如何计算有理数？

　　有理数运算是七年级的教学内容，在进行有理数的混合运算时，为了提高运算速度和准确性，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜卷。

一、要理运算顺序

　　有理数混合运算的运算顺序：

　　1、从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；

　　2、从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的；

　　3、从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。

二、掌握运算技巧

　　1、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。

　　2、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。

　　3、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。

　　4、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

　　5、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。

　　6、正逆用运算律：正难则反,

逆用运算定律以简化计算。

　　如，乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算。而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。

三、理解转化的思想方法

　　有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。

　　1、有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以后，加法和减法运算都可以统一为加法运算。其关键是注意两个变：

　　①变减号为加号；

　　②变减数为其相反数。

　　另外被减数与减数的位置不变。

　　2、有理数的乘除也互为逆运算，有了倒数的概念后，有理数的除法可以转化为乘法。转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

　　3、乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果(幂)。

　　因此在运算时应把握“遇减化加、遇除变乘、乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。

　　总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符号和绝对值。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：

　　一是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；

　　二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；

　　三是将乘方运算转化为积的形式．

　　若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了。

四、会用三个概念的性质

　　如果a、b互为相反数，那么a+b=0，a=

-b；

　　如果c、d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；

　　如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a。

　　以上就是有理数运算时的方法技巧。

有理数加减混合运算,求简便过程 。并且教教这类题如何算

3276+1724-11376-1924

=（+3276）+（+1724）-（+11376）-（+1924）

=[（+3276）-（+11376）]+[（+1724）-（+1924）]

=（-81）+（-2）

=-83

这类题目，根据题目中的资料特征，把两个数相加或相减能得到整数的结合在一起就比较简便了。

求10题有理数的加减混合运算

（-3）-（-25）+（-05）-（+6）

12+11-8+39

45-9-91+5；

（5-6）-（7-9）

分别根据下列条件求代数式x-y-z+w的值：  (1)x=-3，y=-2，z=0，w=5；    

 (2)x=03，y=-07，z=11，w=-21；

已知3a=a+a+a，分别根据下列条件求代数式3a的值： (1)a=-1；   

(2)a=-2；   

(3)a=-3；   

(4)a=-05．

1–2–3+4+5–6–7+8+……+2009–2010–2011

1+2–3–4+5+6–7–8+………+2009+2010–2011

已知a<c<0,b>0,且|a|>|b|>|c|,化简|a|+|b|-|c|+|a+b|+|b+c|+|a+c

若|a–8|+|b+5|=0，则a–b的值为多少

也不太清楚你想要什么养的，希望能帮到你，不行的话可以再追问

数学初一有理数加减混合运算 求过程 谢谢啦~

=1/2+(-1/2)+4/5+(-2/3)+(-1/3)

=0+4/5-1

=-1/5

初中有理数加减混合运算试题

有理数的混合运算

教学目标

1．进一步掌握有理数的运演算法则和运算律；

2．使学生能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算；

3．注意培养学生的运算能力．

教学重点和难点

重点：有理数的混合运算．

难点：准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题．

课堂教学过程设计

一、从学生原有认知结构提出问题

1．计算(五分钟练习)：

(5)-252； (6)(-2)3；(7)-7+3-6； (8)(-3)×(-8)×25；

(13)(-616)÷(-28)； (14)-100-27； (15)(-1)101； (16)021；

(17)(-2)4； (18)(-4)2； (19)-32； (20)-23；

(24)34×104÷(-5)．

2．说一说我们学过的有理数的运算律：

加法交换律：a+b=b+a；

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法交换律：ab=ba；

乘法结合律：(ab)c=a(bc)；

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

二、讲授新课

前面我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，若在一个算式里，含有以上的混合运算，按怎样的顺序进行运算？

1．在只有加减或只有乘除的同一级运算中，按照式子的顺序从左向右依次进行．

审题：(1)运算顺序如何？

(2)符号如何？

说明：含有带分数的加减法，方法是将整数部分和分数部分相加，再计算结果．带分数分成整数部分和分数部分时的符号与原带分数的符号相同．

课堂练习

审题：运算顺序如何确定？

注意结果中的负号不能丢．

课堂练习

计算：(1)-25×(-48)×(009)÷(-027)；

2．在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减．

例3 计算：

(1)(-3)×(-5)2； (2)〔(-3)×(-5)〕2；

(3)(-3)2-(-6)； (4)(-4×32)-(-4×3)2．

审题：运算顺序如何？

解：(1)(-3)×(-5)2=(-3)×25=-75．

(2)〔(-3)×(-5)〕2=(15)2=225．

(3)(-3)2-(-6)=9-(-6)=9+6=15．

(4)(-4×32)-(-4×3)2

=(-4×9)-(-12)2

=-36-144

=-180．

注意：搞清(1)，(2)的运算顺序，(1)中先乘方，再相乘，(2)中先计算括号内的，然后再乘方．(3)中先乘方，再相减，(4)中的运算顺序要分清，第一项(-4×32)里，先乘方再相乘，第二项(-4×3)2中，小括号里先相乘，再乘方，最后相减．

课堂练习

计算：

(1)-72； (2)(-7)2； (3)-(-7)2；

(7)(-8÷23)-(-8÷2)3．

例4 计算

(-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．

审题：(1)存在哪几级运算？

(2)运算顺序如何确定？

解： (-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4

=4-(-25)×(-1)+87÷(-3)×1(先乘方)

=4-25-29(再乘除)

=-50．(最后相加)

注意：(-2)2=4，-52=-25，(-1)5=-1，(-1)4=1．

课堂练习

计算：

(1)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)；

(2)2×(-3)3-4×(-3)+15．

3．在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．

课堂练习

计算：

三、小结

教师引导学生一起总结有理数混合运算的规律．

1．先乘方，再乘除，最后加减；

2．同级运算从左到右按顺序运算；

3．若有括号，先小再中最后大，依次计算．

四、作业

1．计算：

2．计算：

(1)-8+4÷(-2)； (2)6-(-12)÷(-3)；

(3)3•(-4)+(-28)÷7； (4)(-7)(-5)-90÷(-15)；

3．计算：

4．计算：

(7)1÷(-1)+0÷4-(-4)(-1)；(8)18+32÷(-2)3-(-4)2×5．

5．计算(题中的字母均为自然数)：

(1)(-12)2÷(-4)3-2×(-1)2n-1；

(4)〔(-2)4+(-4)2•(-1)7〕2m•(53+35)．

第二份

初一数学测试（六）

（第一章 有理数 2001、10、18） 命题人：孙朝仁 得分

一、 选择题：（每题3分，共30分）

1．|－5|等于………………………………………………………………（ ）

（A）－5 （B）5 （C）±5 （D）02

2．在数轴上原点及原点右边的点所表示的数是……………………（ ）

（A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数

3．用代数式表示“ 、b两数积与m的差”是………………………（ ）

（A） （B） （C） （D）

4．倒数等于它本身的数有………………………………………………（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无数个

