什么是悖论？什么是驳论？

悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

驳论是通过驳斥敌论点，证明它是错误的、荒谬的，从而证明自己观点正确性的一种论证方法。驳论的作用在于“破”，即辨别是非，驳斥错误的观点，同时树立正确的观点。

驳论可分为驳论点、驳论据和驳论证三种。

扩展资料

经典悖论：爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论

此悖论是对于量子力学的正统诠释——哥本哈根诠释提出反驳的一个思想实验，对于物理量的观测值以及物理学理论可以解释的值长久以来的观念做出挑战。

此悖论引起众人对量子缠结现象的兴趣，并且引出了约翰·贝尔于1964年对于哥本哈根诠释与EPR悖论纷争所提出的厘清对错方案——贝尔不等式。

EPR实验产生了一种二分法的结果：

1、对于一量子系统之A部份的进行测量的结果，对于在另一遥远处的B部份的物理实体(physical reality)有非局域性的效应；量子力学可以预测以后在B部分做一些测量会得到什么样的结果。

2、量子力学是不完备的：跟B相应的某些物理实体要素无法由量子力学来解释。

虽然原先是以思考实验形式出现，目的在于展示量子力学的不完备性，然而尔后真实的实验结果却驳倒所谓的局域原理，使得爱、波、罗三人的原先目的失效。

困扰爱、波、罗三位论文作者的“鬼魅般的超距作用”("spooky action at a distance")在为数众多的可再现实验中一再地出现。

爱因斯坦到过世前都没有接受量子力学是一个“真实”而完备的理论，一直尝试着想要找到一种诠释可以与相对论相容，且不会暗指“掷骰子的上帝”，这可以从他对量子力学内禀的随机性以及与直观相违有所不满上头观察得到。

参考资料-驳论

-悖论

悖论通常是指这样一种命题，按普遍认可的逻辑推理方式，可推导出两个对立的结论，形式为：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

根据悖论形成的原因，把它归纳为六种类型，所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成果将极大地改变我们的思维观念。

解悖研究：

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。

这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。

他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”（同上）

罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”

但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）

《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。

接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。

悖论是指按普遍认可的逻辑推理方式，推导的结论超出“通常可接受的见解”的一种命题。悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。谬误悖论的推理过程是有谬误的，但据此确立的命题不但似乎是荒谬的，而且确实是错误的，归类于谬误。而真实性悖论是一个无矛盾的命题，其产生的结果看起来很荒谬，但事实证明是正确的。

在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难（所谓的悖论）的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现。

我们提到过在宇宙中有很多还在猜想中或观测中的理论。

比如我们最熟知的黑洞，不过黑洞已经被观测到并"拍照了"，让神秘的黑洞从理论变成了现实观测到的天体。

还有诸如"虫洞"、"暗物质"、"平行宇宙"、"宇宙外是什么？"等等都在 探索 中。

而科学家们也在通过各种方式去建模观测探讨，去研究这些未解之谜。

也别觉得都是科学家就是靠猜测臆想去决定某些理论。

往往科学家们大都认同的理论，一般都是经过无数的观测、研究、建模、实验、修正才会越来越接近成熟。

像黑洞、中子星等就是个很好的例子。

"黑洞"可以说是在观测到之前就已经是一个被研究的非常成熟的理论天体了。

当然，宇宙之大，宇宙之神秘，人类对它知之甚少，可以说是连皮毛都很难触及到。

毕竟100年前，科学家们还把天空中的其他星系，如仙女座星系，当成是银河系中的发光星云！

知道的越多，不知道的也会越多。这也在激励着人类越来越强的 探索 求知欲。

不过人类随着 探索 宇宙越来越深入，就会不由得想到：人类真的是唯一的吗？

1950年，一次非正式讨论会上，大家正在讨论起UFO飞碟和外星人的问题。

有"原子能之父"之称的恩利克·费米也参与进了讨论当中，然后突然问了一句：

"where are they "

