爱因斯坦的相对论

相对论是关于时空和重力的理论，主要由爱因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。相对论极大地改变了人类对宇宙和自然的「常识性」观念，提出了「同时的相对性」、「四维时空」、「弯曲时空」等全新的概念。不过近年来，人们对于物理理论的分类有了一种新的认识——以其理论是否是决定论的来划分古典与非古典的物理学，即「非古典的 量子的」。在这个意义下，相对论仍然是一种古典的理论。

该理论取代了200年前主要由艾萨克·牛顿创立的力学理论，从而改变了20世纪的理论物理学和天文学，它引入的概念，包括时空、同时性之相对性、运动学、重力时间膨胀和劳仑兹收缩。在物理学领域，相对论改善了基本粒子的科学以及它们的基本交互作用，以及迎来核子时代。另外，藉由相对论，物理宇宙学及天体物理学预测了中子星、黑洞、重力波。

爱因斯坦在他1905年的论文《论动体的电动力学》中介绍了狭义相对论。

狭义相对论建立在下列的两个矛盾的古典力学的假设上：

狭义相对性原理（狭义协变性原理）：一切的惯性参考系都是平权的，即物理规律的形式在任何的惯性参考系中是相同的。这意味着物理规律对于一位静止在实验室里的观察者和一个相对于实验室高速等速运动着的电子是相同的。

光速不变原理：真空中的光速在任何参考系下是恒定不变的，（微中子的超光速现象实验已被证明有误，无法推翻相对论。

由此产生的理论比古典力学更能应付实验。例如，假设2解释了迈克生-莫雷实验的结果。此外，该理论具有许多令人惊讶发现。其中一些是：

同时性之相对性：发生在空间中不同位置的两个事件，它们的同时性并不具有绝对的意义，我们没办法肯定地说它们是否为同时发生。若在某一参考系中此两事件是同时的，则在另一相对于原参考系等速运动的新参考系中，此两事件将不再同时（唯一的例外为新参考系的移动方向恰好垂直于两事件空间位置的连线方向）。

时间膨胀：所有相对于一个惯性系统移动的时钟都会走得较慢，而这一效应已由劳仑兹变换精确地描述出来。

光速不变原理：不管是物理物体，还是讯息或是场线的传播速度都不能超过真空中的光速。

质能等价：E = mc2，能量和质量是等价的并且可以互换。

狭义相对论中的质量：一个物体所具有的总能量。

狭义相对论的定义是用劳仑兹变换代替了古典力学的伽利略变换。 （见马克士威方程组的电磁）。

光速不变原理

光速不变原理是狭义相对论的两个基础公设之一，在狭义相对论之中，指的是无论在何种惯性参照系中观察，光在真空中的传播速度相对于该观测者都是一个常数，不随光源和观测者所在参考系的相对运动而改变。这个数值是299,792,458公尺/秒。光速不变原理是由联立求解麦克斯韦方程组得到的，并为迈克耳孙-莫雷实验所证实。光速不变原理是爱因斯坦创立狭义相对论的基本出发点之一。在广义相对论中，由于所谓惯性参照系不再存在，爱因斯坦引入广义相对性原理，即物理定律的形式在一切参考系都是不变的，这也使得光速不变原理可以应用到所有参考系中。

爱因斯坦在1915年左右发表的一系列论文中给出了广义相对论最初的形式。他首先注意到了被称之为（弱）等效原理的实验事实：重力质量与惯性质量是相等的（目前实验证实,在{displaystyle 10^{-12}}10^{-12}的精确度范围内,仍没有看到重力质量与惯性质量的差别）。这一事实也可以理解为，当除了重力之外不受其他力时，所有质量足够小（即其本身的质量对重力场的影响可以忽略）的测验物体在同一重力场中以同样的方式运动。既然如此，则不妨认为重力其实并不是一种「力」，而是一种时空效应，即物体的质量（准确的说应当为非零的能动张量）能够产生时空的弯曲，重力源对于测验物体的重力正是这种时空弯曲所造成的一种几何效应。这时，所有的测验物体就在这个弯曲的时空中做惯性运动，其运动轨迹正是该弯曲时空的测地线，它们都遵守测地线方程式。正是在这样的思路下，爱因斯坦得到了其广义相对论。

系统的说，广义相对论包括如下2条基本假设。 ：

广义相对性原理（广义协变性原理）：任何物理规律都应该用与参考系无关的物理量表示出来。用几何语言描述即为，任何在物理规律中出现的时空量都应当为该时空的度规或者由其导出的物理量。

爱因斯坦场方程式（详见广义相对论条目）：

它具体表达了时空中的物质（爱因斯坦张量）对于时空几何（黎曼曲率张量）的影响，其中对应力-能量张量的要求（其梯度为零）则包含了上面关于在其中做惯性运动的物体的运动方程式的内容。

广义相对论的一些发现：

重力时间膨胀：重力导致的时空扭曲率越大，时间就过得越慢

进动：是自转物体之自转轴又绕着另一轴旋转的现象。 （这已经在水星轨道和双星脉冲星中观察到了）。

光偏转：光线通过重力场时存在偏转。

参考系拖曳：处于转动状态的质量会对其周围的时空产生拖曳的现象。

宇宙加速膨胀：宇宙正在扩张，并且其远处的部分以比光速更快的速度远离我们。

从技术上讲，广义相对论是一种重力理论，其主要特征是它使用了爱因斯坦场方程式。场方程式的解是度量张量，它定义了时空的拓扑学结构以及对像如何惯性运动。

相对论主要在两个方面有用：一是高速运动（与光速可比拟的高速），一是强重力场。

在医院的放射治疗部，多数设有一台粒子加速器，产生高能粒子来制造同位素，作治疗或造影之用。氟代脱氧葡萄糖的合成便是一个古典例子。由于粒子运动的速度相当接近光速（09c-09999c），故粒子加速器的设计和使用必须考虑相对论效应。