5．在 （n是正整数）这六数中，负数的个数是……………………………………………………………………( )

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

6．若数轴上的点A、B分别与有理数a、b对应，则下列关系正确的是（ ）

（A）a＜b （B）－a＜b （C）|a|＜|b| （D）－a＞－b

• • •

7．若|a－2|=2－a，则数a在数轴上的对应点在

（A） 表示数2的点的左侧 （B）表示数2的点的右侧……………（ ）

（C） 表示数2的点或表示数2的点的左侧

（D）表示数2的点或表示数2的点的左侧

8．计算 的结果是……………………………（ ）

（A） （B） （C） （D）

9．下列说法正确的是…………………………………………………………（ ）

（A） 有理数就是正有理数和负有理数（B）最小的有理数是0

（C）有理数都可以在数轴上找到表示它的一个点（D）整数不能写成分数形式

10．下列说法中错误的是………………………………………………………（ ）

（A） 任何正整数都是由若干个“1”组成

（B） 在自然数集中，总可以进行的运算是加法、减法、乘法

（C） 任意一个自然数m加上正整数n等于m进行n次加1运算

（D）分数 的特征性质是它与数m的乘积正好等于n

二、 填空题：（每题4分，共32分）

11．－02的相反数是 ，倒数是 。

12．冰箱冷藏室的温度是3℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低15℃，则冷冻室温度是 ℃。

13．紧接在奇数a后面的三个偶数是 。

14．绝对值不大于4的负整数是 。

15．计算： = 。

16．若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则a+b 0。（填“＞”或“=”或“＜”号）

17．在括号内的横线上填写适当的项：2x－(3a－4b+c)=(2x－3a)－( )。

18．观察下列算式，你将发现其中的规律： ； ； ； ； ；……请用同一个字母表示数，将上述式子中的规律用等式表示出来： 。

三、 计算（写出计算过程）：（每题7分，共28分）

19． 20．

21． （n为正整数）

22．

四、若 。（1）求a、b的值；（本题4分）

（2）求 的值。（本题6分）

第三份

初一数学测试（六）

（第一章 有理数 2001、10、18） 命题人：孙朝仁

班级 姓名 得分

一、 选择题：（每题3分，共30分）

1．|-5|等于………………………………………………………（ ）

（A）-5 （B）5 （C）±5 （D）02

2．在数轴上原点及原点右边的点所表示的数是………………（ ）

（A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数

3．用代数式表示“ 、b两数积与m的差”是………………（ ）

（A） （B） （C） （D）

4．－12+11－8+39=（－12－8）+（11+39）是应用了 （ ）

A、加法交换律B、加法结合律 C、加法交换律和结合律D、乘法分配律

5．将6－(+3)－(－7)+(－2)改写成省略加号的和应是 ( )

A、－6－3+7－2 B、6－3－7－2 C、6－3+7－2 D、6+3－7－2

6．若|x|=3，|y|=7，则x－y的值是 （ ）

A、±4 B、±10 C、－4或－10 D、±4，±10

7．若a×b＜0，必有 （ ）

A、a＞0，b＜0 B、a＜0，b＞0 C、a、b同号 D、a、b异号

8．如果两个有理数的和是正数，积是负数，那么这两个有理数 （ ）

A、都是正数 B、绝对值大的那个数正数，另一个是负数

C、都是负数 D、绝对值大的那个数负数，另一个是正数

9．文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在 （ ）

A、文具店 B、玩具店 C、文具店西边40米 D、玩具店东边－60米

10．已知有理数 、 在数轴上的位置如图 • • •

所示，那么在①a＞0，②－b＜0，③a－b＞0，

④a+b＞0四个关系式中，正确的有 （ ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

二、 判断题：（对的画“+”，错的画“○”，每题1分，共6分）

11．03既不是整数又不是分数，因而它也不是有理数。 （ ）

12．一个有理数的绝对值等于这个数的相反数，这个数是负数。 （ ）

13．收入增加5元记作+5元，那么支出减少5元记作－5元。 （ ）

14．若a是有理数，则－a一定是负数。 （ ）

15．零减去一个有理数，仍得这个数。 （ ）

16．几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数个，则积为负。 （ ）

三、 填空题：（每题3分，共18分）

17．在括号内填上适当的项，使等式成立：a+b－c+d=a+b－（ ）。

18．比较大小: │－ │ │－ │(填“＞”或“＜”号)

19．如图，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等，则a的值= 。

• • • • • • • • •

20．一个加数是01，和是－279，另一个加数是 。

21．－9，+6，－3三数的和比它们的绝对值的和小 。

22．等式 ×〔（－5）+（－13）〕= 根据的运算律是 。

四、 在下列横线上，直接填写结果：（每题2分，共12分）

23．－2+3= ；24．－27+(－51)= ； 25．－18－34= ；

26．－24－(－17)= ；27．－14×5= ； 28．－18×(－2)= 。

五、 计算（写出计算过程）：（29、30每题6分，31、32每题7分，共26分）

29．(－6)－(－7)+(－5)－(+9) 30．

31． 32．(－5)×(－3 )－15×1 +〔 －( )×24〕

六、 下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数）。

⑴如果现在的北京时间是7：00，那么现在的纽约时间是多少？

⑵小华现在想给远在巴黎的外公打电话，你认为合适吗？（每小题4分）

出20几道 有理数加减混合运算

1-2+3-4+5-6+7-8+9+……-100

12-34+56-78+910

1-22+33-44+55-66+77-88+99

你有理数的加减混合运算题吗？

（1） (-17)-4+(-15)-16 （2） (-1)+4-(-9)+5 （3） (-14)+(-12)+11-(-5) （4） (-7)-(-4)-18-(-3) （5） 0-7+(-9)+(-1) （6） 18-(-5)-8-10 （7） 5+6+3+2 （8） 4+17-13-(-7) （9） (-5)-3+(-11)-18 （10） (-10)-(-7)-(-2)+(-10)

有理数加减混合运算题 100道题谁出？

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有理数加减混合运算题 合并同类项题 解方程题

-5+218/2-6-59

68/21-8-118+61

-2/9-7/9-56

46-(-3/4+16-4-3/4)

1/2+3+5/6-7/12

[2/3-4-1/4(-04)]/1/3+2

22+(-4)+(-2)+43

-28-81/2+8/1/8

(2/3+1/2)/(-1/12)(-12)

(-28)/(-6+4)+(-1)

2/(-2)+0/7-(-8)(-2)

(1/4-5/6+1/3+2/3)/1/2

18-6/(-3)(-2)

(5+3/88/30/(-2)-3

(-84)/2(-3)/(-6)

1/2(-4/15)/2/3

-3x+2y-5x-7y

祝天天快乐!