他们都在哪儿呢？这看似非常简单的一句问话，却演变成著名的 "费米悖论" 。

"费米悖论"，它的悖论在哪呢？

1、 银河系中存在外星文明；

2、 银河系中不存在外星文明。

咱们看看这两个理论到底为什么形成悖论，这两个理论其实都各有道理。

1、 银河系中存在外星文明

很多科学家都赞同这个理论，认为地球之外一定存在外星人。

是的，毕竟宇宙这么大！而地球和太阳系在宇宙中并不特别，是很普通的行星系统。

还有科学家为了解释"费米悖论"给出了一个公式。

1960年，法兰克·德雷克给出了一个推测银河系内出现高智文明数量的公式。

"德雷克公式"：N=R×Fp×Ne×Fl×Fi×Fc×L

以下是公式中各项代表的意思

N：银河系中高智文明的数量；

R：银河系中形成恒星的速率；

fp：有行星的恒星概率；

ne：行星处在宜居带中的概率；

fl：行星中发展出生命的概率；

fi：能发展出高智慧生命的行星概率；

fc：高智慧生命的文明向宇宙发出可探知信号的行星概率；

L：高智慧生命文明的寿命。

通过这个公式可以知道，就算比例再低，乘上2500亿的银河系恒星，甚至是100万亿亿颗恒星的可观测宇宙。

当时估算下来的结果甚至让人震惊。

银河系可能有过上万颗星球达到人类的文明程度。

2、 银河系中不存在外星文明

这个理论就是建立在反驳有外星人的理论上的。

通过"德雷克公式"计算的银河系出现高智慧生命能达到上万颗。

肯定有低于人类文明程度，但是肯定也有高于人类文明的。

而文明的进步速度几乎是成指数形式的增长，就好比1000年前的人们看到现在的发展情况难以置信一样。

如果有文明比我们早上 10亿年 呢？

这并不是没有可能，银河系存在已经超过100亿年了，而地球才46亿年。

如果有类地行星是80亿年前出现的，那出现的文明可能要比我们早上20亿甚至30亿年！

那文明的程度绝对远远超过我们，殖民银河系都没问题。

所以说如果有外星文明存在，那么肯定会有超过地球文明的程度。

所以"费米悖论"来了，他们在哪儿呢？

人类从智人出现到现在才短短20多万年，而人类发射的旅行者一号探测器7万年后将造访比邻星，而这7万年，人类又能发射多少探测器呢？

如果有一个外星文明比地球文明先进哪怕一亿年，至少银河系内应该布满该文明的痕迹，而事实上呢？

一个文明就能让银河系这样的星系遍地开花，那一百个文明呢？一万个文明呢？

事实却是：我们什么都没看到，什么都没听到！

我们没有任何证据证明存在外星智慧生命，没有收到过任何外星生命的信号，哪怕连一点点的痕迹都没看见过！

而这就是 "费米悖论" 。

科学家们对"费米悖论"给出了很多解释。

有的说是人类还没达到那种接触外星文明的层次，有的说现在没有文明能离开母星，还有更奇葩的说人类是被外星人圈养的等等。

刘慈欣的《三体》中描写的"黑暗森林"法则算是完美级的假说，但也仅仅是无数个费米悖论的解释之一。

"费米悖论"就像无尽宇宙星空里的沉默，让我们意识到人类可能是宇宙中的唯一。

我们想象外星人、寻找外星生命，只是因为我们不愿相信人类在宇宙中是孤独的。

我们对宇宙的尺度保持乐观，但是星空中沉默的事实却让我们不得不面对现实。

希望在 科技 高度发展的未来，能让"费米悖论"不再是悖论，而那时候地球文明和外星文明的碰撞会发生怎样的火花，我们也无从得知。

悖论是表面上同一命题或推理中隐函着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。

比如：我们要跨过一个沙丘，必须先走过它的1/2，要想跨过1/2必须先走过1/2的1/2，也就是1/4，想跨过1/4也要先跨过它的一半。。。如此下去我们永远跨过不了沙丘。听了头疼吧，这就是芝诺的数学悖论《二分说》。

他回答 共3条

〕“阿基里斯追不上乌龟”的论证，依靠了形式逻辑。形式逻辑本身不能无限制地连续使用，即不能保证从正确的前提推导出正确的结论，推导的步骤越多，逻辑的失真程度越大，甚至可以得出很荒唐的结论。要保证正确的前提不走向错误的推论，逻辑推导的步骤不能太多，步骤越少，失真的危险越少。理论具体形态的自圆其说，在逻辑性和客观性及文法等方面都是相对的。