全球卫星定位系统的卫星上的原子钟，对精确定位非常重要。这些时钟同时受狭义相对论因高速运动而导致的时间变慢（-72 μs/日），和广义相对论因（较地面物件）承受着较弱的重力场而导致时间变快效应（+459 μs/日）影响。相对论的净效应是，相较于地面上的时钟，全球卫星定位系统上的时钟运行地较快。因此，这些卫星的软体需要计算和抵消一切的相对论效应，以确保定位准确。

全球卫星定位系统的算法本身便是基于光速不变原理的，若光速不变原理不成立，则全球卫星定位系统则需要更换为不同的算法方能精确定位。

过渡金属如铂的内层电子，运行速度极快，相对论效应不可忽略。在设计或研究新型的催化剂时，便需要考虑相对论对电子轨态能级的影响。同理，相对论亦可解释铅的6s2惰性电子对效应。这个效应可以解释为何某些化学电池有着较高的能量密度，为设计更轻巧的电池提供理论根据。相对论也可以解释为何水银在常温下是液体，而其他金属却不是。

由广义相对论推导出来的重力透镜效应，让天文学家可以观察到黑洞和不发射电磁波的暗物质，和评估质量在太空的分布状况。

值得一提的是，原子弹的出现和著名的质能关系式（E=mc2）关系不大，而爱因斯坦本人也肯定了这一点。质能关系式只是解释原子弹威力的数学工具而已，对实作原子弹意义不大。

重力时间膨胀：重力导致的时空扭曲率越大，时间就过得越慢

引力时间膨胀（Gravitational time dilation）是指在宇宙有不同势能的区域会导致时间以不同的速率度过的现象，引力导致的时空扭曲率越大，时间就过得越慢。爱因斯坦最初在自己的相对论中预测出这种现象，并其后由各种广义相对论实验中被证实。

其中一种证实方法就是把两个原子钟放在不同的高度（因此来自地球的引力效应会有差别），它们在一段时间后所测到的时间会有些许差别。其差别极小极小，甚至要用到纳秒来作单位。

引力时间膨胀首次由爱因斯坦于1907年提出，并是狭义相对论中参照对象的加速前进所导致的结果。在广义相对论中，它被视为是时空度规张量描述的在不同地点的原时的差。庞德-雷布卡实验首次直接证实了这种现象的存在。

注意：建议您在阅读这篇有关狭义相对论的文章之前，先阅读一下：爱因斯坦的狭义相对论。

在上一篇有关狭义相对论的文章中，我解释了如何以及为什么需要修改对空间和时间的直观理解，以说明19世纪电磁理论的发展，特别是迈克尔逊-莫雷实验和 Galilean变换下电磁波方程的非协方差。 我解释了从狭义相对论的两个假设得出长度收缩，时间膨胀，时空间隔的不变性以及最终的洛伦兹变换：

· 第一个假设：物理定律在所有惯性参考系中都采用相同的形式。

· 第二个假设：在所有惯性参考系中，光速具有相同的数值。

看到我们生活在相对论宇宙中之后，现在该看看必须调整我们的思维方式，以便正确理解相对论宇宙中的物理学。

狭义相对论最终是关于在不同参考系中观察者出现相同物理现象的方式的理论。 与狭义相对论相关的所有重要且著名的思想，例如质量能等效，时间旅行的不可能，光速作为普遍限速以及红移现象均来自这些假设。

原点位置和轴方向的选择将始终参考物理对象或对象集合，例如，站在火车上的人的位置，x轴指向对象的前部。 轴或垂直于立方体面的立方体的中心。 没有什么可以阻止我们为同一系统定义多个参考系。 例如，我们可能还会定义一个参考框，该参考框附加在一个人旁，旁边站着观看火车经过的铁轨，或者我们可以定义一个参考框，该参考框固定在观看立方体旋转的某人的位置。 在这种情况下，参考系彼此相对运动。

这就是为什么不要将坐标系与整个参考系混淆的原因。 坐标系最终是将空间中的点映射成有序的数字元组的函数，而说作为抽象数学对象的函数在物理空间中旋转或移动是毫无意义的。 就我们的目的而言，将根据参考定义此功能。 例如，二维笛卡尔坐标系会将点P发送到有序对F（P）=（x（P），y（P）），其中x（P）是从点P到y的垂直距离 轴和y（P）是从点P到x轴的垂直距离：

在这种情况下，F（P）=（2,3），因此（2,3）是点P的坐标对。

我们将仅考虑惯性参考系，即相对于彼此以恒定速度运动而不会加速或旋转的框架。 相对论可以解释非惯性系，只要重力不是驱动加速度的因素（为此，您需要广义相对论），但是我们将在本系列的后面继续讨论。 这样做的原因是，如果可以检测绝对速度，则可以定义一个绝对参考系，这与自然界先验没有配备坐标系这一事实相矛盾。 但是，绝对加速度是可以检测到的，因为加速度暗示着力，而力要么起作用，要么不起作用。 如果不是这种情况，则可能会在一个帧中发生物理过程，而在另一帧中发生物理过程，这违反了第一个假设。

