有理数与无理数的联系与区别？

有理数与无理数都是实数的一部分，

也就是说，实数包括有理数和无理数，

有理数和无理数都是实数。

区别就是定义：整数和分数叫有理数，

化成小数，就是整数、有限小数或无限循环小数，

而无理数都是无限不循环小数 。

关于无理数和有理数的区别和用法的回答如下：

有理数与无理数的定义：

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能表示为两个整数的比值。

有理数与无理数的区别：

有理数包括整数、分数和小数，而无理数则包括根号下非完全平方数、圆周率和自然对数的底数等。

有理数和无理数的详细解释和区别：

1、有理数

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为0。例如，1/2、3/4、-2/3等都是有理数。有理数可以用分数或小数的形式表示，而且可以进行加、减、乘、除等基本运算。

有理数的特点有以下几点

有理数可以表示为分数或小数的形式，其中分母不为0；

有理数的小数形式要么是有限小数，要么是循环小数；

有理数的加、减、乘、除等基本运算都是封闭的。

2、无理数

无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们的小数形式是无限不循环的。例如，根号2、圆周率π、自然对数的底数e等都是无理数。

无理数的特点有以下几点：

无理数不能表示为分数或有限小数的形式；

无理数的小数形式是无限不循环的；

无理数与有理数一样可以进行加、减、乘、除等基本运算，但结果通常是无限不循环的无理数。

3、区别

有理数和无理数的最大区别在于它们的表示形式和小数形式。有理数可以表示为分数或有限小数的形式，而无理数则不能表示为这些形式。

另外，有理数的小数形式要么是有限小数，要么是循环小数，而无理数的小数形式是无限不循环的。此外，有理数的加、减、乘、除等基本运算都是封闭的，而无理数的运算结果通常是无限不循环的无理数。

有理数和无理数是数学中非常重要的概念，它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学、计算机科学等领域也有着重要的作用。

例如，在物理学中，无理数的出现与量子力学中的不确定性原理有关；在计算机科学中，无理数的出现与计算机算法的复杂性有关。因此，深入理解有理数和无理数的概念和特点对于学习数学和其他学科都非常重要。

1、有理数和无理数统称为实数2、实数和数轴上的点是一一对应的在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．3、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．4、实数可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．实数理论千百年来，数学爱们都在为整个数学寻找一个可靠的逻辑基础而不懈努力，然而分析的算术化，是以实数为基础的。不弄清实数的本质,不给实数以明确的定义、建立实数大小、运算等理论，连续函数的性质就无法彻底弄清，甚至连柯西收敛准则的充分性也无法严格证明。这就迫使数学家们加快建立数学理论的步伐。实数理论的核心问题是对无理数的认识，早在19世纪前期，柯西就已感到定义无理数的重要性。他在《分析教程》中，把无理数定义为收敛的有理数列的极限，设{yn}是一列有理数，如果存在一个数y,yn-->y,那么y就是一个无理数。这个定义存在逻辑上的毛病。因为有理数序列{yn}不收敛于无理数（即y为有理数），则定义不出无理数；不收敛于有理数，那得不承认y是无理数才行，才能定义它是无是数，这就犯了循环定义的错误。19世纪60年代末以后，出现了几种不同的无理数定义，分别出自维尔期特拉斯、梅雷、康托和戴德金等人之手，但不论他们定义实数的具体方法有何不同，都符合以下三个条件：第一，把不理数当作已知，从有理数出发定义无理数；第二，所定义的褛的性质及其运算律，与有理数所具有的一三，这样定义的实数是完备的，即在极限运算下不会再出现新数。为了避免柯西理数定义中的错误，维尔斯特拉斯坚持了他的表态观点，曾引入"复合数"概念。并用复合数定义有理数。如3（2/3）由3α和2β组成，其中α=1是主要单位，元素β=1/3。一个数已知它由什么元素组成，以及每个元素出现的次数时，就完全确定了，维尔斯特拉斯继而定义无理数如√2定义为1α，4β1γ----康托与梅雷定义的无理数基本相同，以有理数为出发点引进新数类----实数。该数类包括有理数和无理数。在褛理论建树中，戴德金的实数理论是最完整的。人用有理数分割来定义实数这一思想来源于对直线连续性的考虑。人和康托大致同时提出了实数集与直线上的点一一对应假设。这一假设后来称为“康托-戴德金"公理，他想，直线上的有理点是不连续的，必然由无量数填补空位，才能使直线成为连续。如何才能把这些补空位的无理数表示出来？戴德金用全体有理数的一个分割，来表示一个无理数。上面所说的几种无理数定义，都把有理数当作已知的，因为任何一个有理数，都可以写成两个整数之比，因此问题归结为整数。那么对于整数需不需要再下定义呢？对这个问题也产生了分歧，维尔斯特拉斯就认为没必要，有理数逻辑地归为一对整数，对整数的逻辑无须做进一步研究。戴德金则不然，他在《数的性质与意义》一书中，利用集合论思想给出了一个整数理论，虽因过于复杂未被采用，却给皮亚诺以直接启示。1889年，意大利数学家皮亚诺在他的《算术原理新方法》一书中，用公理方法给出了自然数理论，从而完成了整个数系逻辑化工作。皮亚诺出生于都灵，曾任都灵大学讲师和教授，是一位数理逻辑学家。他不像逻辑主义者那样，主张把数学建立在逻辑上，而是主张把逻辑作为数学工具。皮亚诺在《算术原理方法》一书中，使用了一系列符号，如用∈，NO和a+分别表示属于、包含、自然数类和a的下一个自然数等；给出了四个不加定义的原始概念：集合，自然数，后继数和属于；还提出了自然数的五个公理：1）1是自然数；2）1不是任何自然数的后继数；3）每个自然数a都不一个后继数a+;4）如果a+=b+,则a=b;5）如果s是一个含有1的自然数集合，且当s含有a时，也含有a+，则s含有全部自然数。这个公理是数学归纳法的逻辑基础。接着，皮亚诺根据自然数定义整数：设a,b为自然数。则数对（a,)即"a-b"定义整数。当a>b,a/span>有了整数概念，再通过有序对定义有理数：若n,m为整数，则有序对（n,m)(m<>0)即n/m定义一个有理数。这样，皮亚诺应用数学符号和公理方法，在自然数公理的基础上，简明扼要地建立起自然数系、整数系和有理数系。当然用公理的、逻辑的方法构造出来的数系，使一数学家感到很不自然。他们认为这是将本一清楚的概念"做了不可理解的推广，然而，实数理论的建立，谱写了19世纪数学史上辉煌的一章。

能用分数表示，且分子分母互质（最大公约数为1）的数叫有理数

有理数分为整数和分数两大类

整数：5＝5/1;　－6＝－6/1

分数：2/3、-7/6

(有限小数或无限循环小数都可以用上述的分数表示，都是有理数：

　123＝123/100，－08＝－8/10＝-4/5

033333……=1/3、023＝7/30

但，无限不循环小数不是有理数，因为它不能用上述分数表示，它是无理数：

如　π）