一、逻辑应用的困境

“阿基里斯追不上乌龟”①是古希腊一个哲学故事。阿基里斯是当时一个善于长跑的人，他当然能够追上乌龟，用方程方法可以解决。假设阿基里斯的速度为a，乌龟的速度为b，阿基里斯开始追赶乌龟的时候，乌龟在阿基里斯的前面，假设这段距离为c，请问需要多少时间阿基里斯可以追上乌龟设所需要的时间为x，那么ax=bx+c，x=c/(a-b)。由于abc都是常数，x当然可以求得一个解。当然如果ab的差如果很小，那么解可以趋于无穷大。但是这个哲学故事是讲，不论阿基里斯比乌龟跑得有多快，他都追不上乌龟。

可见用思维的方法，我们也能够解决问题，而不仅是用实践或实验的方法。但是当我们引入无限分割的问题时，事情就出现了变化。如果我们这样思考：阿基里斯在追赶乌龟的过程中，或者追上乌龟之前，必须先走完乌龟当前已经超过他的距离。这不是假设，而是确实应该的事情。但是这种思维方式却是假定的，你可以用这样的思维方式，也可以不用。一旦用了这样的思维方式，就会使思维过程没有完结，从而使得阿基里斯追不上乌龟。按照这种思维方式，当阿基里斯走完乌龟超过他的距离后，乌龟在这段时间里也前进了一段距离，虽然愈来愈小。这样的思维可以无限重复。每次这样的思维，结果都是一样的，在这个过程中，逻辑并没有犯错。我们可以把这样的思考无限循环下去，而且乌龟继续前进的距离永远不会是零，虽然趋向无穷小。于是，可以用形式逻辑的方法，推出阿基里斯永远追不上乌龟这样的结论。

这个故事中所讲的问题，是古希腊哲学家芝诺的发现。他认为，阿基里斯回不了家。假设我们用无限分割的思想，可以这样思考：在阿基里斯回家的过程中，必须先走完部分距离，接下来他要走完剩余距离，也必须先走完其中的若干部分，这样也可以无限地思考下去，也就是说这种思维可以无限重复下去，那么阿基里斯在人的思考中永远回不了家。这两种思维的实质都是无限分割。可以确定，第一次分割的结果不会为零，第二次分割的结果也不会为零，后面都是同样的分割。我们如果以逻辑为根据，就没有理由认为最终的分割会为零。

这些哲学谜题在中国古代也有，例如“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是讲一根棍棒，每天用掉一半，那么永远也用不完。但是我们要注意物质和空间是不同的，空间的无限分割更复杂。根据当代物理学原理，物质的无限分割有两方面，一方面是宏观物质不能无限分割，分割到分子或者原子的时候，物质就不能保持自身了。但是从物质起源看，到目前仍然不了解物质无限分割的界限，这是物理学上有关物质结构的问题。

这是哲学家芝诺的一个著名论证，他的论证是这样的：阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟的起跑点，可他跑到乌龟的起跑点的时候，乌龟已经前进了一段，于是他又要花一点时间追上乌龟，而乌龟又跑了一点远，这样，他又追，但却怎么也追不上了。

这显然与现实不符，但怎么听的好像说的有道理列，谁知道问题处在什么地方，怎么想不过来了啊

问题补充：

有没有人能对这问题的根源谈谈列，他是怎么把人就拗住了哈。我也知道肯定能追上的哈，总之说的详细和具体点哈啦，看了你们几个的答案怎么还是不明白错的根源在哪啊

其错误在于：把阿基里斯追赶乌龟的路程任意地分割成无穷多段，而且认为，要走完这无穷多段路程，就非要无限长的时间不可。

其实，即使按照这种分段方法，走完第一段路程需1小时，走完第二段路程需10分之一小时， 走完第三段路程需100分之一小时……这样，追上乌龟的时间恰恰是有限数：1+1/10+1/100+=1又1/9（小时）（根据高中里将学到的无穷递缩等比数列知识，可以严格地推证） 这同算术、代数方法求得的结果是一致的。

阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说他永远也追不上一只乌龟。假设这只乌龟距离他s米，如果他想追上这只乌龟，就要先跑到这短距离的1/2，如果他想跑完这1/2，就要先跑完这1/2的1/2，以此类推，他永远也追不上这只乌龟。

这是哲学家芝诺的著名的逻辑命题。阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说他永远也追不上一只乌龟。