我们通常会对以下情况感兴趣：实验人员正在观察某个物理对象的运动，而观察者和对象都不会受到任何加速度。 物体速度为零的唯一帧称为静止帧（或适当帧）S'，观察者速度为零的唯一帧称为观察者帧（或实验室帧）S。通常显而易见的是 哪一个。 最后，我们将始终假设观察者框架和静止框架处于标准配置，这意味着S'在x方向上相对于S具有恒定的速度，其坐标系的原点在t = t'= 0处重合，并且 两个框架中的坐标轴是平行的：

> Source: Wikimedia Commons Public domain

其余帧中的坐标标有素数（t'，x'，y'，z'），观察者坐标则标有（t，x，y，z），这些坐标通过Lorentz变换关联 ：

我们几乎总是忽略y和z坐标。

符号γ表示洛伦兹因子：

我们继续前进的最后一点。 如果确定对象在S帧中具有L的长度，在S'帧中具有L'的长度，则两个事件之间的时间间隔在S帧中是Δt而在S'帧中是Δt'，或者质点的速度是U 在帧S'中的U'和在帧S'中的U'，那么我并不是说L，Δt和U在不同的帧中"看起来"具有不同的值。 "出现"一词表示这些帧之间的这些值之间的差异某种程度上是导致它们偏离单个"真实"值的错误或错觉，或者这些数量的帧相关性表示我们的知识的局限性。 不是这种情况。 没有物体的真实长度，事件之间的真实时间间隔或粒子的真实速度之类的东西，因为测量这些东西需要坐标系，因此需要参考系。 没有单一的"正确"参考系，因此这些数量也没有单一的"正确"值。

现在，让我们深入探讨问题的实质，并使用相对论告诉我们的有关参考框架的信息来分析一些物理问题。

从不同的参考系观察物理系统并不会为该系统行为的基础增加任何物理作用。 这意味着在一个帧中正确的事物在所有其他帧中都必须正确，尽管关于该事物为何正确的解释可能会改变。 换句话说，改变您的参照系不会改变自然的事实，自然的最重要事实之一是物理事件之间的因果关系。 如果事件A在一个帧中导致事件B，那么就不会有事件B导致事件A的帧。这称为因果不变性。 我们可以使用因果关系的不变性来理解当我们说c是"通用速度限制"时的含义。

假设存在一个帧S，其中事件A通过传播比光快的信号（例如，以速度U> c发射子弹）导致事件B。 在该帧中，令Δx为两个事件之间的距离，令Δt为它们之间的时间间隔，使得U =Δx/Δt。 由于事件A在帧S中在事件B之前，因此Δt必须为正。 令S'是相对于S以v <c的速度移动的帧。然后通过洛伦兹变换：

如果由于允许所有小于c的速度而必须允许c²/ U <v <c，则我们找到了一个参考帧，其中Δt'为负，这意味着在此帧B将在A之前，这是 不允许。

这意味着，如果一个事件导致另一事件，那么它必须通过传播速度不超过光速的信号来做到这一点。 通常将其描述为"信息传播的速度不能比光快"。 但是，我们将在后面的部分中看到，如果信号不允许事件A引起事件B，则信号可以以比c更快的速度从事件A传播到事件B。

一条非常快的蛇从生物学部门的笼子中逃脱，以06c的速度冲过桌子。 蛇的正确长度（在其静止框架中测得的长度）恰好是一米。 一个学生打算用恰好一米宽的矩形网子抓住蛇，方法是在适当的时候将网子砸在桌子上，使网子的左边缘碰到蛇尾巴后面的桌子。 网的右边缘将击中蛇头前面的桌子。 如果边缘碰到了蛇的身体，那么蛇会受到伤害，并且学生会从她的顾问那里得到帮助。

学生的论点是："在我的静止帧中，蛇的速度为06c，因此我计算出蛇的长度收缩为80厘米，这意味着网的左边缘将恰好落在蛇的尾巴后面，而右边 轮缘将在其头部前方降落20厘米，而我会在不伤害蛇的情况下抓蛇。"

蛇的回答是："我长100厘米，网以06c的速度接近我，所以网的宽度缩小到80cm。 如果网的左边缘撞到我尾巴后面的桌子，那么右边缘将撞到我并折断我的背部，您将遇到很多麻烦！"

蛇会受到伤害或不会受到伤害，因此无论是蛇还是学生都是错误的。 我们如何解决这个矛盾？

令S为学生的其余部分，令S'为蛇的其余部分。 在S中，将x = 0设为网的左边缘在时间t = 0碰到桌子的点，这恰好与蛇尾通过x = 0的确切时刻相吻合。 在S'（蛇静止的帧）中，令x'= 0为蛇尾的位置。 令t₀和t₁为左右边缘在S中击中桌子的时间，令x₀和x₁为边缘在表中打击的位置。

然后，t₀＝t₁＝ 0s，x₀＝ 0cm，x₁＝ 100cm。 对于v ＝ 06c，γ＝ 125。 通过洛伦兹变换：

所以蛇是错的。 在蛇的静止帧中，网的右边缘比左边缘早25纳秒命中桌子。 的确，网的边缘在蛇的静止框架中仅相隔80厘米，但由于边缘不在蛇的框架中同时落下，因此击中桌子的点相距125厘米。

这是蛇真正看到的东西。 两条边缘相距80厘米，以06c的速度接近蛇。 右侧边缘在t'=-25ns处撞到桌子，位置在蛇尾巴前125cm或蛇头前25cm处。 此时，左边缘仍在蛇的上方，位于蛇尾巴前45厘米处。 在t'= 0s处，经过25纳秒后，左边缘将朝着蛇尾巴的方向移动06c 25ns = 45cm，这时左边缘撞到了蛇尾巴后面的桌子上。 两条边都没有碰到蛇。