帮忙出70道有理数加减混合运算题

1．选择题：

（1）把-2-（+3）-（-5）+（-4）+（+3）写成省略括号和的形式，正确的是（ ）

A．-2-3-5-4+3 B．-2+3+5-4+3

C．-2-3+5-4+3 D．-2-3-5+4+3

（2）计算（-5）-（+3）+（-9）-（-7）+ 所得结果正确的是（ ）

A．-10 B．-9 C．8 D．-23

（3）-7，-12，+2的代数和比它们的绝对值的和小（ ）

A．-38 B．-4 C．4 D．38

（4）若 +（b+3）2=0,则b-a- 的值是（ ）

A．-4 B．-2 C．-1 D．1

（5）下列说法正确的是（ ）

A．两个负数相减，等于绝对值相减

B．两个负数的差一定大于零

C．正数减去负数，实际是两个正数的代数和

D．负数减去正数，等于负数加上正数的绝对值

（6）算式-3-5不能读作（ ）

A．-3与5的差 B．-3与-5的和

C．-3与-5的差 D．-3减去5

2．填空题：（4′×4=16′）

（1）-4+7-9=- - + ；

（2）6-11+4+2=- + - + ；

（3）（-5）+（+8）-（+2）-（-3）= + - + ；

（4）5-（-3 ）-（+7）-2 =5+ - - + -

3．把下列各式写成省略括号的和的形式，并说出它们的两种读法：（8′×2=16′）

（1）（-21）+（+16）-（-13）-（+7）+（-6）；

（2）-2 -（- ）+（-05）+(+2)-(+ )-2

4计算题(6′×4=24′)

(1)-1+2-3+4-5+6-7;

(2)-50-28+(-24)-(-22);

(3)-198-(-203)-(+202)-108;

(4)025- +(-1 )-(+3 )

5当x=-37,y=-18,z=-15时,求下列代数式的值(5′×4=20′)

(1)x+y-z; (2)-x-y+z; (3)-x+y+z; (4)x-y-z

素质优化训练

(1) (-7)-(+5)+(+3)-(-9)=-7 5 3 9;

(2)-(+2 )-(-1 )-(+3 )+(- )

=( 2 )+( 1 )+( 3 )+( );

(3)-14 5 (-3)=-12;

(4)-12 (-7) (-5) (-6)=-16;

(5)b-a-(+c)+(-d)= a b c d;

2当x= ,y=- ,z=- 时,分别求出下列代数式的值;

(1)x-(-y)+(-z); (2)x+(-y)-(+z);

(3)-(-x)-y+z; (4)-x-(-y)+z

3就下列给的三组数,验证等式：

a-(b-c+d)=a-b+c-d是否成立

(1)a=-2,b=-1,c=3,d=5;

(2)a= ,b=- ,c=-1 ,d=1

4计算题

(1)-1 ;

(2)1- ;

(3)(-6-243)-(-12+91)+(0-21);

(4)-1 + - - - +

生活实际运用

某水利勘察队,第一天向上游走5 千米,第二天又向上游走5 ,第三天向下游走4 千米,第四天又向下游走45千米,这时勘察队在出发点的哪里相距多少千米

参考答案：

同步达纲练习

1(1)C;(2)B;(3)D;(4)A;(5)C;(6)C 2(1)4,(-7),(-9) (2)(-6),(-11),(-4),2; (3)-5,8,2,3; (4)3,7,2;

3略4(1)-4; (2)-80; (3)-305 (4)-5

5(1)-4; (2)4; (3)04; (4)-04

素质优化训练

1(1)-,+,+; (2)-,+,-,-; (3)+,+; (4)-,+,+; (5)-,+,-,-

2(1) (2) (3) (4)-

3(1) (2)都成立

4(1)-

(2)

(3)-295

(4)-1 第(4)题注意同号的数、互为相反数先分别结合。

过关试题

1、计算：（1）－5－9+3； （2）10－17+8；

（3）－3－4+19－11； （4）－8+12－16－23．

2．计算：

(1)-42+57-84+10； (2)61-37-49+18；

3．计算：

（1）（-36）-（-25）-（+36）+（+72）； （2）（-8）-（-3）+（+5）-（+9）；

（3） ； （4）-9+（-3 ）+3 ；

4．计算：

（1）12－（－18）+（－7）－15；

（2）－40－28－（－19）+（－24）－（－32）；

（3）47－（－89）－75+（－6）；

答案：

1、（1）－11；（2）1；（3）1；（4）－35

2、（1）31；（2）－07；（3） ；（4）

3、（1）25；（2）－9；（3） ；（4）－9

4、（1）8；（2）－41；（3）01

1、有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。0也是有理数。

2、无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

扩展资料：

一、有理数的命名由来

“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。

中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。

所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

二、无理数的历史

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。

经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。

－有理数

－无理数

　导语：数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。以下是我整理好分享给大家的关于高中必修一数学的知识汇总，欢迎大家前来教育查看！

　高中高一数学必修1 各章知识点总结

　第一章 集合与函数概念

　一、集合有关概念

　1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

　2、集合的中元素的三个特性：

　1元素的确定性;2元素的互异性;3元素的无序性

　说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

　(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

　(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

　(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

　3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　1用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　2集合的表示方法：列举法与描述法。

