赛花园，作为自己权力的象征。花园中的每一块石头、每一朵花、每一棵草都严格遵照几何学规则，放在应放的位置，而所有的这一切都指向国王的宫殿——那是所有。另一方面，反对等级制度的人们却乐于将数学作为自己的理论基础，为他们的事业贡献力量，而这方面最典型的代表就是微积分。在微积分建立初期，它的原理看起来是有矛盾的，人们对它的了解也不完善，但它仍然产生了很多优美而强大的结论。对于追随者来说，微积分就是放下教条主义、直奔实际目标的典范。

数学研究的目的不仅影响了政治，也影响了文化潮流的走向。19世纪早期，受浪漫主义运动影响，高等数学拒绝与自然世界相结合，转而走向另一个只由数学定理统治的世界。正像那个时期的浪漫主义画家、诗人和作曲家一样，数学家试图脱离充满缺陷的、堕落的现实生活，追寻一个由真理与美构成的完美天国。而到了20世纪初，非欧几何的发展颠覆了我们对真实世界看似不言而喻的假设，我们所处的欧几里得的世界竟然只是无穷可能性中的一种——这一发现大大影响了现代美术和文学，使它们摒弃了单一视角的叙述，开始采用多重视角。

数学已经影响了一代又一代人的生活，但我希望它已经足够说明数学的确很重要。并不仅仅是因为数学的研究结果可能在某一天会派上用场，创造出先进的科技，也因为我们人类历史上的最高目标——对秩序和意义的寻求，永远将我们带回到数学的怀抱。

十八九世纪之交，德国产生了一位伟大的数学家，他就是人称“数学王子”的高斯。

　对数学的痴迷，加上勤奋的学习，18岁时高斯发明了用圆规和直尺作正17边形的方法，从而解决了2000年来悬而未解的难题。他21岁大学毕业，22岁获博士学位。他在博士论文中证明了代数基本定理，即一元n次议程在复数范围内一定有根。在几何方面，高斯是非欧几何的发明人之一。高斯最重要的贡献还是在数论上，他的伟大著作《算术研究》标志着数论成为独立的数学分支学科的开始，而且这本书所讨论的内容成为直到20世纪数论研究的方向。高斯首先使用了同余记号，并系统而深入地阐述了同余式的理论；他证明了数论中的重要结果二次互反律等。高斯去世后，人们建立了以正17边形棱柱为基座的高斯像，以纪念这位伟大的数学家。

1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根 幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

高斯长期从事于数学并将数学应用于物理、天文学和大地测得学等领域的研究，著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），完成4项意义重大的发明：（日光）、回照器(1820)、光度计(1821)、电报(1832)和磁强计(1837)。在各领域的主要成就有：1．物理学和地磁学中，关于静电学（如高斯定理）、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量（如磁场强度）以及地磁场分布的理论研究（如把地面上任一点的磁势进行球谐分析）。2．利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。3．天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。4．结合实验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外在纯数学方面，他对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明，如自然数为素数乘积定理、二项式定理、散度定理等。

职业生涯

他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格丁根大学学习。第二年他就发现正十七边形的尺规作图法。并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题。

高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高理的数论研究 总结 在《算术研究》（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典着作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。 他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了着名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。

高斯最出名的故事就是他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算1＋2＋3…＋100＝？”。 这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后将答案解了出来，他利用算术级数（等差级数）的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目一对对的凑在一起：1＋100，2＋ 99，3＋98，……49＋52，50＋51 而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是： 101×50＝5050。 1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦，有一个后来被证认为小行星并被命名为谷神星的天体被发现当时它好像在向太阳靠近，天文学家虽然有40天的时间可以观察它，但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置。高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法（一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法在天文学中这一成就立即得到公认。他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星”智神星”方面也获得类似的成功。