这条蛇是错误的，因为它忽略了同时性的相对性：在一个参考系中同时发生但在不同位置的两个事件A和B在任何其他参考系中都不会同时发生。 此外，将存在A优先于B的框架和B优先于A的框架。这不会违反因果关系的不变性，因为这两个事件均不会导致另一个事件，因为如果A和B同时发生，但发生在不同的位置且A 如果导致B，那么这将需要信号以无限的速度从A位置传播到B位置，这是不可能的。

您可能已经注意到了一个小问题：击球台后，网的右边缘继续以06c的速度接近蛇。 由于右边缘仅在蛇的前面25cm处撞到桌子，如果蛇在其头部到达右边缘时停止，则左边缘仍将在蛇的尾部20cm处撞蛇。 这会破坏我们的整个论点吗？

否。假设蛇的头部在到达右侧边缘时停止转动。 这将发生在大约t'=-139ns。 即使我们假设蛇是完全僵硬的，此时尾巴也不会停止，因为蛇头的停止与蛇尾的停止有因果关系，因此蛇尾在信号发出之前不会停止（神经冲动） （例如弹性冲击波等），其传播速度不超过光速，它从头部传播到尾巴。 如果一条蛇停下来是因为沿着它的长度仅在一个点上发生了一个事件，则蛇的整个长度不可能同时停下来。 蛇在此帧中的长度为一米，信号以光速传播一米距离所花费的时间约为333纳秒，因此蛇的尾巴会持续运动很多时间，以避免被蛇的左边缘击中。 互联网。

考虑两个相同的双胞胎宇航员。 第一位宇航员A留在地球上，第二位宇航员B进行了一次任务，前往大约5光年远的Alpha Centauri。 B的飞船离开地球，迅速加速到09c（从地球测量），当B到达半人马座Alpha时，她停下来，转身，然后加速回到09c，返回地球。 假定加速度非常快，以使B几乎以恒定速度度过整个行程。 A将观察到整个旅程需要九年，但是在B的框架中，地球与半人马座之间的距离缩小了2倍，她看到半身人马座以09c的速度接近她，而在回程中她 看到地球以09c接近她，而对于她来说，整个往返仅用了45年，而当她返回地球时，她将比双胞胎年轻45岁。

这似乎与我们声称没有首选参考系的主张相矛盾：为什么只为B分配时间？ B不能仅仅声称地球在从地球退回然后以09c返回时她保持静止吗？

答案是否定的，因为B经历了加速，而A没有经历。 她从与A相同的休息框开始，但随后加速进入另一个休息框，然后减速回到A的休息框。 与速度不同，加速度是绝对的，我们可以肯定地说A并未远离B加速。

这是另一个著名的。

假设一个站在地球上的天文学家向月球发出非常强大的激光，其功率足以在月球表面产生一个可见点。 激光在001秒内扫描了3,393英里（考虑到表面的曲率），横越月球的赤道。 站在月球表面的观察者将看到该点在大约182c处冲过去。 但是，狭义相对论不是说没有什么能比c快吗？ 我们在理论上发现了致命的缺陷吗？

不，我们没有，因为狭义相对论并没有说"没有什么能比光传播得快。 狭义相对论告诉我们，一个事件如果导致第一个事件以大于c的速度向第二个事件的位置发送信号，则不会导致另一个事件。 在此示例中，激光点能够以比光速更快的速度从点A传播到点B，因为点A处的点出现不会导致点后来出现在点B处。 我们考虑狭义相对性告诉我们有关旋转框架的信息，我们将能够明确证明存在一个参考框架，其中点在到达A之前就到达了B。

作为最后的演示，我将介绍我的个人收藏之一。

在框架S'中，平行于x'轴的直圆柱杆以角速度ω旋转。 在框架S中，杆旋转并以速度+ vx向前移动。 我们将看到，在框架S中，杆绕其长度扭曲。

通过将杆划分为以单位距离Δx'= 1分隔的圆盘，在框架S'中开始。 将磁盘视为时钟，并在每个磁盘上画一个"指针"，使指针完全平行。 这是S'中磁盘的外观：

在S'中，相邻的手正好同时击中黑线。 但是由于同时性的相对性，在任何其他框架中都不是这样。 因此，在给定Δx'= 1和Δt'= 0的情况下，我们使用逆Lorentz变换在观察者帧S中找到Δt：

这告诉我们，"时钟"上的相邻指针通过黑线之间存在γv/c²的时间延迟，并且由于ω是每只指针旋转一整圈的角频率，因此这意味着相邻指针是 偏移相角为γvω/c²。 注意，ω在两个帧中取相同的值，因为角运动发生在垂直于杆的速度方向的平面上。 忽略杆的向前运动，这就是时钟在框架S中的样子：

这告诉我们杆必须在框架S中绕其轴扭曲。下面的动画比较了杆在每个框架中的外观，左侧为S'，右侧为S：

> Note: the intensity of the twisting is highly exaggerated

杆不受任何形式的扭力或其他机械变形。 杆本身的几何形状在两个参考系之间是不同的。

您可能已经注意到，对于一篇有关物理学主题的文章，我们实际上并没有真正谈论任何物理学。 这确实是一篇关于几何的文章：时空本身的几何形状，就如何在时空上建立坐标系以及如何在坐标系之间进行转换，时空中定义的移动对象的行为的几何形状以及对 因果结构。 这是有意为之的：相对论是一个几何理论，如果不先了解基础的几何学就不可能完全理解和欣赏相对论物理学。 幸运的是，在这篇文章的续篇中，我们实际上将开始谈论一些实际的物理学。