　注意啊：常用数集及其记法：

　非负整数集(即自然数集)记作：N

　正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　关于“属于”的概念

　集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA

　列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

　①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR|x-3>2}或{x|x-3>2}

　4、集合的分类：

　1有限集含有有限个元素的集合

　2无限集含有无限个元素的集合

　3空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　二、集合间的基本关系

　1“包含”关系—子集

　注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

　2“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

　①任何一个集合是它本身的子集。AíA

　②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

　③如果AíB,BíC,那么AíC

　④如果AíB同时BíA那么A=B

　3不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　三、集合的运算

　1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集

　记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}

　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}

　3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

　A∪φ=A,A∪B=B∪A

　4、全集与补集

　(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

　记作：CSA即CSA={x|xS且xA}

　S

　CsA

　A

　(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

　(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

　二、函数的有关概念

　1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f(x)，x∈A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域

　注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式

　定义域补充

　能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义

　(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

　构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

　再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)

　(见课本21页相关例2)

　值域补充

　(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域(2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

　3函数图象知识归纳

　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象

　C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

　图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

　(2)画法

　A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来

　B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

　常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

　(3)作用：

　1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

　发现解题中的错误。

　4快去了解区间的概念

　(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示

　5什么叫做映射

　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”

　给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f：A→B来说，则应满足：(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　常用的函数表示法及各自的优点：

　1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法：必须注明函数的定义域;3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征

　注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

　补充一：分段函数(参见课本P24-25)

　在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集

　补充二：复合函数

　如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。

　例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)

　7函数单调性

　(1)增函数

　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

　注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;

　2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2;当x1

　(2)图象的特点

　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

　(3)函数单调区间与单调性的判定方法

　(A)定义法：

　1任取x1，x2∈D，且x1

　(B)图象法(从图象上看升降)_

　(C)复合函数的单调性

　复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

　函数

　单调性

　u=g(x)

　增

　增

　减

　减

　y=f(u)

　增

　减

　增

　减

　y=f[g(x)]

　增

　减

　减

　增

　注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗

　8函数的奇偶性

　(1)偶函数

　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数

　(2)奇函数

　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数

　注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

　2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)

　(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

　偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称

　总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数

　注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定

　9、函数的解析表达式

　(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域

　(2)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时，也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的'方法求出f(x)

　10函数最大(小)值(定义见课本p36页)

　1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图象求函数的最大(小)值3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

　第二章基本初等函数

　一、指数函数

　(一)指数与指数幂的运算

　1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈

　当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的次方根用符号表示式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand)

　当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0)由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

　注意：当是奇数时，，当是偶数时，

　2分数指数幂

　正数的分数指数幂的意义，规定：

　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

　指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂

　3实数指数幂的运算性质

　(1);

　(2);

　(3)

　(二)指数函数及其性质

　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R

　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1

　2、指数函数的图象和性质

　a>1

　0

　图象特征

　函数性质

　向x、y轴正负方向无限延伸

　函数的定义域为R

　图象关于原点和y轴不对称

　非奇非偶函数

　函数图象都在x轴上方

　函数的值域为R+

　函数图象都过定点(0，1)

　自左向右看，

　图象逐渐上升

　自左向右看，

　图象逐渐下降

　增函数

　减函数

　在第一象限内的图象纵坐标都大于1

　在第一象限内的图象纵坐标都小于1

　在第二象限内的图象纵坐标都小于1

　在第二象限内的图象纵坐标都大于1

　图象上升趋势是越来越陡

　图象上升趋势是越来越缓

　函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快;

　函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;

　注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

　(1)在[a，b]上，值域是或;

　(2)若，则;取遍所有正数当且仅当;

　(3)对于指数函数，总有;

　(4)当时，若，则;

　二、对数函数

　(一)对数

　1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：(—底数，—真数，—对数式)

　说明：1注意底数的限制，且;

　2;

　3注意对数的书写格式

　两个重要对数：

　1常用对数：以10为底的对数;

　2自然对数：以无理数为底的对数的对数

　对数式与指数式的互化

　对数式指数式

　对数底数←→幂底数

　对数←→指数

　真数←→幂

　(二)对数的运算性质

　如果，且，，，那么：

　1+;

　2-;

　3

　注意：换底公式

　(，且;，且;)

　利用换底公式推导下面的结论(1);(2)

　(二)对数函数

　1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞)

　注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

　如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数

　2对数函数对底数的限制：，且

　2、对数函数的性质：

　a>1

　0

　图象特征

　函数性质

　函数图象都在y轴右侧

　函数的定义域为(0，+∞)

　图象关于原点和y轴不对称

　非奇非偶函数

　向y轴正负方向无限延伸

　函数的值域为R

　函数图象都过定点(1，0)

　自左向右看，

　图象逐渐上升

　自左向右看，

　图象逐渐下降

　增函数

　减函数

　第一象限的图象纵坐标都大于0

　第一象限的图象纵坐标都大于0

　第二象限的图象纵坐标都小于0

　第二象限的图象纵坐标都小于0

　(三)幂函数

　1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数

　2、幂函数性质归纳

　(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1);

　(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸;

　(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴

　第三章函数的应用

　一、方程的根与函数的零点

　1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

　方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点

　3、函数零点的求法：

　求函数的零点：

　1(代数法)求方程的实数根;

　2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点

　4、二次函数的零点：

　二次函数

　1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点

　2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点

　3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点

内容延伸：

　学好高中数学必修一

　第一、刚接触的东西，自然会比较陌生，此时要做的第一步是认真地把课本的内容题目和标题看一遍。

　第二、养成预习的好习惯，偶尔用笔画一画你不是很懂的地方，写一写，好记性不如烂笔头。

　第三、数学课堂上要准备一个好的笔记本，用来记录老师讲的重点，勤奋做数学笔记。

　第四、课后多做跟老师讲的有关的练习题，巩固一下课堂上的知识点，课后练习都不要放过。

　第五、准备一个纠错本，养成记录错题的习惯，考过的试题，做错了的，把题目抄一遍，不要看答案，再把思路整理一遍，自己写一遍答案。

　第六、学会做总结，总结你为什么会错，是不是没有把握好知识点，没有把握好的重点再去研究下。

　第七、学会做数学归类，归类同类题，有助于你记忆。不仅让你记忆这道题的做法，还让你记忆它的方法，记住一句话：万变不离其宗。

　中考数学的复习，需要同学们多花时间去做试题。以下是我为大家搜集整理提供到的中考数学有理数计算 方法 ，希望对您有所帮助。欢迎阅读参考学习!