数学神童

　历史上间或出现神童。神童常常出现在数学、音乐、棋艺等方面。卡尔·弗雷德里希·高斯，一位数学神童，是各式各样的天才里最出色的一个。就像狮子号称万兽之王，高斯在数学家之林中称王，他有一个美号——数学王子。高斯不仅被公认为是十九世纪最伟大的数学家，并且与阿基米德、牛顿并称为历史上三个最伟大的数学家。现在阿基米德和牛顿的名字早已进入了中学的教科书，他们的工作或多或少成为大众的常识，而高斯和他的数学仍遥不可及，甚至于在大学的基础课程中也不出现。但高斯的肖像画却赫然印在10马克——流通最广泛的德国纸上，相应地出现在美元和英镑上的分别是乔治·华盛顿和伊丽莎白二世。1777年4月30日，高斯出生在德国下萨克森洲的不伦瑞克（Braunscheig），他的祖先里没有一个人可以说明为什么会产生高斯这样的天才。高斯的父亲是个普通的劳动者，做过石匠、纤夫、花农，母亲是他父亲的第二个妻子，当过女仆，没有受过什么教育，但她聪明善良，有幽默感，并且个性很强，她以97岁高寿仙逝，高斯是她的独养儿子。据说高斯3岁时就发现父亲帐簿上的一处错误。高斯9岁那年在公立小学读书，一次他的老师为了让学生们有事干，叫他们把从1到100这些数加起来，高斯几乎立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的桌子上，当所有的石板最终被翻过时，这位老师惊讶地发现只有高斯得出了正确的答案：5050，但是没有演算过程。高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……这么一来，就等于50个101相加，从而答案是5050。高斯在晚年常幽默地宣称，在他会说话之前就会计算，还说他问了大人字母如何发音，就自己学着读起书来。高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵的注意，这位公爵是个热心肠的赞助人。高斯14岁进不伦瑞克学院，18岁入哥廷根大学。当时的哥廷根仍默默无闻，由于高斯的到来，才使得这所日后享誉世界的大学变得重要起来。起初，高斯在做个语言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是1796年3月30日的事了。当他差一个月满19岁时，他对正多边形的欧几里德作图理论（只用圆规和没有刻度的直尺）做出了惊人的贡献，尤其是，发现了作正十七边形的方法，这是一个有着二千多年历史的数学悬案。高斯初出茅庐，就已经炉火纯青了，而且以后的五十年间他一直维持这样的水准。高斯所处的时代，正是德国浪漫主义盛行的时代。高斯受时尚的影响，在其私函和讲述中，充满了美丽的词藻。高斯说过：“数学是科学的皇后，而数论是数学的女王。”那个时代的人也都称高斯为“数学王子”。事实上，纵观高斯整个一生的工作，似乎也带有浪漫主义的色彩

