空间力系里右手定则判断空间力系的方向时怎么用右手定则，掌心的是要对着自己这边吗？

右手定则是关于空间坐标系中X,Y,Z轴正方向的规定。

要标注X、Y和Z轴的正轴方向，就将右手背对着屏幕放置，伸出大拇指、食指和中指，如图所示。大拇指指向为X轴正方向，食指指向为Y轴的正方向，中指所指示的方向即是Z轴的正方向。

掌心是背对屏幕对着自己这边。

第五章 空间任意力系

习 题

51 托架A 套在转轴z 上，在点C 作用一力F = 2000 N 。图中点C 在Oxy 平面内，尺寸如图所示，试求力F 对x ，y ，z 轴之矩。

F z F x

F F xy

F y

题51图

解：F x =F cos45 sin60 =122KN

F y =F cos45 cos60 =07KN F z =F sin 45 =14KN M x =F z 60mm =8485KN ⋅mm

M y =F z 50mm =7071KN ⋅mm M z =F x 60mm +F y 50mm =10884KN ⋅mm

52 正方体的边长为a ，在其顶角A 和B 处分别作用着力F 1和F 2，如图所示。求此两力在轴x ，y ，z

上的投影和对轴x ，y ，z 的矩。

题52图

解：F x =F 2sin α-F 1cos βsin α

F y =-F 1cos βcos α F z =F 1sin β+F 2cos α

M x =F z a =aF 1sin β+aF 2cos α

M y =aF 1sin β

M z =F y a -F x a =-aF 1cos βcos α-aF

2sin α-aF 1cos βsin α

53 如图所示正方体的表面ABFE 内作用一力偶，其矩M = 50 kN·m ，转向如图。又沿GA

、BH 作用两力F 、F ′，F = F′，a = 1 m。试求该力系向C 点的简化结果。

解：两力F 、F ′能形成力矩M 1

M 1=Fa =⋅m M 1x =M 1cos45

M 1y =0 M 1z =M 1sin 45

M x =M 1cos45

=50KN

⋅m

M z =M 1z +M =M 1sin 45 +50=100KN ⋅m

M C =

=⋅m

α=634 β=90 γ=26 5 6

54 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m

，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N，F 2 = 4 N，F 3 = 3 N；M 1 = 4 N·m ，M 2 = 2 N·m ，求力系向O 点简化所得的主矢F R " 和主矩M O 。

题54图

" 解：F R =F 1+F 2-F 3=6N

方向为Z 轴正方向

M x =M 2+2F

1+2F 2-4F 3=8N ⋅m

M y =M 1-3F 1-F 2+F 3=-12N ⋅m

M O ==1442N ⋅m

α=5663

β=-339 γ=90

55 如图所示圆柱重W =10kN，用电机链条传动而匀速提升。链条两边都和水平方向成300角。已知鼓轮半径r =10cm ，链轮半径r 1=20cm ，链条主动边（紧边）的拉力T 1大小是从动边（松边）拉力T 2大小的两倍。若不计其余物体重量，求向心轴承A 和B 的约束力和链的拉力大小（图中长度单位cm ）。

F Bz

F Az

F Bx

F Ax

W

题55图

解：

∑X =0, F ∑Z =0, F ∑M ∑M

z

+F +T cos30+T cos30=0 Ax Bx 12

Az

+F Bz -T 2sin30 +T 1sin30 -W =0

=0, -60T 1cos30 -60T 2cos30 -100F Bx =0

M =0, -30W +60T sin30-60T sin30+100F Bz =0 ∑x 12

y

=0, Wr +T 2r 1-T 1r 1=0

F Ax =-2078KN , F Az =13KN F Bx =779KN , F Bz =45KN T 1=10KN , T 2=5KN

56 如图所示均质矩形板ABCD 重为W = 200 N，用球铰链A 和蝶形铰链B

固定在墙上，并用绳索CE 维持在水平位置。试求绳索所受张力及支座A ，B 处的约束力。

解：取长方形板ABCD 为研究对象，受力如图所示重力W 作用于板的型心上。选坐标系Axyz ，设AD 长

题56图

2a ，AB 长为2b ，列出平衡方程并求解

F Bz =0

F Az =100N

57 如图所示，水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知力F 1=800N和未知力F 。如轴平衡，求力F 和轴承约束力的大小。

y

x

题57图

解：

∑X =

0, F ∑Z =0, F ∑M

z

Ax

+

F

Bx +F

1=0

Az

+F Bz +F =0

=0, -140F 1-100F Bx =0

∑M ∑M

y

=0,20F 1-20F =0 =0,40F +100F Bz =0

x

F Ax =320N , F Az =-480N F Bx =-1120N , F Bz =-320N

F =800N

58

扒杆如图所示，立柱 AB 用 BG 和 BH 两根缆风绳拉住，并在 A 点用球铰约束，A 、H 、G 三点位于Oxy 平面内，G 、H 两点的位置对称于y 轴，臂杆的D 端吊悬的重物重W = 20 kN；求两绳的拉力和支座A 的约束反力。

