复合函数求导方法

函数 ，求其导数

因为

所以：

想一想为什么红色的答案是错的。

你知道 和 的求 导方法，所以你想把它先展开：

如果有耐心和时间，这样也可以求得结果，但如果我们这样做的话，那下面介绍的方法就没有意义了。因此我们要推导一个公式，以便可以不进行多项式乘法就能求导。再重复一下，公式是为简化运算而产生的。

如果用公式无法轻松处理复杂的计算，又怎么能叫“公式”呢？

简化这类运算的方法就是“复合函数求导法”。

如果该算式是 ，那么根据已知的x的求导公式，1秒钟就能得出结果。而函数式 根据 的求导公式也能在1秒钟内计算出答案。不过将它们组合起来，就太难了，不知如何下手。

有句话“一根筷子轻轻被折断，一双筷子牢牢抱成团”，一双筷子是比一根筷子难以折断。

个体都是可以瞬间解决，复合函数的基本求导思想就应该是“在个体汇集之前就解决掉它们”。

因此，我们要把 分成两个部分。在组合组件时，我们通常都是先将每部分分别组合后再进行整体组装，求导也是如此，我们要将可简单求导的 和 分别求导，而后再将其组合。

刚才我们一直在说 ，但实际上是 ，所以直接写成 不太好处理。为此我们另外准备了一个新字母u。假设u=2x+3，这样原来的算式可写成 。

对函数关于以求导得到 ，对u=2x+3关于x求导得到 。

突然用分数形式表示导数，还能记起来吗？这是莱布尼兹发明的表示方法。分母表示“关于什么求导”。

这样，两个“零件”就准备完毕，剩下的就是考虑如何组合。暂时先将组合好的零件放在一旁，我们先来看看原先的算式。

对 关于x求导，可表示为 。将3个导数算式排在一起就是 。你发现了什么？

是的，通过象 些可求得 （约掉分子和分母上的du）。代入 ，则得到

之后将置换的u代回原来的2x+3，就得到

复合函数的求导方法，就是引入新字母，使得原函数被分解成了两个函数的复合函数，对每个算式分别求导后，再将其组合。这个方法最重要的思路就是：

作为分数运算，这种处理理所当然，但能将该方法用于表示导数关系实在是聪明。莱布尼兹真是厉害呀！

将上面的 展开，得到的结果与将原式展开后求导的结果完全相同。虽然有些费事，不过还是请你试着做一下。

这个是广义积分

∫xe^(-x^2)dx在（0，+∞)的定积分

不妨取a→+∞

∫xe^(-x^2)dx在（0，a)的定积分=-1/2e^(-x^2)](0，a)

所以所求是lim(a→+∞)[-1/2e^(-x^2)](0，a)

=lim(a→+∞)[-1/2e^(-a^2)+1/2]

=1/2

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

其个数关系为至多的关系。

导函数有0个根 原函数至多1个根。

导函数有1个根 原函数至多2个根。

以此类推。

导函数有n个根 原函数至多有n-1个根。

这是罗尔定理的推论。

解函数方程

函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。