在高斯的时代，几乎找不到什么人能够分享他的想法或向他提供新的观念。每当他发现新的理论时，他没有人可以讨论。这种孤独的感觉，经年累月积存下来，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。这种智慧上的孤独，在历史上只有很少几个伟人感受过。高斯从不参加公开争论，他对辩论一向深恶痛绝，他认为那很容易演变成愚蠢的喊叫，这或许是他从小对粗暴专制的父亲一种心理上的反抗。高斯成名后很少离开过哥廷根，他曾多次拒绝柏林、圣彼德堡等地科学院的邀请。高斯甚至厌恶教学，也不热衷于培养和发现年轻人，自然就谈不上创立什么学派，这主要是由于高斯天赋之优异，因而心灵上离群索居。可这不等于说高斯没有出类拔萃的学生，黎曼、狄里克雷都堪称伟大的数学家，戴特金和艾森斯坦也对数学作出了杰出贡献。但是由于高斯的登峰造极，在这几个人中，也只有黎曼（在狄里克雷死后继承了高斯的职位）被认为和高斯比较亲近。和高斯同时代的伟大数学家雅可比和阿贝尔都抱怨高斯漠视了他们的成就。雅可比是个很有思想的人，他有一句流传至今的名言：“科学的唯一目的是为人类的精神增光”。他是高斯的同胞，又是狄里克雷的丈人，但他一直没能和高斯攀上亲密的友情。在1849年哥廷根那次庆祝会上，从柏林赶来的雅可比坐在高斯身旁的荣誉席上，当他想找话题谈数学时，高斯不予理睬，这可能是时机不对，当时高斯几杯甜酒下肚，有点不能自制；但即使换个场合，结果恐怕也是一样。在给他兄弟论及该宴会的一封信中，雅克比写到，“你要知道，在这二十年里，他（高斯）从未提及我和狄里克雷……”阿贝尔的命运很惨，他与后来的同胞易卜生、格里格和蒙克一样，是在自己领域里唯一取得世界性成就的挪威人。他是一个伟大的天才，却过着贫穷的生活，毫无同时代人的了解。阿贝尔20岁时，解决了数学史上的一个大问题，即证明了用根式解一般五次方程的不可能性，他将短短六页“不可解”的证明寄给欧洲一些著名的数学家，高斯自然也收到了一份。阿贝尔在引言中满怀信心，以为数学家们会亲切地接受这篇论文。不久，乡村牧师的儿子阿贝尔开始了他一生唯一的一次远足，当时他想以这篇文章作敲门砖。阿贝尔此行最大的愿望就是拜访高斯，但高斯高不可攀，只是将论文瞄了几行，便把它丢在一旁，仍然专心于自己的研究工作。阿贝尔只得在从巴黎去往柏林的旅途中，以渐增的痛苦绕过哥廷根。高斯虽然孤傲，但令人惊奇的是，他春风得意地度过了中产阶级的一生，而没有遭受到冷酷现实的打击；这种打击常无情地加诸于每个脱离现实环境生活的人。或许高斯讲求实效和追求完美的性格，有助于让他抓住生活中的简单现实。高斯22岁获博士学位，25岁当选圣彼德堡科学院外籍院士，30岁任哥廷根大学数学教授兼天文台台长。虽说高斯不喜欢浮华荣耀，但在他成名后的五十年间，这些东西就像雨点似的落在他身上，几乎整个欧洲都卷入了这场授奖的风潮，他一生共获得75种形形色色的荣誉，包括1818年英王乔治三世赐封的“参议员”，1845年又被赐封为“首席参议员”。高斯的两次婚姻也都非常幸福，第一个妻子死于难产后，不到十个月，高斯又娶了第二个妻子。心理学和生理学上有一个常见的现象，婚姻生活过得幸福的人，常在丧偶之后很快再婚，一生赤贫的音乐家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫也是这样。

浪漫主义Romanticism文艺的基本创作方法之一，与现实主义同为文学艺术上的两大主要思潮。作为创作方法，浪漫主义在反映客观现实上侧重从主观内心世界出发，抒发对理想世界的热烈追求，常用热情奔放的语言、瑰丽的想象和夸张的手法来塑造形象。浪漫主义的创作倾向由来已久，早在人类的文学艺术处于口头创作时期，一些作品就不同程度地带有浪漫主义的因素和特色。但这时的浪漫主义既未形成思潮，更不是自觉为人们掌握的创作方法。浪漫主义作为一种主要文艺思潮，从18世纪后半叶至19世纪上半叶盛行于欧洲并表现于文化和艺术的各个部门。现代浪漫主义思潮是自由精神普遍深入到情感领域的产物中国现代浪漫主义文学思潮萌芽于20世纪初,到"五四"达到高潮由于社会革命的兴起,"五四"浪漫主义思潮发生分化但中国现代浪漫主义文学思潮并没有消失,而是在低谷中探索,它大致沿着两条途径发展,一是由"五四"浪漫主义蜕化出30年代的田园牧歌型的浪漫主义,再到40年代浪漫主义,一度回归文坛中心,新时期则再次复兴,不久它就整体性地消失在80年代中期涌起的现代主义潮流中了;二是与政治结缘,由"革命浪漫主义"蜕变为"文革"时期的伪浪漫主义在梳理中国20世纪浪漫主义文学思潮发展脉络的同时,注意揭示其规律性,并对它成败得失的经验和一些重要的理论问题进行了总结　理性主义、欧洲理性主义（Rationalism）是建立在承认人的理性可以作为知识来源的理论基础上的一种哲学方法，高于并独立于感官感知。一般认为随着笛卡儿的理论而产生，17-18世纪间主要在欧洲大陆上得以传播。同时代相对的另一种哲学方法被称为不列颠经验主义（经验主义中的一派），它认为人类的想法来源于经验，所以知识可能除了数学以外主要来源于经验。这里主要关注的是人类的知识来源以及证实我们所知的一种手段。理性指能够识别、判断、评估实际理由以及使人的行为符合特定目的等方面的智能。理性通过论点与具有说服力的论据发现真理，通过符合逻辑的推理而非依靠表象而获得结论，意见和行动的理由。理性主义及经验主义并非由当时的哲学家，而是后人作出了区分。事实上，有时两者之间的区分并不像人们所说的那么显著。三位主要的理性主义者都认同经验科学的重要性，并且他们在研究方法及形而上学的理论上更接近笛卡儿而不是斯宾诺莎（Baruch Spinoza）和莱布尼兹（Gottfried Leibnitz）。尽管这种区分在著书立作时很有必要，他们在哲学本身来说不是非常有用。人文主义是文艺复兴时期主流社会思潮的核心。“人文主义”“人文精神”“人文思想”没有太大的区别。“人文主义”来源于英文humanise，这个单词根据不同语境的需要也可以被译成“人文”“人本”“人道主义”。文艺复兴时期人文主义的核心思想是：反对中世纪神学抬高神、贬低人的观点，强调人的可贵；反对神学的禁欲主义和来世观念，提倡人们对现实生活的追求；反对宗教束缚和封建等级观念，追求人的个性解放和自由平等；反对中世纪的蒙昧主义，推崇人的经验和理性；提倡人类认识自然，征服自然，以造福人生。