蛇的演示是一个示例问题的变体，该问题出现在泰勒，扎菲拉托斯和杜布森的《现代物理学家和工程师的第二版》中。 扭杆的例子是沃尔夫冈·林德勒（Wolfgang Rindler）第二版的《狭义相对论简介》中的一个问题。

(本文翻译自Panda the Red的文章《Thinking Relativistically》，参考：https://mediumcom/@notaredpanda/thinking-relativistically-77fde6c8808e)

狭义论原理

　　物质在相互作用中作永恒的运动，没有不运动的物质，也没有无物质的运动，由于物质是在相互联系，相互作用中运动的，因此，必须在物质的相互关系中描述运动，而不可能孤立的描述运动。也就是说，运动必须有一个参考物，这个参考物就是参考系。

　　伽利略曾经指出，运动的船与静止的船上的运动不可区分，也就是说，当你在封闭的船舱里，与外界完全隔绝，那么即使你拥有最发达的头脑，最先进的仪器，也无从感知你的船是匀速运动，还是静止。更无从感知速度的大小，因为没有参考。比如，我们不知道我们整个宇宙的整体运动状态，因为宇宙是封闭的。爱因斯坦将其引用，作为狭义相对论的第一个基本原理：狭义相对性原理。其内容是：惯性系之间完全等价，不可区分。

　　

　　狭义证明

　　相对论公式及证明

　　符号 单位 符号 单位

　　坐标(x,y,z)：m 力F(f)： N

　　时间t(T)： s 质量m(M): kg

　　位移r： m 动量p: kgm/s

　　速度v(u)： m/s 能量E: J

　　加速度a： m/s^2 冲量： Ns

　　长度l(L)： m 动能Ek： J

　　路程s(S)： m 势能Ep： J

　　角速度ω： rad/s 力矩： Nm

　　角加速度: rad/s^2α 功率P： W

　　一：

　　牛顿力学（预备知识）

　　(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt

　　(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt

　　(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)

　　当v不变时，(1)表示匀速直线运动。

　　当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。

　　只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

　　(二)：质点动力学：

　　(1)牛一：一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。

　　(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。

　　F=ma=mdv/dt=dp/dt

　　(3)牛三：作用在同一物体上的两个力，如果等大反向作用在同一直线上，则二力平衡。

　　(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

　　F=GMm/r^2,G=66725910^(-11)m^3/(kgs^2)

　　动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)

　　动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

　　动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)

　　机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

　　(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)

　　二、狭义相对论力学

　　（注:“γ”为相对论因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。）

　　1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。

　　（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。

　　（此处先给出公式再给出证明）

　　2．洛仑兹坐标变换：

　　X=γ(x-ut)

　　Y=y

　　Z=z

　　T=γ(t-ux/c^2)

　　3．速度变换：

　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

　　V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

　　V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

　　4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

　　5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

　　6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

　　（光源与探测器在一条直线上运动。）

　　7．动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm

　　8．相对论力学基本方程：F=dP/dt

　　9．质能方程：E=Mc^2

　　10．能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2

　　（注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。）

　　

　　三、三维证明

　　1．由实验总结出的公理，无法证明。

　　2．洛仑兹变换：

　　设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。

　　可令

　　x=k(X+uT) (1)

　　又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K

　　故有

　　X=k(x-ut) (2)

　　对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得

　　Y=y (3)

　　Z=z (4)

　　将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即

　　T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5)

　　(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT

　　代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u)两式相乘消去t和T得：

　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：

　　X=γ(x-ut)

　　Y=y

　　Z=z

　　T=γ(t-ux/c^2)

　　3．速度变换：

　　V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))

　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)

　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

　　同理可得V(y),V(z)的表达式。

　　4．尺缩效应：

　　B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ

　　5．钟慢效应：

　　由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T

　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）

　　6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b)）

　　B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为

　　△t(a)=γ△t(b) (1)

　　探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则

　　△t(N)=(1+β)△t(a) (2)

　　相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即

　　ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3)

　　由以上三式可得：

　　ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

　　7．动量表达式：（注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c）

　　牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

　　牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

　　8．相对论力学基本方程：

　　由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）

　　9．质能方程：

　　Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)dr=∫dpdr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

　　=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2sqr(1-v^2/c^2)-mc^2

　　=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

　　=Mc^2-mc^2

　　即E=Mc^2=Ek+mc^2

　　10．能量动量关系：

　　E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2

　　

　　四、四维证明：

　　1．公理，无法证明。

　　2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，

　　dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1)

　　则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。

　　由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）

　　X=xcosφ+(ict)sinφ

　　icT=-xsinφ+(ict)cosφ

　　Y=y

　　Z=z

　　当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ

　　得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：

　　X=γ(x-ut)

　　Y=y

　　Z=z

　　T=γ(t-ux/c^2)

　　3．4．5．6．略。

　　7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ）

　　令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

　　则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

　　四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)

　　四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F为三维力）

　　四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)