　有理数计算方法

　考点有理数计算难度★★★★☆

　在数1，2，3，4……1998，前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少(6分)

　解析

　最小的非负数为“0”，但是1998个正数中有999个奇数，999个偶数，他们的和或者差结果必为奇数，因此不可能实现“0”

　可以实现的最小非负数为“1”，如果能实现结果“1”，则符合题意

　相邻两数差为1，所以相邻四个数可以和为零，即n-(n+1)-(n+2)+n+3=0

　从3，4，5，6……1998共有1996个数，可以四个连续数字一组，和为零

　答案

　-1+2+3-4-5+6+7……+1995-1996-1997+1998=1

　改编

　在数1，2，3，4……n，前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少

　解析

　由上面解析可知，四个数连续数一组可以实现为零

　如果n=4k，结果为0;(四数一组，无剩余)

　如果n=4k+1，结果为1;(四数一组，剩余首项1)

　如果n=4k+2，结果为1;(四数一组，剩余首两项-1+2=1)

　如果n=4k+3，结果为0;(四数一组，剩余首三项1+2-3=0)

　四、考点绝对值化简难度★★★★☆

　101中学期中

　将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b，代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____

　解析

　绝对值化简得：当a≥b时，原式=b;当a

　所以50组可得50个最小的已知自然数，即1，2，3，4……50

　答案1275

　改编

　这50个值的和的最大值为____

　解析

　因为本质为取小运算，所以100必须和99一组，98必须和97一组，最后留下的50组结果为：1，3，5，7……99=2500

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5 数学课《有理数减法法则》反思

　有理数的乘法是继有理数的加减法之后的又一种基本运算。有理数乘法既是有理数运算的深入，又是进一步学习有理数的除法、乘方的基础，对后续代数学习是至关重要的。接下来是我为大家整理的 七年级数学 《有理数的乘方》教案设计，希望大家喜欢!

　 七年级数学《有理数的乘方》教案设计一

　教学目标：

　1通过现实背景理解有理数乘方的意义，能进行有理数乘方的运算

　2已知一个数，会求出它的正整数指数幂，渗透转化思想

　3培养学生观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力，切实提高学生的运算能力

　教学重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算

　教学难点：准确理解底数、指数和幂三个概念，并能进行求幂的运算

　教学过程设计：

　(一)创设情境，导入新课

　提问并引导学生回答：在小学里我们学过一个数的平方和立方是如何定义的怎样表示

　a·a记作a2，读作a的平方(或a的2次方)，即a2=a·a;a·a·a记作a3，读作a的立方(或a的3次方)，即a3=a·a·a(分别是边长为a的正方形的面积与棱长为a的正方体的体积)

　(多媒体演示细胞分裂过程)某种细胞，每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个分裂成多少个

　1个细胞30分钟分裂成2个，1个小时后分裂成2×2个，15小时后分裂成2×2×2个，…，5小时后要分裂10次，分裂成个，为了简便可将记作210

　(二)合作交流，解读探究

　一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作an，读作a的n次方

　求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂

　说明：(1)举例94来说明概念及读法

　(2)一个数可以看作这个数本身的一次方，通常省略指数1不写

　(3)因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算

　(4)乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果

　(三)应用迁移，巩固提高

　例1(1)(-4)3;(2)(-2)4;(3)-24

　点拨：(1)计算时仍然是要先确定符号，再确定绝对值

　(2)注意(-2)4与-24的区别

　根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律：

　负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数;

　正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0

　例2计算：

　(1)()3;　　　　　(2)(-)3;

　(3)(-)4; (4)-;

　(5)-22×(-3)2; (6)-22+(-3)2

　(四) 总结 反思 ，拓展升华

　1引导学生作知识小结：理解有理数乘方的意义，运用有理数乘方运算法则进行有理数乘方的运算，熟知底数、指数和幂三个基本概念

　2教师扩展：有理数的乘方就是几个相同因数积的运算，可以运用有理数乘 方法 则进行符号的确定和幂的求值

　乘方的含义：(1)表示一种运算;(2)表示运算的结果乘方的读法：(1)当an表示运算时，读作a的n次方;(2)当an表示运算结果时，读作a的n次幂

　乘方的符号法则：(1)正数的任何次幂都是正数;(2)零的任何正整数次幂都是零;(3)负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数注意(-a)n与-an及()n与的区别和联系

　(五)课堂跟踪反馈

　1课本P42练习第1、2题

　2补充练习

　(1)在(-2)6中，指数为　　　　，底数为　　　　

　(2)在-26中，指数为　　　　，底数为　　　　

　(3)若a2=16，则a=　　　　

　(4)平方等于本身的数是　　　　，立方等于本身的数是　　　　

　(5)下列说法中正确的是(　　)

　A平方得9的数是3

　B平方得-9的数是-3

　C一个数的平方只能是正数

　D一个数的平方不能是负数

　(6)下列各组数中，不相等的是(　　)

　A(-3)2与-32 B(-3)2与32

　C(-2)3与-23 D|2|3与|-23|

　(7)下列各式中计算不正确的是(　　)

　A(-1)2003=-1

　B-12002=1

　C(-1)2n=1(n为正整数)

　D(-1)2n+1=-1(n为正整数)

　(8)下列各数表示正数的是(　　)

　A|a+1| B(a-1)2

　C-(-a) D||

　第2课时　有理数的混合运算

　教学目标：

　1了解有理数混合运算的意义，掌握有理数的混合运算法则及运算顺序

　2能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算，并在运算过程中合理使用运算律

　教学重点：根据有理数的混合运算顺序，正确地进行有理数的混合运算

　教学难点：有理数的混合运算

　教学过程：

　一、有理数的混合运算顺序：

　1先乘方，再乘除，最后加减

　2同级运算，从左到右进行

　3如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行

　例1计算：

　(1)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2);

　(2)1-×[3×(-)2-(-1)4]+÷(-)3

　强调：按有理数混合运算的顺序进行运算，在每一步运算中，仍然是要先确定结果的符号，再确定结果的绝对值

　例2观察下面三行数：

　-2，4，-8，16，-32，64，…;①

　0，6，-6，18，-30，66，…;②

　-1，2，-4，8，-16，32，…③

　(1)第①行数按什么规律排列

　(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系

　(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和

　例3已知a=-，b=4，求()2--(ab)3+a3b的值

　二、课堂练习

　1计算：

　(1)|-|2+(-1)101-×(05-)÷;

　(2)1÷(1)×(-)÷(-12);

　(3)(-2)3+3×(-1)2-(-1)4;