数学分析中的题目需要推理论证的占了绝大多数，与高等数学题目的不同也体现在这：数分题偏重论证，高数题偏重计算。

所以平时要注意培养自己推理论证的能力，当拿到数分题的时候就要先认真读懂题目，找出已知条件，明确要证明的方向，对解题中要用到的定理和有用的结论做到心中有数，然后就开始论证。做题过程就是一个人数学思想的流露过程。

个人认为还是要多思考书中定理，例题的证明原理；课后的练习题最好自己动手做，然后对照答案找出自己证明过程中的不足加以改善；另外一些有用的结论要熟记于心。数学分析很难学，但付出总有回报，多努力了。

水象星座，包括巨蟹座、天蝎座、双鱼座，他们总是生长在隐秘的地方，即使被人看见，也总是在水中游荡。水象星座的人有着很强的神秘感以及对感情的极高敏感度。其中双鱼座，是天生喜欢数学的星座，他们不但有着感情的感知力，还有着很强的理性思考力。理解世界作为水象星座里最神秘的双鱼座，他们对这个世界的理解总是很特别的。虽然人们给双鱼座的标签只有简单的浪漫主义者这五个字，但其实只有深入了解星座的人才知道，双鱼座的特质根本多到概括不完。他们凭借着极强的理解力打下成就，并且天生就对数学类的学科有好感。思考深奥双鱼座从小就很反感身边的人将文学作为他们的代名词，虽然双鱼座的确很有文学气息，但他们真正喜欢的，是理科知识。在小学时，双鱼座就因为成绩优异进入了奥数班，长大以后更是选择理科为业。可以说，在双鱼座眼里，只有数学能够给他们更深入思考的空间和机会。感知力量感知这个世界的规律，从来不是单纯靠感性就能做到的。双鱼座的多愁善感和感性敏感，都来自于他们强大的理性感知力。天生拥有强大感知力量的双鱼座，最喜欢的就是有规律可循的事物，他们善于察找规律、利用规律推出新东西。所以他们喜欢数学，也是理所当然的了。喜爱理智双鱼座虽然很容易陷入幻想，并且很容易滥情。但其实他们最憎恨的就是感情用事。大多数时候，双鱼座会把幻想和滥情放在心里，自己消受完毕就扔在一边；但是在面对现实生活的时候，他们永远是理智的、辩证的。这也是他们很热爱数学的一个原因，因为数学是绝对理智的。