AB是过椭圆焦点2X平方+Y平方=2的焦点的弦,O为坐标原点,求AOB面积的最大值:
过焦点(0,1)的直线方程为y=kx+1,代入椭圆方程的:(2+k^2)x^2+2kx-1=0,由弦长公式有L=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)√((2k/(2+k^2)^2+4/(2+k^2)),原点到直线的距离d=1/√(1+k^2),面积S=1/2dL=√(2k^2+2)/(2+k^2),令t=√(2k^2+2),则t≥√2,S=2t/(2+t^2)=2/(t+2/t)≤2/(2√2)=√2/2,所以当k=0时,S有最大值√2/2
第一问应当是连立椭圆过点(。。。)和(长轴短轴围成的菱形面积)2ab=4根2解方程的
目测结果是a=2,b=根2
至于如何目测……经过三年奥赛训练之后你也可以的……这里的目测方法是分解因式
第二问目测是1,目测方法是直接把Q放在X轴上,如果第二问是一个常数的话,只能是这个数……
然后。。。
百度离心率e=c/a,c=根2=〉e=1/根2
借助XX公式……
MN=ep/(1-ecos(theta))+ep/(1+ecos(theta))=2ep/(1-1/2cos^2(theta))
同时OQ长度平方为2sin^2(theta)+4cos^2(theta)=2+2cos^2(theta)(theta是oq与X轴夹角)
从而似乎目测错了……
MN/OQ^2=ep/[(1-1/2cos^2(theta))(1+cos^2(theta))]
不是一个常数
另外,带入数值可以得知:
ep=1
从而有MN/OQ^2=16/ (17 - Cos[4 theta])
由题知:a=10-b,
且 a的平方=b的平方+c的平方,
所以 (10-b)的平方=b的平方+c的平方
即 (10-b)的平方=b的平方+(2√5)的平方
所以 b=4
所以 a=10-4=6
所以椭圆的标准方程为 36 \ X的平方+16 \ Y的平方=1 或 16 \ X的平方+ 36 \ Y的平方=1
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