题58图

解：G 、H 两点的位置对称于y 轴

F BG =F BH

∑X =0, -F ∑Y =0, -F ∑Z =0, F ∑M

x

Az

BG

sin45 cos60 +F BH sin45 cos60 +F Ax =0 cos45 cos60 -F BH cos45 cos60 +F Ay =0

BG

-F BG sin60 -F BH sin60 -W =0

=0,5F BG sin45 cos60 +5F BH sin45 cos60 -5W =0

F BG =F BH =2828KN , F Ax =0, F Ay =20KN , F Az =6899KN

59 如图所示，

一重量W = 1000N的均质薄板用止推轴承A 、B 和绳索CE 支持在水平面上，可以绕水平轴AB 转动，今在板上作用一力偶，其力偶矩为M ，并设薄板平衡。已知a = 3 m，b = 4 m，h = 5 m，M = 2000 N·m ，试求绳子的拉力和轴承

A 、B 的约束力。

510 如图所示作用在踏板上的铅垂力F 1使得位于铅垂位置的连杆上产生的拉力F = 400 N，

α=30o ，a = 60 mm，b = 100 mm，c = 120 mm。求轴承A 、B 处的约束力和主动力F 1。

题510图

解：

∑Y =0, F ∑M ∑M ∑M

By

+F Ay =0 +F Bz -F -F 1=0

∑Z =0, F

x

Az

=0,2bF 1-cF cos α=0 =0, aF -bF Bz +bF Az =0 =0, bF By -bF Ay =0

y

z

F Ay =F By =0，F Az =42392N ， F Bz =18392N F 1=20784N

511 如图所示为一均质薄板，其尺寸单位为mm 并标示于图中，求该薄板的重心。

x

题 511图

解：三角形OAB 的中心为：(15,667)

A 1=300mm 2

小圆重心为：(6,6)

A 2=16π

该薄板的重心：

x =

x 1A 1-x 2A 2

=168

A 1-A 2

y =

y 1A 1-y 2A 2

=-04

A 1-A 2

512 如图所示，从 R = 120 mm的均质圆板中挖去一个等腰三角形。求板的重心位置。

x

题512图

解：圆重心：(0,0)

A 1=14400πmm 2

三角形重心：(0,30)

A 2=8100mm 2

板的重心位置：

x =

x 1A 1-x 2A 2

=0

A 1-A 2

y 1A 1-y 2A 2

y ==-654

A 1-A 2

513 试求图所示均质板OABCD 的重心位置（图中尺寸的单位为mm ）。

x

题513图

题514图

2

解：I部分重心：(45,20) A 1=2700mm

∏部分重心：(105,20) A 2=900mm 2

I∏部分重心：(60, -20) A 3=4800mm 2

均质板OABCD 的重心：

x =

x 1A 1+x 2A 2+x 3A 3

=60mm

A 1+A 2+A 3

y 1A 1+y 2A 2+y 3A 3

y ==-286mm

A 1+A 2+A 3

514 试求图所示均质等厚板的重心位置（图中尺寸的单位为mm ）。

解：I部分重心：(45,60), A 1=10800mm 2

∏部分重心：(73,60), A 22=800πmm I∏部分重心：(45, -20), A 3=2700mm 2

均质等厚板的重心： x 1A 1+x 2A 2+x 3A 3

x =

A A =494mm

1+2+A 3

y =

y 1A 1+y 2A 2+y 3A 3

A +A =465mm

12+A 3

x

1 静平衡的计算

对于轴向宽度不大的转子，其质量可近似认为在同一回转平面内，回转体其质量不平衡产生的离心惯性力可用平面汇交力系表示，因合力不为零回转体不平衡，产生不均匀转动，转速逐渐降低，静止时合力方向在铅垂线轴心下方。在铅垂线上方，做一平衡质量mb，使其产生的离心力与汇交力系合力矢大小相等，方向相反，这样，回转体才能平衡，保持均匀转动。

以角速度ω回转时，其质量产生的离心惯性力构成了一个平面汇交力系，若此力系的合力不为零，则该回转体不平衡。若使回转体平衡，则应在回转体内，增加或减少一平衡质量。使其产生的离心力Fb与原力系的离心力的矢量和∑Fi等于零，此时回转体必达到平衡状态。

这样，平衡的条件就可用下式表示：

F=Fb+∑Fi=0

式中：F为总离心力。

分别用质量和向径表示，可写成

mrω2= mbrbω2+∑miriω2

mr=mbrb+∑miri=0

式中mr、ri分别为回转平面内各偏心质量及其向径；mb、ri分别为平衡质量及其向径。mr称为质径积，若等于零则表示总质心与回转体轴线重合，回转体质量对回转轴线静力矩等于零，称为静平衡。由此可见，机械静平衡的条件是所有质径积的矢量和等于零。