　(4)[2-(-)3]-(-)+(-)×(-1)2;

　(5)5÷[-(2-2)]×6

　2若|x+2|+(y-3)2=0，求的值

　3已知A=a+a2+a3+…+a2004，若a=1，则A等于多少若a=-1，则A等于多少

　三、课时小结

　1注意有理数的混合运算顺序，要熟练进行有理数混合运算

　 七年级数学《有理数的乘方》教案设计二

　教学目标

　(1)正确理解乘方、幂、指数、底数等概念

　(2)会进行有理数乘方的运算

　(3)培养探索精神，体验小组交流、合作学习的重要性

　 教学方法

　讲授法、讨论法。

　教学重点

　正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则

　教学难点

　正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算

　课前准备

　教师准备教学用课件，学生预习。

　教学过程

　新课讲授

　边长为a的正方形的面积是a·a，棱长为a的正方体的体积是a·a·a

　a·a简记作a2，读作a的平方(或二次方)

　a·a·a简记 作a3，读作a的立方(或三次方)

　一般地，几个相同的因数a相乘，记作an即a·a……a 这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂

　在an中，a叫底数，n 叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次 幂

　例如，在94中，底数是9，指数 是4，94读作9的 4次方，或9的4次幂，它表示4个9相乘，即9×9×9×;又如(-2)4的底数是-2，指数是4，读作-2的4次方(或-2的4次幂)，它表示(-2)×(-2)×(-2)×(-2)

　思考：32与23有什么不同(-2)3与-23的意义是否相同其中结果是否一样(-2)4与-24呢( )2与 呢

　(-2)3的底数是-2，指数是3，读作-2的3次幂，表示(-2)×(-2)×(-2)，结果是-8;-23的底数是2，指数是3，读作2的3次幂的相反数，表示为-( 2×2×2)，结果是-8

　(-2)3与 -23的意义不相同，其结果一样

　(-2)4的底数是-2，指数是4，读作-2的四次幂，表示

　(-2)×(-2)×(-2)×(-2)，

　结果是16;-24的底数是2，指数是4，读作2的4次幂的相反数，表示为

　-(2×2×2×2)，其结果为-16

　(-2)4与-24的意义不同，其结果也不同

　( )2的底数是 ，指数是2，读作 的二次幂，表示 × ，结果是 ; 表示32与5的商，即 ，结果是

　因此，当底数是负数或分数时，一定要用括号把底数括起来

　一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写

　因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘方运算来进行有理数的乘方运算

　例1：计算：

　(1)(-4)3; (2)(-2)4; (3)(- )5;

　(4)33; (5)24; (6)(- )2

　解：(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64

　(2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16

　(3)(- )5=(- )×(- )×( - )×(- )×(- )=-

七年级数学《有理数的乘方》教案设计三

　一、教学目标：

　1、认知目标

　正确理解乘方、幂、指数、底数等概念，在现实背景中理解有理数乘方的意义，会进行有理数乘方的运算。

　2、能力目标

　(1) 通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化的数学思想。

　(2)使学生能够灵活地进行乘方运算。

　3、情感目标

　让学生体会数学与生活的密切联系，培养学生灵活处理现实问题的能力。

　二、教学重难点和关键：

　1、教学重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则。

　2、教学难点：正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算，

　3、教学关键：弄清底数、指数、幂等概念，区分-an与(-a)n的意义。

　三、教学方法

　考虑到七年级学生的认知水平和结构以及思维活动特点，本节课采用多媒体直观教学法，联想比较、发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交流相结合的方法。

　四、教学过程：

　1、创设情境，导入新课：

　这一章我们主要学习了有理数的计算，其实有理数的计算在生活中无处不在。有一种游戏叫“算24点”，它是一种常见的扑克牌游戏，不知道大家有没有玩过那我们现在约定扑克牌中黑色数字为正，红色数字为负，每次抽取4张，用加、减、乘、除四种运算使结果为24。

　师：假如我现在抽取的是黑3 红3 黑4 红5 (幻灯片放映)如何算24

　师：如果四张都是3呢

　生答： -3 - 3×3×(-3)=

　师：现在老师把扑克牌拿掉一张红3，变成2个黑3 ，1个红3，大家有办法凑成24吗

　生：思考几分钟后，有同学会想出 的答案

　师：观察这个式子，有我们以前学过的3次方运算，那它是不是乘法运算可以告诉大家，它是一种乘方运算，那是不是所有的乘方运算都是乘法运算，它与乘法运算又有怎样的关系那我们今天就一起来研究“有理数的乘方”，相信学过之后，对你解决心中的疑问会有很大的帮助。(自然引入新课)

　2、动手实践，共同探索乘方的定义

　学生活动：请同学们拿出一张纸进行对折，再对折

　问题：(1)对折一次有几层 2

　(2)对折二次有几层

　(3)对折三次有几层

　(4)对折四次有几层

　师：一直对折下去，你会发现什么

　生：每一次都是前面的2倍。

　师：请同学们猜想：对折20次有几层怎样去列式

　生：20个2相乘

　师：写起来很麻烦，既浪费时间又浪费空间，有没有简单记法

　简记： ……

　师：请同学们总结 对折n次有几层可以简记为什么

　2×2×2×2……×2

　SHAPE MERGEFORMAT

　n个2

　生：可简记为：

　师：猜想： 生：

　师：怎样读呢 生：读作 的 次方

　老师总结：求 个相同因数的积的运算叫乘方;乘方运算的结果叫幂;(教师解说乘方的特殊性)，在 中， 叫做底数(相同

　的因数)， 叫做指数(相同因数的个数)。

　注意：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果看作是的次方的结果时，也可读作的次幂

七年级数学《有理数的乘方》教案设计四

　一、教学目标

　1能理解并掌握有理数乘方的概念及意义，并能够正确进行有理数的乘方运算;

　2通过观察、猜想、实践等数学活动，学生从中提高观察、类比、归纳和计算的能力。

　3初步了解并体会转化的数学思想，逐步养成观察并发现规律的意识，在相互启发中体验合作学习，树立团队意识

　二、教学重难点

　有理数乘方的概念及意义，并正确进行有理数乘方的运算

　有理数乘方的概念及意义，并正确进行有理数乘方的运算

　三、教学策略

　本节课采用“启发引导、动手操作、分析讲解”的教学方式，亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的过程在教学中注意发现问题、思考问题，寻找解决问题的方法鼓励自主探索、逐步递进积极参与讨论、合作学习，肯定成绩，激发学习兴趣和积极性