如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。

乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。

这个悖论与另一个两分法悖论是同一个悖论的两种表述形式我们设乌龟的速度相对于人的速度为0,人的速度相对于乌龟的速度为v,这样这个悖论与两分法悖论就完全一样了

一般认为,这两个悖论已经为现代的极限理论所破解,但真是这样吗

这几个悖论有这样的一个特点在漫漫两千多年的历史中,人们多次以为这几个悖论已经破解,但过后却发现根本就不是那么回事,所谓的破解反而成了这几个悖论成立的最有力的证据

运用无穷级数求和能破解芝诺悖论吗

彭哲也(人在井天)

有一种思想认为可以通过无穷级数求和的办法解决这个问题(两分法和阿基里斯追龟)

我们设物最后到达终点后所走过的空间距离为1,所走过的时间距离为1首先我们假设物没有最后一个中点要走,则物走过无穷个中点之后物在空间上所走过的距离s是:

S=1/2+1/2^2+1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n(n为无穷大)

我们可以看出,这里面的s是无限接近物实际到达的空间距离1但无限接近并不是等于,也就是说,物并没有最终到达

现在我们假设物有最后一个中点要走

则有

S=1/2+1/2^2+1/2^2

S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^3

S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^n+1/2^n

=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1

也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所走过的距离与物实际到达所走过的距离是一致的

从上面的计算我们可以很简单地看出,物如果到达了终点,它走过了最后一个中点如果物没有走过最后一个中点,物就不能到达终点

同理,我们可以算物走过无穷个中点所用的时间设实际到达的时间为1如果物没有最后一个中点要走物走过无穷个中点所用的时间t是:

t=1/2+1/2^2+1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n

可以看得出,这里的t是无限接近物实际到达终点所用的时间,但无限接近并不是等于

如果物有最后一个中点要走,则有

t=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^n+1/2^n

=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1

也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所用的时间与物实际到达的时间是一致的

从上面的计算可以很清楚地看得出来,物如果有最后一个中点要走,物所用的时间与实际到达的时间相同物如果没有最后一个中点要走,物所用的时间只能是无限接近物实际到达终点所用的时间,而不能等于

所以无穷级数求和的结果是,如果物能到达终点,物必须走过最后一个中点但是物是如何走过最后一个中点的呢这里没有半点依据也就是说,两分法的悖论依旧或者说,这种无穷级数求和的办法反而更加加深了这个悖论的逻辑性两分法悖论与阿基里斯追龟悖论其实是同一个悖论的两种表述两分法不能解决,阿基里斯追龟当然依旧

芝诺悖论

芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。

兔子永远追不上乌龟

兔子跑的比乌龟快，但如果让乌龟先跑，兔子将永远不可能追上乌龟。证明如下：

假设兔子的速度是A，乌龟的速度是B，乌龟先跑出L米远，则兔子追上L米所需的时间是t=L / A。此时，乌龟又跑出了t B米远。兔子追上这段新拉开的距离需要花费t1 = (t B) / A，则乌龟又落下兔子t1 B米远。显然，兔子总是要花时间才能追上它和乌龟之间的距离，而在这段时间里它与乌龟之间又会产生新的距离。所以，兔子永远追不上乌龟。

以上论证 099999无限=1 的都是基于现有的数学定律 而并不代表一定是事实 也许数百世以后的数学家会认为这些定律是错误的 就好象我们认为古人的某些定律是不完全正确的一样

　　所以他们论证的结果只建立在现代的定律被后世否认以前 是有时代局限性的 就目前而言 在学术上09999无限=1 是正确的

　　

　　

　　再从实际应用上来说

　　有位网友的甲同学拔乙同学的头发这例子举得很好0999无限始终是<1的 就比方某个高精度的仪器当能量负荷达到1的时候就会过载而爆炸 但是他的最大使用负荷则是0999无限 在这无限接近的情况下 发挥最大作用 而又不会爆炸 所以1>09999,无限

　　

　　

　　再再从哲学上说

　　这就要讨论到 "无限"与"有限"的关系了 "无限"并不代表绝对无限 我们都知道宇宙是"无限"的 但是它真的"无限"吗 不 也许它是"有限"的 只是以我们的能力无法知道他的极限而已 所以对我们来说它是"无限"的

