如果sin(α+β)sin(α－β)=mn,那么tantanα等于

sin(a+b)/sin(a-b)=m/n(sinacosb+cosasinb)/(sinacosb-cosasinb)=m/n(tana+tanb)/(tana-tanb)=m/nmtana-mtanb=ntana+ntanb(m-n)tana=(m+n)tanbtanb/tana=(m-n)/(m+n)为了书写方便，我用a,b来表示α，β

(sinacosb+cosasinb)/(sinacosb-cosasinb)

分子分母同除以cosasinb:

tanacotb+1/tanacotb-1=m/n

ntanacotb+n=mtanacotb-m

(m-n)tanacotb=m+n

tanacotb=(m+n)/(m-n)

tana/tanb=(m+n)/(m-n)

设实数根是m

则m^2-mtana-2-(m+1)i=0

则m^2-mtana-2=-(m+1)=0

m=-1

tana=1

a是锐角

a=π/4

设有纯虚数根ni，n是实数且不等于0

则-n^2-ni(tana+i)-(2+i)=0

-n^2+n-2-(ntana+1)i=0

所以-n^2+n-2=-(ntana+1)=0

-n^2+n-2=0,无实数解

所以假设不正确

所以方程无纯虚数根

sin(a+b)/sin(a-b)=m/n＝(sinacosb+cosasinb)/(sinacosb-cosasinb)(上下同除以cosacosb)

＝(tana+tanb)/(tana－tanb)

即(m+n)/(m-n)=2tana/(2tanb)(比例的性质，合比定理）

即

tana/tanb=(m+n)/(m-n)