　四、教学过程

　教学进程 教学内容 学生活动 设计意图 引入新知 问题一：

　把一张纸对折2次可裁成4张，即2×2张;对折3次可裁成8张，即2×2×2张

　问：若对折10次可裁成几张请用一个算式表示(不用算出结果)若对折100次，算式中有几个2相乘

　显然，我们遇到了麻烦：如何书写100个、1000个相同因数相乘这样繁琐的式子呢我们有必要创设一种新的表示方法来表示这样的运算

　问题二：

　边长为a的正方形的面积为 ;

　棱长为a的正方体的体积为 ;

　学生动手操作，

　观察纸片，发现规律

　回忆小学已学知识并独立完成

　目的是培养学生的观察及归纳能力

　让学生亲历每个因数都相同时的乘法，书写起来的冗长，所以才需要创造一种简单的形式

　学习新知

　2个a相加可记为：a+a=2a

　3个a相加可记为：a+a+a=3a

　4个a相加可记为：a+a+a+a=4a

　n个a相加可记为：a+a+a+……+a=na

　类比可得：

　2个a相乘可记为： EMBED Unknown

　3个a相乘可记为： EMBED Unknown

　4个a相乘可记为什么呢

　n个a相乘又记为什么呢

　定义：一般地，我们把几个相同的因数相乘的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂 如果有n个a相乘，可以写成 ，也就是 EMBED Unknown

　其中 叫做 的n次方，也叫做 的n次幂 叫做幂的底数 可以取任何有理数;n叫做幂的指数，可以取任何正整数

　特殊地， 可以看作 的一次幂，也就是说 的指数是1

　例如： 读作-2的4次方或-2的4次幂;底数是-2，指数是4;表示4个-2相乘 x看作幂的话，指数为1，底数为x

　注意：当底数是负数或分数时，写成乘方形式时，必须加上括号

　在学生理解有理数的乘方的意义的情况下，提供例1，指导学生完成，巩固概念的理解

　例1填空：

　(1) EMBED Unknown 的底数是_____，指数是_____， 它表示______;

　(2) 的底数是______，指数是______， 它表示______;

　(3) 的底数是______，指数是______， 它表示_______;

　例2计算：

　教师引导

　学生口答

　学生边记录，边体会、理解

　正确表达有理数的乘方

　学生口答

　分析例题并板书，巩固幂的意义，写出体现幂的意义的全过程

　体会类比的数学思想

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．理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算；

2．了解倒数概念，会求给定有理数的倒数；

3．通过将除法运算转化为乘法运算，培养学生的转化的思想；通过有理数的除法运算，培养学生的运算能力。

教学建议

（一）重点、难点分析

本节教学的重点是熟练进行有理数的除法运算，教学难点是理解有理数的除法法则。

1．有理数除法有两种法则。法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。是把除法转化为乘法来解决问题。法则2是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序：一确定符号；二计算绝对值。如：按法则1计算：原式；按法则2计算：原式。

2．对于除法的两个法则，在计算时可根据具体的情况选用，一般在不能整除的情况下应用第一法则。如；在有整除的情况下，应用第二个法则比较方便，如；在能整除的情况下，应用第二个法则比较方便，如，如写成就麻烦了。

（二）知识结构

（三）教法建议

1学生实际运算时，老师要强调先确定商的符号，然后在根据不同情况采取适当的方法求商的绝对值，求商的绝对值时，可以直接除，也可以乘以除数的倒数。

2．关于0不能做除数的问题，让学生结合小学的知识接受这一认识就可以了，不必具体讲述0为什么不能做除数的理由。

3．理解倒数的概念

（1）根据定义乘积为1的两个数互为倒数，即：，则互为倒数。如：，则2与，－2与互为倒数。

（2）由倒数的定义，我们可以得到求已知数倒数的一种基本方法：即用1除以已知数，所得商就是已知数的倒数。如：求的倒数：计算，－2就是的倒数。一般我们求已知数的倒数很少用这种方法，实际应用时我们常把已知数看作分数形式，然后把分子、分母颠倒位置，所得新数就是原数的倒数。如－2可以看作，分子、分母颠倒位置后为，就是的倒数。

（3）倒数与相反数这两个概念很容易混淆。要注意区分。首先倒数是指乘积为1的两个数，而相反数是指和为0的两个数。如：，2与互为倒数，2与－2互为相反数。其次互为倒数的两个数符号相同，而互为相反数符号相反。如：－2的倒数是，－2的相反数是+2；另外0没有倒数，而0的相反数是0。

4．关于倒数的求法要注意：

（1）求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可．

（2）正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数．

（3）负倒数的定义：乘积是－1的两个数互为负倒数．

教学设计示例

有理数的除法

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．了解有理数除法的定义．

2．理解倒数的意义．

3．掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算．

（二）能力训练点

1．通过有理数除法法则的导出及运算，让学生体会转化思想．

2．培养学生运用数学思想指导思维活动的能力．

（三）德育渗透点

通过学习有理数除法运算、感知数学知识具有普遍联系性、相互转化性．

（四）美育渗透点

把小学算术里的乘法法则推广到有理数范围内，体现了知识体系的完整美．

二、学法引导

1．教学方法：遵循启发式教学原则，注意创设问题情境，精心构思启发导语并及时点拨，使学生主动发展思维和能力．

2．学生学法：通过练习探索新知→归纳除法法则→巩固练习

三、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：除法法则的灵活运用和倒数的概念．

2．难点：有理数除法确定商的符号后，怎样根据不同的情况来取适当的方法求商的绝对值．

3．疑点：对零不能作除数与零没有倒数的理解．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、自制胶片、彩粉笔．

六、师生互动活动设计

教师出示探索性练习，学生讨论归纳除法法则，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成．

七、教学步骤

（一）创设情境，复习导入

师：以上我们学习了有理数的乘法，这节我们应该学习有理数的除法，板书课题．

教法说明有理数的除法同小学算术中除法一样—除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以必须以学好求一个有理数的倒数为基础学习有理数的除法．

（二）探索新知，讲授新课

1．倒数．

（出示投影1）

4×（ ）＝1； ×（ ）＝1； 05×（ ）＝1；

0×（ ）＝1； －4×（ ）＝1； ×（ ）＝1．

学生活动：口答以上题目．

教法说明在有理数乘法的基础上，学生很容易地做出这几个题目，在题目的选择上，注意了数的全面性，即有正数、0、负数，又有整数、分数，在数的变化中，让学生回忆、体会出求各种数的倒数的方法．