在转子结构设计以后，由其几何形状和材料密度求出各部分的不平衡质量和质心的向径，从而求得不平衡质径积∑miri，再求出mbrb，适当选定正向径rb，则校正质量mb即可确定。

平衡配重的质径积 可用矢量图解法求得。根据任一已知质径积选定比例尺，按向径 的方向分别作向量m1r1、m2r2、m3r3、mkrk、，mbrb使其首尾相连，封闭图形的向量 ，即为所求的平衡质径积 。求出mbrb后在由结构确定rb，最后确定mb的值。

2 动平衡计算

有时受实际结构所限，不便在该回转面内增、减平衡质量，如单缸曲轴则需另选两个校正回转平面Ⅰ和Ⅱ，在两个校正平面内增加平衡质量，使回转体得到平衡。由力系的平行合成原理得：

m1r1=mbrbL2/L

m2r2=mbrbL1/L

由此可知：任一质径积都可用任意选定的两个校正回转平面Ⅰ、Ⅱ的两个质径积代替。若矢经不变，任一质量都可用任选的两个回转平面内的两个质量来代替。

现在我们来讨论一下轴向尺寸较大的回转体的平衡问题。这类构件如内燃机轴、机床主轴等，其质量不可能分布在同一回转平面内，但可以看作是分布在垂直于轴线的若干个相互平行的回转平面内，各平行平面内的不平衡质量所产生的离心力就形成了空间力系。这类回转体即前面提到的动不平衡，如下图示。如何解决这个实际问题呢？下面我们就来分析一下各偏心质量位于不同平行平面内的回转体的平衡计算方法。

为使动不平衡的回转体达到完全平衡，必须满足如下条件：

∑Fi== 0 ∑Mi== 0

即不仅使其各不平衡质量所产生的惯性力之和为零，而且要使这些惯性力所形成的惯性力偶矩之和也为零。满足上述条件的平衡称为动平衡。 由于动平衡同时满足了静平衡条件，故达到动平衡的回转体一定是静平衡的，但满足静平衡的回转体不一定达到动平衡。

当以角速度ω回转时，偏心质量所产生的离心惯性力及惯性力偶形成以空间力系。为达到平衡，

2,表示混流式水轮机,转轮型号为542(比转速)/543(比转速)

3,对于高转速机组来说材料要求其强度和刚度更高，而机组的尺寸和重量都比较小；但高转速机组的动平衡要求高，（通常高转速用于高水头，小流量的地方，因此水轮机的压力高，需要比较好的密封）

你恰好说反了吧。

空间力系向一点简化，主矢与简化中心无关，但主矩与简化中心有关。

空间力系向一点简化，实际就是把所有力平移到这一点上。一个力从原作用点移到该点后，需要附加一个力偶矩。假设一个力Fi的作用点为Oi，将力Fi移到O点，需要附加的力偶矩为Mi=OOiXF,显然，OOi和o点的位置有关，故附加力偶矩Mi与O点位置有关。

当空间力系的主矢为0时，该力系等效于一个力偶矩，这个力偶矩就是该力系的主矩，和简化中心位置有关。

1 空间力偶的等效条件由平面力偶理论可知，在同一平面内，力偶矩相等的两力偶等效。实践经验还表明，力偶的作用面也可以平移。例如，用螺丝刀拧螺钉时，只要力偶矩的大小和力偶的转向保持不变，则力偶的作用面可以沿垂直于螺丝刀的轴线平行移动，而并不影响拧螺钉的效果。由此可知，空间力偶的作用面可以平行移动，而不改变力偶对刚体的作用效果。反之，如果两个力偶的作用面不相互平行（即作用面的法线不相互平行），即使它们的力偶矩大小相等，这两个力偶对刚体的作用效果也不同。如图3-9所示的三个力偶，分别作用在三个同样的物块上，力偶矩都等于200N·m。因为图3-9a、3-9b中两力偶的转向相同，作用面又相互平行，因此，这两个力偶对物块的作用效果相同，它们使静止物块绕x轴转动；如果力偶作用在图3-9c所示的平面上，虽然力偶矩的大小未变，但是它使物块绕y轴转动，可见与前两个力偶对物块的作用效果不同。图3-9综上所述，空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体的两平行平面内的两个力偶，若它们的力偶矩的大小相等且力偶的转向相同，则两力偶等效。可见力偶对刚体的作用与力偶作用面的位置无关，而仅与作用面的方位有关。由此可知，空间力偶对刚体的作用效果取决于下列三个要素： (1)力偶矩的大小； (2)力偶的转向； (3)力偶作用面的方位。