一阶微分什么时候用偏积分法

一阶常微分方程 原创

2022-07-09 19:12:54

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二、 一阶常微分方程的出初等积分方法

前言

21 分离变量和变量代换法

211 分离变量法

212 变量代换法

1齐次方程

2类似于两直线方程相除的形式

3 第三类

22 常数变易法

221 线性方程的通解公式

222 伯努利方程

23 凑全微分法与积分因子法

231 恰当方程

232 凑全微分法

233 积分因子法

1常规情况

2 一阶微分方程可以拆分时

24 引入参数法

241 可解出未知函数（或自变量）的方程

1 y = f ( x , d y d x ) y = f(x,\frac{dy}{dx}) y=f(x,

dx

dy

​

)

2 x = f ( x , d y d x ) x =f(x,\frac{dy}{dx}) x=f(x,

dx

dy

​

)

242 不显含未知函数（或自变量）的方程

1 不显含y的方程 F ( x , y ′ = 0 ) F(x,y{'} = 0) F(x,y

′

=0)

2 不显含x的方程 F ( y , y ′ = 0 ) F(y,y{'} = 0) F(y,y

′

=0)

前言

第一次写博客记录自己的学习过程，写的不好希望大家斧正。

讲的更多的是常微分方程的解法的理解，也是我在学习中遇到各种证明的关键点，希望通过记录博客深化对于证明的理解，建立起数学思维，而不是知其然而不知其所以然。因此阅读中需要读者有一定的基础，与实践相结合，

21 分离变量和变量代换法

211 分离变量法

可分离变量的一阶常微分方程

我们很容易对上式进行变量分离，并计算；需要注意的是：分离变量时f(x)或者g(y)做分母时不为零，此时若有f(x0) = 0 、g(y0) = 0，则方程可能还存在着特殊解y = y0、x = x0。

212 变量代换法

1齐次方程

齐次方程

2类似于两直线方程相除的形式

在这里插入描述

该方程求解的时候分为3种情况：

c1、c2为零的情况：直接就是齐次方程

两直线方程平行的情况，且c1、c2不同时为0：令u = a1 x + b1 y，然后进行变量分离

两直线有焦点的情况：求出交点，然后将交点移动到原点的位置，此时有新的变量X、Y，并且方程可以化成其次方程

将求解分为这三类主要就是将方程向齐次方程或者可分离变量方程的形式靠拢。

3 第三类

在这里插入描述

22 常数变易法

常数变易法是专门针对一阶线性方程、高阶线性方程和线性方程组总结的一种特定的方法；这里先讲一阶的，后面会有相应高阶方程应用该方法进行求解。仅供参考。

不是所有的x,y形式都能化成z来表示,但可以用“z”和“z一拔”（z上面有一横）来表示,z=x+iy,z一拔=x-iy,所以x=(z+z一拔)/2,y=(z-z一拔)/2i,就可以表示了

如图所示：

简单来说那个常数是任意的，只要它与y无关就行了，随便取。

而这里"特别"要取关于x的函数g(x)，因为v是个关于x和y的二元函数。

积分的运算法则是如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。

相关介绍：

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

积分法指的是什么：

积分法是通过磁异常的积分运算求得磁性体产状的定量解释推断方法。通过这种运算可以直接或间接的求得磁性体的产状，积分法一般利用磁异常曲线的一段或全部，有利于消除或压制局部干扰，计算结果较可靠。

求积分的方法：

大多指求不定积分。按照不定积分的定义，每一个微分式dF(x)=(x)dx都对应着一个积分式。积分法在这里是运用微分运算的基本法则及基本公式把积分号下的微分式改变形式，成为一个原函数的微分。

通常将被积分的初等函数按其结构形式，分成若干类型来说明相应的计算过程。当原函数不是初等函数因而不能表示成基本初等函数的有限的分析表达式时，便说积分积不出来。

换元积分法又可以分为两类，一类是复合函数的换元法，另一类则是适用于根式的换元积分法。在相应的不定积分积不出来或者即使积出来也不便计算其数值的情形，就选用适当的近似计算法。