师问：两个数乘积是1，这两个数有什么关系？

学生活动：乘积是1的两个数互为倒数．（板书）

师问：0有倒数吗？为什么？

学生活动：通过题目0×（ ）＝1得出0乘以任何数都不得1，0没有倒数．

师：引入负数后，乘积是1的两个负数也互为倒数，如－4与，与互为倒数，即的倒数是．

提出问题：根据以上题目，怎样求整数、分数、小数的倒数？

教法说明教师注意创设问题情境，让学生参与思考，循序渐进地引出，对于有理数也有倒数是．对于怎样求整数、分数、小数的倒数，学生还很难总结出方法，提出这个问题是让学生带着问题来做下组练习．

（出示投影2）

求下列各数的倒数：

（1）； （2）； （3）；

（4）； （5）－5； （6）1．

学生活动：通过思考口答这6小题，讨论后得出，求整数的倒数是用1除以它，求分数的倒数是分子分母颠倒位置；求小数的倒数必须先化成分数再求．

2．有理数的除法

计算：8÷（－4）．

计算：8×（）＝？ （－2）

∴8÷（－4）＝8×（）．

再尝试：－16÷（－2）＝？ －16×（）＝？

师：根据以上题目，你能说出怎样计算有理数的除法吗？能用含字母的式子表示吗？

学生活动：同桌互相讨论．（一个学生回答）

师强调后板书：

〔板书〕

教法说明通过学生亲自演算和教师的引导，对有理数除法法则及字母表示有了非常清楚的认识，教师放手让学生总结法则，尤其是字母表示，训练学生的归纳及口头表达能力．

（三）尝试反馈，巩固练习

师在黑板上出示例题．

计算（1）（－36）÷9， （2）（）÷（）．

学生尝试做此题目．

（出示投影3）

1．计算：

（1）（－18）÷6； （2）（－63）÷（－7）； （3）（－36）÷6；

（4）1÷（－9）； （5）0÷（－8）； （6）16÷（－3）．

2．计算：

（1）（）÷（）； （2）（－65）÷013；

（3）（）÷（）； （4）÷（－1）．

学生活动：1题让学生抢答，教师用复合胶片显示结果．2题在练习本上演示，两个同学板演（教师订正）．

教法说明此组练习中两个题目都是对的直接应用．1题是整数，利用口答形式训练学生速算能力．2题是小数、分数略有难度，要求学生自行演算，加强运算的准确性，2题（2）小题必须把小数都化成分数再转化成乘法来计算．

提出问题：（1）两数相除，商的符号怎样确定，商的绝对值呢？（2）0不能做除数，0做被除数时商是多少？

学生活动：分组讨论，1—2个同学回答．

〔板书〕

2．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．

0除以任何不等于0的数，都得0．

教法说明通过上组练习的结果，不难看出有理数的除法与有理数乘法有类似的法则，这个法则的得出为计算有理数除法又添了一种方法，这时教师要及时指出，在做有理数除法的题目时，要根据具体情况，灵活运用这两种方法．

（四）变式训练，培养能力

回顾例1 计算：（1）（－36）÷9； （2）（）÷（）．

提出问题：每个题目你想采用哪种法则计算更简单？

学生活动：（1）题采用两数相除，异号得负并把绝对值相除的方法较简单．

（2）题仍用除以一个数等于乘以这个数的倒数较简单．

提出问题：－36：9＝？；：（）＝？它们都属于除法运算吗？

学生活动：口答出答案．

（出示投影4）

例2 化简下列分数

（1）； （2）； （3）或3：（－36）

（4）； （5）．

例3 计算

（1）（）÷（－6）； （2）－35÷×（）；

（3）（－6）÷（－4）×（）．

学生活动：例2让学生口答，例3全体同学独立计算，三个学生板演．

教法说明例2是检查学生对有理数除法法则的灵活运用能力，并渗透了除法、分数、比可互相转化，并且通过这种转化，常常可能简化计算．例3培养学生分析问题的能力，优化学生思维品质：

如在（1）（）÷（－6）中．

根据方法①（）÷（－6）＝×（）＝．

根据方法②（）÷（－6）＝（24＋）×＝4＋＝．

让学生区分方法的差异，点明方法②非常简便，肯定当除法转化成乘法时，可以利用有理数乘法运算律简化运算．（2）（3）小题也是如此．

（五）归纳小结

师：今天我们学习了有理数的除法及倒数的概念，回答问题：

1．的倒数是__________________（）；

2．；

3．若、同号，则；

若、异号，则；

若，时，则；

学生活动：分组讨论，三个学生口答．

教法说明对这节课全部知识点的回顾不是教师单纯地总结，而是让学生在思考回答的过程中自己把整节内容进行了梳理，并且上升到了用字母表示的数学式子，逐步培养学生用数学语言表达数学规律的能力．

八、随堂练习

1．填空题

（1）的倒数为__________，相反数为____________，绝对值为___________

（2）（－18）÷（－9）＝_____________；

（3）÷（－25）＝_____________；

（4）；

（5）若，是；

（6）若、互为倒数，则；

（7）或、互为相反数且，则，；

（8）当时，有意义；

（9）当时，；

（10）若，，则，和符号是_________，___________．

2．计算

（1）－45÷（）×；

（2）（－12）÷〔（－3）＋（－15）〕÷（＋5）．

九、布置作业

（一）必做题：1．仿照例1、例2自编2道题，同桌交换解答．

2．计算：（1）（）×（）÷（）；

（2）－6÷（－025）×．

3．当，，时求的值．

（二）选做题：1．填空：用“＞”“＜”“＝”号填空

（1）如果，则，；

（2）如果，则，；

（3）如果，则，；

（4）如果，则，；

2．判断：正确的打“√”错的打“×”

（1）（ ）；

（2）（ ）．

3．（1）倒数等于它本身的数是______________．

（2）互为相反数的数（0除外）商是________________．

教法说明必做题为本节的重点内容，首先在这节课学习的基础上让同学仿照例题编题，学生也有这方面的能力，极大调动了学生积极性，提高了学生运用知识的能力．

选作题是对这节课重点内容的进一步理解和运用，为学有余力的学生提供了展示自己的机会．

十、板书设计