逻辑代数中 反函数怎么求

设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得f(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为

由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即：

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。

参考资料：

反函数的表示方法是y=f-1（x），存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的，最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

相对于反函数y=f-1（x）来说，原来的函数y=f（x）称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。

函数其实是两个数集之间的一种对应关系，而反函数其实就是在原函数的基础上，不改变两个数集间的对应关系，只是改变对应双方的位置：原来是

x1→y1、x2→y2……现在是

y1→x1、y2→x2……

前者就是原函数，后者就是反函数——这是函数的一种表述方法：列举法。可见，反函数的

“定义域”

和

“值域”

与原函数进行了调换。

可以想到，不是所有函数都有原函数的。函数允许

“多对一”

的关系出现，但不允许

“一对多”。所以，所有具有反函数的函数，都是

“一一对应”

的关系。可以简单地理解为函数的

“定义域”

和

“值域”

中的元素个数相等，恰好能一一配对。

假设函数

y

=

f(x)

（该函数的标准记法是：f:x→y）具有反函数：ψ:y→x。那么，f

的函数图象

f

和

ψ

的函数图象

w

必然满足以下关系：点(x，y)在f上，当且仅当点(y，x)必然在

w

上。

显然，这两个点是关于直线

y

=

x

对称的。当对于

f

上的所有点，都可以在

w

上找到轴对称点时，f

和

w

本身就是轴对称的了，而事实正是如此。

最后——轴对称的两个图象，必然“一致”。

你好！总的来说，在中等数学的范围之内，所有有反函数的函数的一般求法是：原题中是用x来表示y，楼主需要做的是把它转化成用y来表示x，然后再把得到的式子里的x全替换成y，y替换成x，就得到了反函数。

但是在这个例子里面，情况稍微有些特殊。对数本来就是被设计出来成为指数函数的反函数的，所以只要两边取对数就能把x表示成y，再替换即可

[编辑本段]反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y) 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x) 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域 [编辑本段]反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=05x+05 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(X）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\F’（Y）。 [编辑本段]反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f‘(x)互为反函数。 ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f’(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f’(x)的定义域（如下表）： 函数：y=f(x) 反函数：y=f’(x) 定义域： A C 值域： C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f’(x)就叫做函数y=f(x)的反函数 反函数x=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f’(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f‘(x)=x/2-3 有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a [编辑本段]反函数应用 直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的： 1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 2、反解x，也就是用y来表示x； 3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x； 4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意实数） 特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。

反函数就是从函数y=f(x)中解出x，用y表示 ：x=φ(y),如果对于y的每一个值，x都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函数，习惯上，用x表示自变量，所以x=φ(y)通常写成y=φ(y) (即对换x,y的位置)。

求一个函数的反函数：

1、从原函数式子中解出　x　用　y　表示；

2、对换 x,y ；

3、标明反函数的定义域

注：反函数里的x是原函数里的y，原函数中，y≥0，所以反函数里的x≥0。在原函数和反函数中，由于交换了x、y的位置，所以原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

扩展资料：

反函数存在定理：

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。