高等数学中的反函数怎么求

函数其实是两个数集之间的一种对应关系，而反函数其实就是在原函数的基础上，不改变两个数集间的对应关系，只是改变对应双方的位置：原来是

x1→y1、x2→y2……现在是

y1→x1、y2→x2……

前者就是原函数，后者就是反函数——这是函数的一种表述方法：列举法。可见，反函数的

“定义域”

和

“值域”

与原函数进行了调换。

可以想到，不是所有函数都有原函数的。函数允许

“多对一”

的关系出现，但不允许

“一对多”。所以，所有具有反函数的函数，都是

“一一对应”

的关系。可以简单地理解为函数的

“定义域”

和

“值域”

中的元素个数相等，恰好能一一配对。

假设函数

y

=

f(x)

（该函数的标准记法是：f:x→y）具有反函数：ψ:y→x。那么，f

的函数图象

f

和

ψ

的函数图象

w

必然满足以下关系：点(x，y)在f上，当且仅当点(y，x)必然在

w

上。

显然，这两个点是关于直线

y

=

x

对称的。当对于

f

上的所有点，都可以在

w

上找到轴对称点时，f

和

w

本身就是轴对称的了，而事实正是如此。

最后——轴对称的两个图象，必然“一致”。

如何求函数y=f（x）的反函数？有的书上给出了一般步骤：1确定函数y=f（x）的值域B；2从y=f（x）中解出

x=g（y）；3交换

x=g（y）中x与y的位置得到y=g（x），以B为定义域的函数y=g（x）即为所求的反函数。我们知道：给出一个实数a，a在函数y=f（x）的值域B中当且仅当相应的方程a=f（x）在函数y=f（x）的定义域中有解。因此，判断a是否在函数y=f（x）的值域B中就是要研究方程a=f（x）的可解性，而这种可解性的判断，在许多场合，依赖于解方程a=f（x）本身，即能否把方程a=f（x）中的x真的解出来即求出根，这也就相当于上面步骤2的具体化或特殊化。

所以，我们有理由说步骤1和步骤2有时简直是不可分离的一个步骤。那么在什么场合步骤1和步骤是真正的两个步骤呢在函数y=f（x）的值域是已知的场合，或者通过图象等可以容易确定的场合时就是两个步骤了。

01

首先看这个函数是不是单调函数，如果不是则反函数不存在。如果是单调函数，则只要把x和y互换，然后解出y即可。例如 y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

求反函数先判断反函数是否存在，严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同，再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致，例如 求 y=x^2 的反函数。x=±根号y，则 f(x) 的反函数是正负根号 x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

反函数的定义是：设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

反函数是对一个给定函数做逆运算的函数，一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数存在的条件为原函数的函数关系必须是一一对应的（不一定是整个数域内的），它的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域。

若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。因此，在求反函数时要先确定是不是单调函数，如果是就把x和y互换，然后解出y即可。

求反函数就是先用y表示x，后面就是移项得到y=2ˣ-y·2ˣ=2ˣ（1-y），所以2ˣ=y/（1-y），取对数就有log₂（y/（1-y））=x，再把xy对换，反函数就是y=log₂（x/（1-x））