　　则f=mdV/dτ=mω

　　8．略。

　　9．质能方程：

　　fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0

　　故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

　　由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)）

　　故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2

　　故E=Mc^2=Ek+mc^2广义相对论的概念

　　相对论问世，人们看到的结论就是：四维弯曲时空，有限无边宇宙，引力波，引力透镜，大爆炸宇宙学说，以及二十一世纪的主旋律--黑洞等等。这一切来的都太突然，让人们觉得相对论神秘莫测，因此在相对论问世头几年，一些人扬言"全世界只有十二个人懂相对论"。甚至有人说"全世界只有两个半人懂相对论"。更有甚者将相对论与"通灵术"，"招魂术"之类相提并论。其实相对论并不神秘，它是最脚踏实地的理论，是经历了千百次实践检验的真理，更不是高不可攀的。

　　相对论应用的几何学并不是普通的欧几里得几何，而是黎曼几何。相信很多人都知道非欧几何，它分为罗氏几何与黎氏几何两种。黎曼从更高的角度统一了三种几何，称为黎曼几何。在非欧几何里，有很多奇怪的结论。三角形内角和不是180度，圆周率也不是314等等。因此在刚出台时，倍受嘲讽，被认为是最无用的理论。直到在球面几何中发现了它的应用才受到重视。

　　空间如果不存在物质，时空是平直的，用欧氏几何就足够了。比如在狭义相对论中应用的，就是四维伪欧几里得空间。加一个伪字是因为时间坐标前面还有个虚数单位i。当空间存在物质时，物质与时空相互作用，使时空发生了弯曲，这是就要用非欧几何。而且不存在没有物质的空间，因为就算有你也永远无法发现，因为当你看见它的同时，它就有了物质，最起码是光。

　　相对论预言了引力波的存在，发现了引力场与引力波都是以光速传播的，否定了万有引力定律的超距作用。当光线由恒星发出，遇到大质量天体，光线会重新汇聚，也就是说，我们可以观测到被天体挡住的恒星。一般情况下，看到的是个环，被称为爱因斯坦环。爱因斯坦将场方程应用到宇宙时，发现宇宙不是稳定的，它要么膨胀要么收缩。当时宇宙学认为，宇宙是无限的，静止的，恒星也是无限的。于是他不惜修改场方程，加入了一个宇宙项，得到一个稳定解，提出有限无边宇宙模型。不久哈勃发现著名的哈勃定律，提出了宇宙膨胀学说。爱因斯坦为此后悔不已，放弃了宇宙项，称这是他一生最大的错误。在以后的研究中，物理学家们惊奇的发现，宇宙何止是在膨胀，简直是在爆炸。极早期的宇宙分布在极小的尺度内，宇宙学家们需要研究粒子物理的内容来提出更全面的宇宙演化模型，而粒子物理学家需要宇宙学家们的观测结果和理论来丰富和发展粒子物理。这样，物理学中研究最大和最小的两个目前最活跃的分支：粒子物理学和宇宙学竟这样相互结合起来。就像高中物理序言中说的那样，如同一头怪蟒咬住了自己的尾巴。值得一提的是，虽然爱因斯坦的静态宇宙被抛弃了，但它的有限无边宇宙模型却是宇宙未来三种可能的命运之一，而且是最有希望的。近年来宇宙项又被重新重视起来了。黑洞问题将在今后的文章中讨论。黑洞与大爆炸虽然是相对论的预言，它们的内容却已经超出了相对论的限制，与量子力学，热力学结合的相当紧密。今后的理论有希望在这里找到突破口。

　　·广义论公式

　　根据广义相对论中“宇宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上就是一个弯曲的时空”的思想，爱因斯坦给出了著名的引力场方程（Einstein's field equation）： <math>R_ - \fracg_ R = - 8 \pi {G \over c} T_ </math>

　　其中 G 为牛顿万有引力常数，这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。 该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。 加入宇宙学常数后的场方程为： <math>R_ - \fracg_ R + \Lambda g_= - 8 \pi {G \over c} T_ </math>

　　·广义论原理

　　由于惯性系无法定义，爱因斯坦将相对性原理推广到非惯性系，提出了广义相对论的第一个原理：广义相对性原理。其内容是，所有参考系在描述自然定律时都是等效的。这与狭义相对性原理有很大区别。在不同参考系中，一切物理定律完全等价，没有任何描述上的区别。但在一切参考系中，这是不可能的，只能说不同参考系可以同样有效的描述自然律。这就需要我们寻找一种更好的描述方法来适应这种要求。通过狭义相对论，很容易证明旋转圆盘的圆周率大于314。因此，普通参考系应该用黎曼几何来描述。第二个原理是光速不变原理：光速在任意参考系内都是不变的。它等效于在四维时空中光的时空点是不动的。当时空是平直的，在三维空间中光以光速直线运动，当时空弯曲时，在三维空间中光沿着弯曲的空间运动。可以说引力可使光线偏折，但不可加速光子。第三个原理是最著名的等效原理。质量有两种，惯性质量是用来度量物体惯性大小的，起初由牛顿第二定律定义。引力质量度量物体引力荷的大小，起初由牛顿的万有引力定律定义。它们是互不相干的两个定律。惯性质量不等于电荷，甚至目前为止没有任何关系。那么惯性质量与引力质量(引力荷)在牛顿力学中不应该有任何关系。然而通过当代最精密的试验也无法发现它们之间的区别，惯性质量与引力质量严格成比例(选择适当系数可使它们严格相等)。广义相对论将惯性质量与引力质量完全相等作为等效原理的内容。惯性质量联系着惯性力，引力质量与引力相联系。这样，非惯性系与引力之间也建立了联系。那么在引力场中的任意一点都可以引入一个很小的自由降落参考系。由于惯性质量与引力质量相等，在此参考系内既不受惯性力也不受引力，可以使用狭义相对论的一切理论。初始条件相同时，等质量不等电荷的质点在同一电场中有不同的轨道，但是所有质点在同一引力场中只有唯一的轨道。等效原理使爱因斯坦认识到，引力场很可能不是时空中的外来场，而是一种几何场，是时空本身的一种性质。由于物质的存在，原本平直的时空变成了弯曲的黎曼时空。在广义相对论建立之初，曾有第四条原理，惯性定律：不受力(除去引力，因为引力不是真正的力)的物体做惯性运动。在黎曼时空中，就是沿着测地线运动。测地线是直线的推广，是两点间最短(或最长)的线，是唯一的。比如，球面的测地线是过球心的平面与球面截得的大圆的弧。但广义相对论的场方程建立后，这一定律可由场方程导出，于是惯性定律变成了惯性定理。值得一提的是，伽利略曾认为匀速圆周运动才是惯性运动，匀速直线运动总会闭合为一个圆。这样提出是为了解释行星运动。他自然被牛顿力学批的体无完肤，然而相对论又将它复活了，行星做的的确是惯性运动，只是不是标准的匀速。