　　"无限"只能代表对我们而言无法看到他的极限 并不是真的无限

　　比如数学上的1/3=033333无限循环 但是事实上1/3是约大于03333无限循环的 只是我们算不出他的最后一位而已

　　为什么说是约大而不是约小呢 因为不管我们 无限到多少位后 在那个"最后"一位的3之后 还会余00000无限01 所以是约大

　　

　　

　　以上言论只是个人见解

阿基里斯与乌龟:当时全希腊跑的最快的是阿基里斯芝诺说,只要让乌龟先爬一段距离,则阿基里斯永远追不上乌龟因为,他要追上乌龟,首先就要到达龟所爬行的出发点,这时龟已经向前爬行了一段;当阿基里斯跑到龟的第二个出发点时,龟又爬行了一小段,阿基里斯又得赶上这一小段,以至无穷阿基里斯只能无限地接近,但永远不能赶上它所以假如承认有运动,就得承认速度最快的追不上速度最慢的

任何驳倒这个悖论:假设让乌龟先跑10千米,阿基里斯跑步的速度是乌龟的100倍,他能追上吗

芝诺悖论到底说明了什么问题呢由于古代的科学家们习惯于研究一个个离散的数,对连续的数感到不可理解,芝诺悖论的出现,恰恰反映了古希腊数学家想用离散的观点去解释连续现象所遇到的矛盾

这个问题是小时候困扰我的问题之一 明明阿基里斯比乌龟跑得快 为什么就追不上它呢？

但我在高中时就突然对这个问题有了个很清晰地理解

因为在设定这个问题时 芝诺按照距离 把时间无限细分了 注意 ：是按照路程（ 位移）

而这个的运动状态有3要素 即路程 时间 和速度

因为路程是随时间变化而变化的 是连续的 而这里悖论的来源就是硬生生地把这问题分开考虑 所得出如此不合常理 但又无可辩驳的悖论

这个问题 只不过是按照路程 把出发到追上的时间处无限细分

这里的永远追不上乌龟是指那段时间可以分无限次 而不是那段时间无限长 因此

这里也偷换了永远这个概念

人能不能追上乌龟呢”大家听到如此发问一定会觉得太可笑了。不过，古希腊的著名哲学家芝诺确实提出了这类问题，并论证说“阿基里斯迫不上乌龟”。

　　 阿基里斯是全希腊跑得最快的“快腿”。据说在特洛伊的战将赫克托耳杀死了阿基里斯的朋友帕特浴克勒之后，阿基里斯在为朋友报仇中，以“快腿”的优势刺死了败逃中的赫克托耳。就是这样一位”快腿”，芝诺却论证他追不上乌龟。芝诺提出，龟先行，阿基里斯在赶上龟以前，必须首先到达龟的出发点，而在他追至这一点时乌龟又爬行了一段路程，于是阿基里斯又必须赶上这段路，而此时龟又向前爬行了一段路。这样一直追赶下去，虽然愈追距离愈近，但阿基里斯却始终追不上乌龟。

　　为什么说芝诺的论证是错误的呢亚里士多德曾精辟地分析过芝诺的论证，他说：“认为在运动中领先的不能被赶上，这个论断是假的，因为当它领先时是不能被赶上的，但如果允许它可以越过规定的有限的距离，那么它也是可以被赶上的。”亚里士多德指出了芝诺观点的一个要害的问题，就是：先给定了一个不允许最快的越过规定的有限的距离的前提。事实上最快的可以越过有限的距离，从而超过最慢的。显然，芝诺只承认两个彼此分离的不同的时空点，而否认它们之间的互相联系，进而否认运动的真实性，这无疑是片面地强调了时空的无限可分性，是形而上学的观点。

芝诺是古希腊一个极善于诡辩的哲学家。他的一个众人皆知的“阿基里斯永远追不上乌龟”

