3d数学中 矩阵中的个元素代表的是坐标点吗还是代表什么?基向量如何理解?

矩阵是3D数学的重要基础，它主要用来描述两个坐标系间的关系，通过定义一种运算而将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。在线性代数中，矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块，向量是标量的数组，矩阵是向量的数组。

矩阵的维度和记法

矩阵的维度被定义为它包含了多少行多少列，一个 r x c 矩阵有r行c列。用黑体大写字母表示矩阵，如：M、A、R。需要引用矩阵的分量时，采用下标法，常使用对应的斜体小写字母，如下面的3 x 3矩阵所示：

方阵

行数和列数相同的矩阵称作方阵，方阵的对角线元素就是方阵中行号和列号相同的元素。其他元素均为非对角元素，简单的说，方阵的对角元素就是方阵对角线上的元素。

如果所有非对角元素都为0，那么称这种矩阵为对角矩阵。单位矩阵是一种特殊的对角矩阵，n维单位矩阵记作In，是nxn矩阵，对角线元素为1，其他元素为0

单位矩阵非常特殊，因为它是矩阵的乘法单位元。其基本性质是用任意一个矩阵乘以单位矩阵，都将得到原矩阵。所以在某种意义上，单位矩阵对矩阵的作用就犹如1对于标量的作用。

向量作为矩阵使用

矩阵的行数和列数可以是任意正整数，当然也包括1。一个n维向量能被当作 1 x n 矩阵或 n x 1 矩阵。1 x n 矩阵称作行向量，n x 1 矩阵称作列向量。行向量平着写，列向量竖着写。

转置

考虑一个 r x c 矩阵M，M的转置记作MT，是一个 c x r 矩阵，它的列由M的行组成，可以从另一方面理解，即沿着矩阵的对角线翻折。

对于向量来说，转置将使行向量变成列向量，使列向量成为行向量，见公式73：

标量和矩阵的乘法

矩阵M能和标量k相乘，结果是一个和M维数相同的矩阵。矩阵和标量相乘的记法如公式74所示，标量经常写在左边，不需要写乘号。这种乘法法则很直观，即用k乘以M中的每个元素。

矩阵乘法

某些情况下，两个矩阵能够相乘，决定矩阵能否相乘以及怎样计算结果的法则初看起来有些奇怪。一个r x n矩阵A能够乘以一个n x c矩阵B，结果是一个r x c矩阵，记作AB。

例如，设A为4 x 2矩阵，B为2 x 5矩阵，那么结果AB为4 x 5矩阵：

如果矩阵A的列数和B的行数不匹配，则乘法AB无意义。

矩阵乘法计算如下：记r x n矩阵A与n x c矩阵B的积r x c矩阵AB为C。C的任意元素Cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的点乘结果。

正式定义为：

Jim Peng 的 3D数学---矩阵的几何解释一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，但原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。

矩阵是怎样变换向量的

向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移，一般来说，任意向量v都能写成“扩展”形式：

另一种略有差别的形式为：

注意右边的单位向量就是x，y，z轴，这里只是将概念数学化，向量的每个坐标都表明了平行于相应坐标轴的有向位移。

让我们将上面的向量和重写一遍，这次分别将p、q、r定义为指向+x，+y和+z方向的单位向量，如下所示：

v = xp + yq + zr

现在，向量v就被表示成向量p，q，r的线性变换了，向量p，q，r称作基向量。这里基向量是笛卡尔坐标轴，但事实上，一个坐标系能用任意3个基向量定义，当然这三个基向量要线性无关（也就是不在同一平面上）。以p、q、r为行构建一个3 x 3矩阵M，可得到如下矩阵：

用一个向量乘以该矩阵，得到：

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，如果aM=b，我们就可以说，M将a转换到b。

从这点看，术语“转换”和“乘法”是等价的。

坦率地说，矩阵并不神秘，它只是用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数学运算。进一步，用线性代数操作矩阵，是一种进行简单转换或导出更复杂转换的简便方法。

矩阵的形式：

基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩阵M：

用基向量[1, 0, 0]乘以M时，结果是M的第1行。其他两行也有同样的结果，这是一个关键的发现：矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。

这个强有力的概念有两条重要性质：

1、有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。

2、有了反向建立矩阵的可能 ---- 给出一个期望的变换（如旋转、缩放等），能够构造一个矩阵代表此变换。我们所要做的一切就是计算基向量的变换，然后将变换后的基向量填入矩阵。

首先来看看2D例子，一个2 x 2矩阵：

这个矩阵代表的变换是什么？首先，从矩阵中抽出基向量p和q：

p = [2 1]

q = [-1 2]

图71以“原”基向量（x轴，y轴）为参考，在笛卡尔平面中展示了这些向量。

、

如图71所示，x基向量变换至上面的p向量，y基向量变换至q向量。所以2D中想象矩阵的方法就是想象由行向量构成的“L”形状。这个例子中，能够很清楚的看到，M代表的部分变换是逆时针旋转26度。

当然，所有向量都被线性变换所影响，不只是基向量，从“L”形状能够得到变换最直观的印象，把基向量构成的整个2D平行四边形画完整有助于进一步看到变换对其他向量的影响，如图72所示：

平行四边形称作“偏转盒”，在盒子中画一个物体有助于理解，如图 73 所示：

很明显，矩阵M不仅旋转坐标系，还会拉伸它。

这种技术也能应用到3D转换中。2D中有两个基向量，构成"L"型；3D中有三个基向量，它们形成一个”三脚架“。首先，让我们展示出一个转换前的物品。图74展示了一个茶壶，一个立方体。基向量在”单位“向量处。

（为了不使图形混乱，没有标出z轴基向量[0, 0, 1]，它被茶壶和立方体挡住了。）

现在，考虑以下3D变换矩阵：

从矩阵的行中抽出基向量，能想象出该矩阵所代表的变换。变换后的基向量、立方体、茶壶如图75所示：

这个变换包含z轴顺时针旋转45度和不规则缩放，使得茶壶比以前”高“。注意，变换并没有影响到z轴，因为矩阵的第三行是[0, 0 , 1]。

本文来自CSDN博客，转载请标明出处： http://blogcsdnnet/pizi0475/archive/2010/04/03/5447026aspx

矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。