　　·广义论的验证

　　爱因斯坦在建立广义相对论时，就提出了三个实验，并很快就得到了验证：(1)引力红移(2)光线偏折(3)水星近日点进动。直到最近才增加了第四个验证：(4)雷达回波的时间延迟。

　　(1)引力红移：广义相对论证明，引力势低的地方固有时间的流逝速度慢。也就是说离天体越近，时间越慢。这样，天体表面原子发出的光周期变长，由于光速不变，相应的频率变小，在光谱中向红光方向移动，称为引力红移。宇宙中有很多致密的天体，可以测量它们发出的光的频率，并与地球的相应原子发出的光作比较，发现红移量与相对论预言一致。60年代初，人们在地球引力场中利用伽玛射线的无反冲共振吸收效应(穆斯堡尔效应)测量了光垂直传播22。5M产生的红移，结果与相对论预言一致。

　　(2)光线偏折：如果按光的波动说，光在引力场中不应该有任何偏折，按半经典式的"量子论加牛顿引力论"的混合产物，用普朗克公式E=hr和质能公式E=MC求出光子的质量，再用牛顿万有引力定律得到的太阳附近的光的偏折角是087秒，按广义相对论计算的偏折角是175秒，为上述角度的两倍。1919年，一战刚结束，英国科学家爱丁顿派出两支考察队，利用日食的机会观测，观测的结果约为17秒，刚好在相对论实验误差范围之内。引起误差的主要原因是太阳大气对光线的偏折。最近依靠射电望远镜可以观测类星体的电波在太阳引力场中的偏折，不必等待日食这种稀有机会。精密测量进一步证实了相对论的结论。

　　(3)水星近日点的进动：天文观测记录了水星近日点每百年移动5600秒，人们考虑了各种因素，根据牛顿理论只能解释其中的5557秒，只剩43秒无法解释。广义相对论的计算结果与万有引力定律(平方反比定律)有所偏差，这一偏差刚好使水星的近日点每百年移动43秒。

　　(4)雷达回波实验：从地球向行星发射雷达信号，接收行星反射的信号，测量信号往返的时间，来检验空间是否弯曲(检验三角形内角和)60年代，美国物理学家克服重重困难做成了此实验，结果与相对论预言相符。

　　(5其他实验参见：相对论验证实验系列 http://tiebabaiducom/fkz=323205530

　　仅仅依靠这些实验不足以说明相对论的正确性，只能说明它是比牛顿引力理论更精确的理论，因为它既包含牛顿引力论，又可以解释牛顿理论无法解释的现象。但不能保证这就是最好的理论，因此，广义相对论仍面临考验。 具体见 http://baikebaiducom/view/4243htm#2

广义相对论的解释 关于引力与 时间 、空间 相互 关系的现代物理理论。1915-1916年由爱因斯坦提出。基本假设是：(1)广义 相对 性原理；(2)等效原理。其结论主要有：(1)水星近日点进动 规律 ；(2)光线在引力场中要弯曲；(3)光谱线在引力场中要向红端移动；(4)存在引力波；(5)存在引力透镜现象等。 词语分解 广义的解释 由本义而推广原意;趋向于一般化广义空间详细解释推广以阐发其义蕴。《礼记·曲礼下》“祭王父曰皇祖考” 唐 孔颖达 疏：“此更为神设尊号，亦广其义也。” 清 王夫之 有《说文广义》。范围较宽的定 相对论的解释 艾伯特;爱因斯坦所提出的理论,认为 物质 和能量是等效的,物体的质量随递增的 速度 而增加 一种关于 文化 的理论,认为 价值 、 标准 、 社会 准则的社会性体系,应该被人看作是和它们特定的历史发展的文化结构必然有

分为广义和狭义的

狭义相对论就是

狭义相对论是建立在四维时空观上的一个理论，因此要弄清相对论的内容，要先对相对论的时空观有个大体了解。在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义，在此不做讨论。

四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种”此消彼长”的关系。

四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。可以说至少它比牛顿力学要完美的多。至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。

相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。

物质在相互作用中作永恒的运动，没有不运动的物质，也没有无物质的运动，由于物质是在相互联系，相互作用中运动的，因此，必须在物质的相互关系中描述运动，而不可能孤立的描述运动。也就是说，运动必须有一个参考物，这个参考物就是参考系。