的诡辩是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追

它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，

可是，这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。

由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不

上乌龟。

当然，这个结论在实践上是错误的，但奇怪的是这一论证在逻辑上却没有任何毛病。

在古希腊，还有一更妙的诡辩是这样的：1粒谷子落地时没有响声，两粒谷子落地时也

没有响声，3粒谷子落地时还是没有响声……以此类推，1整袋谷子落地时也不会有响声。

这同样是实践上错，逻辑上对。

对于诡辩怎么看，人们往往习惯于从实践角度去评价它，总是根据事实去说它是错的，

这种评价其实是没有真正理解那些古老诡辩家的意图。那些诡辩家自己也知道这些诡辩在实

践上是错误的，他们也并不真的想否认事实，谁也没有这么傻，真正傻的是那些认为诡辩家

是犯傻的人。那些人傻就傻在不去想一想诡辩到底说明了什么问题。其实，“实践上错，逻

辑上对”这一结果是为了说明，思想的情况和事实的情况是不同的，思想中的真理和事实上

的真理是不同的真理，这两种真理分别有着不同的用处。例如，逻辑定理与事实就常常不一

致。有一条逻辑定理说的是“随便一句假话都能推出任何一句话”，这听上去十分荒唐。结

果真的有人就要英国大哲学家罗素证明从“2＋2=5”推出“罗素是教皇”。深邃无比的罗素

做出了如下的证明：假定2＋2=5；等式的两边各减去2，得出2=3；易位得3=2；两边各减

去1，得出2=1；教皇与罗素是两个人，但既然2=1，教皇与罗素就是1个人，所以罗素是

教皇。

这个结论，有人说是笑话，如果是这样，应当说是一个很深刻的笑话。由此，的确可以

悟出，思想和事实是两回事，理解这一点至关重要。实际上这并不很难理解，我们在数学中

讲到的点、线、面、平行线、三角形、圆形等等在事实上是不存在的，它们只是思想中的理

想化的东西。思想与事实的联系只是表现为思想可以应用到事实中去。前面讲到的那两个诡

辩只是给错误想法敲敲警钟，除此之外并没有什么用处，因为它们的确很荒谬。

但是，你真的知道“阿基里斯永远追不上乌龟”的诡古希腊著名哲学家 芝诺提出的著名悖论难倒了N个实际的无数科学家哲学家。

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。假设乌龟先爬一段路然后阿基里斯去追它。芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟。因为前者在追上后者之前必须首先达到后者的出发点，可是，这时后者又向前爬了一段路了。于是前者又必须赶上这段路，可是这时后者又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。

事实是能追上。但是无法从理论上来证明。

有人最后竟然否定了“三段论”，得出“‘三段论’的出的结论并不是正确的”这种结论。

这个悖论不痛不痒，让人反驳时无从下手。大部分人是通过数学方法论证的，利用“极限理论”或者“微分”知识都可以处理。

　　下面我要从“形式逻辑”出发，揪出悖论中的猫腻，来论证这个问题。

　　形式逻辑通常分为三段：前提、过程、结论。

　　表面上，

　　　　这个悖论中的前提是：

　　　　1阿基里斯在后，乌龟在前；

　　　　2阿基里斯要追上乌龟，必须到达乌龟先前所在的位置

　　　　过程是：

　　　　1阿基里斯到达乌龟先前所在的位置时，乌龟向前行进了一段距离，阿基里斯没追上乌龟；

　　　　2阿基里斯到达乌龟新到达的位置时，乌龟又向前进了一段距离，阿基里斯没追上乌龟；

　　　　3回到1

　　　　结论是：阿基里斯永远追不上乌龟！

　　上面的逻辑中，过程是个死循环，只要思维不停止，阿基里斯就永远追不上乌龟。

　　而实际上，

　　　　这个悖论隐含了好几个前提，而这些前提，恰恰是推翻该悖论的致命点：

　　　　全面地，这个悖论的正确前提应该包括：

　　　　1阿基里斯在后，乌龟在前

　　　　2阿基里斯的速度比乌龟快，对于动物来讲，速度快，表现在迈腿的频率和迈腿的跨度，阿基里斯快，就说明他的迈腿频率比乌龟高，迈腿幅度比乌龟大；

　　　　3阿基里斯要追上乌龟，必须先到达乌龟先前所在位置；

　　　　4 S=vt,　当v1>v2,t1=t2时，s1>s2

　　　　过程是：

　　　　1阿基里斯到达乌龟先前所在的位置时，乌龟向前行进了一段距离，阿基里斯没追上乌龟；

　　　　2乌龟速度慢，阿基里斯速度快，由前提4得知，相同时间内，乌龟行进的距离要小于阿基里斯所行进的距离；即，相同时间内，乌龟到达下一个位置时经过的路程，要小于阿基里斯从乌龟的上一个所在位置到达乌龟当前所在位置的距离；因此，他们的距离会越来越小，总有某个时刻，阿基里斯离乌龟的距离，比阿基里斯一步的跨度要短；