伽利略曾经指出，运动的船与静止的船上的运动不可区分，也就是说，当你在封闭的船舱里，与外界完全隔绝，那么即使你拥有最发达的头脑，最先进的仪器，也无从感知你的船是匀速运动，还是静止。更无从感知速度的大小，因为没有参考。比如，我们不知道我们整个宇宙的整体运动状态，因为宇宙是封闭的。爱因斯坦将其引用，作为狭义相对论的第一个基本原理：狭义相对性原理。其内容是：惯性系之间完全等价，不可区分。

著名的麦克尔逊--莫雷实验彻底否定了光的以太学说，得出了光与参考系无关的结论。也就是说，无论你站在地上，还是站在飞奔的火车上，测得的光速都是一样的。这就是狭义相对论的第二个基本原理，光速不变原理。

由这两条基本原理可以直接推导出相对论的坐标变换式，速度变换式等所有的狭义相对论内容。比如速度变幻，与传统的法则相矛盾，但实践证明是正确的，比如一辆火车速度是10m/s，一个人在车上相对车的速度也是10m/s，地面上的人看到车上的人的速度不是20m/s，而是(20-10^(-15))m/s左右。在通常情况下，这种相对论效应完全可以忽略，但在接近光速时，这种效应明显增大，比如，火车速度是0。99倍光速，人的速度也是0。99倍光速，那么地面观测者的结论不是1。98倍光速，而是0。999949倍光速。车上的人看到后面的射来的光也没有变慢，对他来说也是光速。因此，从这个意义上说，光速是不可超越的，因为无论在那个参考系，光速都是不变的。速度变换已经被粒子物理学的无数实验证明，是无可挑剔的。正因为光的这一独特性质，因此被选为四维时空的唯一标尺。

广义相对论

爱因斯坦的第二种相对性理论（1916年）。该理论认为引力是由空间——时间几何（也就是，不仅考虑空间中的点之间，而是考虑在空间和时间中的点之间距离的几何）的畸变引起的，因而引力场影响时间和距离的测量

广义相对论：爱因斯坦的基于科学定律对所有的观察者（而不管他们如何运动的）必须是相同的观念的理论。它将引力按照四维空间—时间的曲率来解释。

广义相对论（General Relativity）是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论，统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律，将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空，以取代传统对于引力是一种力的看法。因此，狭义相对论和万有引力定律，都只是广义相对论在特殊情况之下的特例。狭义相对论是在没有重力时的情况；而万有引力定律则是在距离近、引力小和速度慢时的情况。

背景

爱因斯坦在1907年发表了一篇探讨光线在狭义相对论中，重力和加速度对其影响的论文，广义相对论的雏型就此开始形成。1912年，爱因斯坦发表了另外一篇论文，探讨如何将重力场用几何的语言来描述。至此，广义相对论的运动学出现了。到了1915年，爱因斯坦场方程式被发表了出来，整个广义相对论的动力学才终于完成。

1915年后，广义相对论的发展多集中在解开场方程式上，解答的物理解释以及寻求可能的实验与观测也占了很大的一部份。但因为场方程式是一个非线性偏微分方程，很难得出解来，所以在电脑开始应用在科学上之前，也只有少数的解被解出来而已。其中最著名的有三个解：史瓦西解(the Schwarzschild solution (1916)), the Reissner-Nordstrm solution and the Kerr solution。

在广义相对论的观测上，也有著许多的进展。水星的岁差是第一个证明广义相对论是正确的证据，这是在相对论出现之前就已经量测到的现象，直到广义相对论被爱因斯坦发现之后，才得到了理论的说明。第二个实验则是1919年爱丁顿在非洲趁日蚀的时候量测星光因太阳的重力场所产生的偏折，和广义相对论所预测的一模一样。这时，广义相对论的理论已被大众和大多的物理学家广泛地接受了。之后，更有许多的实验去测试广义相对论的理论，并且证实了广义相对论的正确。

另外，宇宙的膨涨也创造出了广义相对论的另一场高潮。从1922年开始，研究者们就发现场方程式所得出的解答会是一个膨涨中的宇宙，而爱因斯坦在那时自然也不相信宇宙会来涨缩，所以他便在场方程式中加入了一个宇宙常数来使场方程式可以解出一个隐定宇宙的解出来。但是这个解有两个问题。在理论上，一个隐定宇宙的解在诉学上不是稳定。另外在观测上，1929年，哈伯发现了宇宙其实是在膨涨的，这个实验结果使得爱因斯坦放弃了宇宙常数，并宣称这是我一生最大的错误(the biggest blunder in my career)。但根据最近的一形超新星的观察，宇宙膨胀正在加速。所以宇宙常数似乎有败部复活的可能性，宇宙中存在的暗能量可能就必须用宇宙常数来解释

基本假设

等效原理：引力和惯性力是完全等效的。

广义相对性原理：物理定律的形式在一切参考系都是不变的。

主要内容

爱因斯坦提出“等效原理”，即引力和惯性力是等效的。这一原理建立在引力质量与惯性质量的等价性上。根据等效原理，爱因斯坦把狭义相对性原理推广为广义相对性原理，即物理定律的形式在一切参考系都是不变的。物体的运动方程即该参考系中的测地线方程。测地线方程与物体自身固有性质无关，只取决于时空局域几何性质。而引力正是时空局域几何性质的表现。物质质量的存在会造成时空的弯曲，在弯曲的时空中，物体仍然顺着最短距离进行运动(即沿着测地线运动——在欧氏空间中即是直线运动)，如地球在太阳造成的弯曲时空中的测地线运动，实际是绕着太阳转，造成引力作用效应。正如在弯曲的地球表面上，如果以直线运动，实际是绕着地球表面的大圆走。