　　　　3某一时刻，阿基里斯与乌龟的距离小于阿基里斯的步长，由前提2得知阿基里斯的步伐频率要比乌龟快，此时，当乌龟还没有迈出腿到达下一个位置时，阿基里斯先于乌龟一步，从而超过乌龟！

　　　　结论：阿基里斯可以超过乌龟！

　　　　我们回头再来看看，为什么那么多人会被芝诺带到沟里去？芝诺的手段究竟高明在那里？

　　在“形式逻辑”中，如果你用错误的前提，是得不到正确的结论的。芝诺的坏，就坏在他给了人们几个错误的前提，并且在他的推理过程中巧妙避开了隐含的前提。即他把实际前提中的2和4避开了，并且先入为主把错误的过程灌入接题者的大脑造成思维定势，如此一来，就落进了他的全套里。

　　所以这个问题，并不一定非要用极限数学的方法来处理，“形式逻辑”完全可以论证，只不过最关键的是，你要找对前提！

　　那些说“三段论不一定能得到正确结论”的人，脑子有坑。

　　类似悖论式“思维引导”的问题很多，比如：

　　3个人去旅店定房间，老板说一人10元钱，3个人每人拿了10元，交给老板30元。

老板拿完后告诉服务生，今天优惠，收他们25元，你把这5元反还给他们，服务生拿到5元后，自己贪污了2元，把剩下的3元钱反还给他们3人，反还给他们每人1元，他们3个人相当于每人花了9元钱住的房间。

问：3个人每人花了9元住的房间（39=27元）+服务生贪污的2元，一共是29元，可是当时他们是每人拿出10元钱，应该是30元，那1元钱哪去了？

　　over~

辩错在什么地方了吗？

高等数学认为，无限等比递减数列之和等于常数而不等于无限大，因而，阿基里斯能在有限期间和距离内赶上乌龟。

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

　　“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 ”

　　如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0999>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0999=0, 但1-0999>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0999=0, 或1-0999>0"思想。

　　有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

　　芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。它们错在哪儿？

　　类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。这句话的是错误的！！！我可以举个例子做出1/3有人说可能是无穷个步骤因为他是33333无穷无尽无数个步骤。但是我们可以做出来。因为我们可以做出正三角形，但我们把正三角形展开在原来的顶点处去点，我们就可以将它3等分每份就是1/3。所以我们能做出1/3。所以说无穷个步骤不一定是难完成的只是我们没有想到好的办法去解决！

假设兔子的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，让乌龟先跑一段距离，比如1000M，兔子将永远追不上乌龟。

　　因为：

　　兔子要追上乌龟，必须先跑完这1000M，这段距离兔子需要跑100秒，而此时，乌龟又跑了100秒，兔子跑完1000M时和兔子的距离是：

　　100S×1M/S=100M；

　　

　　兔子跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；

　　兔子跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M；

　　兔子跑完这1M需要01S，此时乌龟又跑了01M；

　　兔子跑完这01M需要001S，此时乌龟又跑了001M；

　　兔子跑完这001M需要0001S，此时乌龟又跑了0001M；

　　兔子跑完这0001M需要00001S，此时乌龟又跑了00001M；

　　兔子跑完这00001M需要000001S，此时乌龟又跑了000001M；

　　兔子跑完这000001M需要0000001S，此时乌龟又跑了0000001M；

　　

　　

　　

　　结论： 兔子只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。

　　

公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：

他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开现在我们知道，时间和空间是粒子的，也就是说时间和空间都有它的最小的单位，芝诺的论断错误之一就是把时间无穷的细分了下去。

设乌龟平均速度是M，时间是T，那么假如乌龟被超过，应该满足 10MT≥MT+1000，MT≥1000，M是常数，那么T≥1000/M。我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了

1000（1+01+001+…………）=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。

人们认为数列1+01+001+…………是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。

我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为

t（1+01+001+…………）= t (1+1/9)=10t/9

芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。

由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。

人们被距离数列1+01+001+…………好象是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有考虑到时间数列1+01+001+…………是很容易达到和超过的了。